第2章 相交线与平行线（学生版）（类型）-北师大版(2024)七下

思维导图第二章相交线与平行线思维导图【类型覆盖】类型一、平面内两直线的位置关系【解惑】有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（）A．21个 B．22个 C．23个 D．24个【融会贯通】1．下列说法正确的是（

）A．不相交的两条直线叫作平行线B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂线最短D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线2．平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有对．3．在间一平面内，有2019条互不重合的直线，l1，l2，l3，…，l2019，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，以此类推，则l1和l2019的位置关系是．类型二、平行线间的距离【解惑】线段a，b，c是三条平行线，已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为(

)厘米A．3 B．7 C．3或7 D．2或7【融会贯通】1．在同一平面内，直线b、c是通过直线a平移而得到的，已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离为（

）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．2cm或3cm2．如图，，的面积等于4，则的面积是．3．课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．

(1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：；(2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：；(3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积．类型三、最短问题【解惑】如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）【融会贯通】1．如图所示，点分别代表三个村庄，根据下列条件画图．(1)画射线，画线段，画直线；(2)若线段是连结村和村的一条公路，现村庄也要修一条公路与两村庄之间的公路连通，为了使修建的路程最短，村庄应该如何修路？请在同一图上画出示意图，并说明这样修路的理由．2．如图，l为河岸（视为直线），要想开一条水渠将河里的水从点A处引到田里去，请在河边l上求作一点P，使水渠最短，作出水渠的示意图．3．【问题背景】如图1，小华在荡秋千，秋千底座从点A到点B的过程中，绳子的长度保持不变．在线段、、中，长度最短的是______．

图1【尝试说理】我们将会学习不等式的一个性质：如果，那么．根据这个性质和学过的基本事实，可以证实上述结论．连接、．根据基本事实“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______”，可得．再根据基本事实“______”，可得．所以，即．又因为，所以．同理可得．【方法迁移】图2是摩天轮的示意图，、是摩天轮的两根支架，、都是摩天轮的半径，且．，，垂足分别为、，经过圆心．小华发现，请根据学过的基本事实，证实这个发现．类型四、直尺、三角板画平行线【解惑】利用网格画图：①过点画AB的平行线CD；②过点画AB的垂线，垂足为；③线段CE的长度是点到直线的距离；④连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，线段______________最短，理由：__________．【融会贯通】1．如图，按要求画图并回答问题：(1)过点A画点A到直线BC的垂线段，垂足为D；(2)过点D画线段，交AC的延长线于点E；(3)的同位角是_______，内错角是_______；(4)在线段AB，，中，最短的是________，理由为________．2．如图，已知、、、是正方形网格纸上的四个格点．(1)根据要求在网格中画图并标注相关字母：①画线段；②画直线；③过点画的平行线；④过点画的垂线，垂足为．(2)点与直线上各点连接的所有线段中，最短线段是______依据是______．3．如图，点P是的边上的一点．(1)过点M画的平行线，交于点N；(2)过点P画的垂线，交于点C；(3)点C到直线的距离是线段的长度．(4)比较大小：（填“＞”、“＜”“＝”）．类型五、三角板旋转平行【解惑】将一副三角板按图1方式摆放，分别作出的平分线，求的度数．【初步认识】（1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，分别平分、．图2中，在同一条直线上，则°；图3中，，则°；【深度理解】（2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中的度数并说明理由；（3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是；A．由特殊到一般

B．方程

C．分类讨论

D．整体【拓展应用】

（4）若将条件“分别作出的平分线改为“在和内部分别作出射线，使得”（n为正整数），请你直接写出的度数°（用含n的代数式表示）；【大胆创新】（5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过），使得边与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为°．【融会贯通】1．如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，．(1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数；(2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角；(3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由．2．如图，有一副三角板，和，，，，，在同一直线上．(1)如图1，与点重合．将绕点按顺时针方向进行旋转，当与首次平行，求此时的度数；(2)如图2，若点在边上（不与、重合），再将绕点按顺时针方向进行旋转（如图3），边交边于，当时，求边旋转的度数；(3)将从图2初始位置开始，绕点顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当第一次与直线平行时停止运动．设运动时间为秒，当线段与的一条边平行，求满足条件的的值（请直接写出结果）．3．如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角．(1)当α为______度时，，并在图3中画出相应的图形；(2)在旋转过程中，试探究与之间的关系；(3)当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．类型六、平行线之间的折线模型【解惑】已知，直线，点为平面内一点，连接与．(1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____(2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）．【融会贯通】1．（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题：如图①，如果，那么（

）

【类比探究】（2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由．2．已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．(1)如图1，若，求的度数．(2)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．(3)如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．3．（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由；（2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论；（3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论．类型七、点与平行线的位置关系【解惑】如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，．(1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由．(2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？【融会贯通】1．如图，，猜想与、的关系，并说明理由．(1)填空：解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以(①___________)．因为，，所以(如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以(③___________)，所以④___________，即；(2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由；(3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由．2．探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究、和的数量关系：(1)当点在如图①的位置时，写出、和的数量关系，并说明理由．(2)当点分别在图②、图③所示的位置时，请分别写出图形中相应的、和的数量关系：（直接写出答案，不要求说明理由）图②________________________________________________．图③________________________________________________．(3)运用上面结论解决问题：如图④，，平分，平分，，求的度数．3．综合与实践（1）如图1，，点P在，之间，，求的度数．（2）如图2，若，点P在的下方，则之间有何数量关系？并说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的式子表示）类型八、平行线中的数量关系【解惑】如图，直线，A、N为直线上的点，过点A的直线交于点B，C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，D在B的右侧，E在D的右侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧．(1)如图1，若，，则的度数为__________；(2)如图2，射线为的角平分线．①用等式表示与之间的数量关系，并给出证明；②当时，的度数为__________．【融会贯通】1．已知直线，为平面内一点，连接、．(1)如图1，已知，，求的度数；(2)如图2，判断、、之间的数量关系为___________；(3)如图3，，平分，若，求的度数．2．已知如图，，点分别在上，平分．(1)若，，分别求的度数；(2)探求与的数量关系（)．3．如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，且分别交射线于点C、D．(1)求的度数．(2)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．(3)当点P运动到使时，求的度数．类型九、平行线中的角平分线【解惑】已知，直线，点P为平面上一点，连接与．(1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数．(2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点P落在外．①直接写出、、的数量关系为______．②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______．【融会贯通】1．如图，直线，一副直角三角板，中，，，，．(1)若按如图1摆放，当平分时，则________；(2)若，按如图2摆放，求的度数；(3)若图2中，固定，将沿线段方向平行移动，边与直线相交于点，作和的角平分线相交于点（如图3），求的度数．2．【问题初探】（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用，李老师给出如下问题：，点为CD下方一点，连接，，得到，试探究与，的数量关系．①小红的做法是：如图2，过点作．②小明的做法是：如图3，设交CD于点，过点作．请你选择一名同学的做法，写出证明过程．【归纳总结】（2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答．如图，直线，点在AB，CD之间，点在CD下方，连，．延长至，和的角平分线相交于点．探究与的数量关系；图43．如图1，，定点E，F分别在直线上(1)在平行线之间有一个动点P，满足探究：之间满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线之间的一个动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．①如图2，当点P在的左侧时，请求出之间的数量关系．②如图3，当点P在的右侧时，直接写出满足的数量关系为________________________；(2)如图4，点P在的右侧时，的角平分线相交于点，猜想与的数量关系，并说明理由；(3)如图5，在（2）的条件下，若与的角平分线交于点与的角平分线交于点，以此类推，试写出与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）类型十、平行线中的光线平行问题【解惑】【问题情境】

（1）如图1，∥是上一点，B是上一点，点C在直线之间．①若，，则的度数为____________．【问题探究】②试探究的数量关系，并说明理由．【问题应用】（2）如图2，是三面镜子，将一束光线沿方向射入镜子，通过镜子的反射，最后从镜子上的点C处射出，此时入射光线与反射光线平行．若，试用含的式子表示出的度数．【融会贯通】1．综合与实践台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角，的平分线始终与垂直．(1)求的度数：(2)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数；(3)若（2）中支架与水平方向的夹角的度数保持不变，将绕点旋转到如图3的位置，旋转后，求此时与水平方向的夹角的度数．2．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，，.（1）若，则______；（2）的余角是______；（3）与的数量关系是______，依据是__________________；（4）图中互余的角有______对，互补的角有______对；【类比探究】（5）如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，，并且，；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么______度才能保证黑球准确入袋；【学科融合】（6）小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似.光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图①，为一镜面，为入射光线，入射点为点，为法线（过入射点且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，、是两块可以分别绕、两点转动的镜面，点是激光发射装置．由点发出的激光照射在点和点处，、是两束反射光线．、处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角______°；通过调节的角度，当______°时，反射光线和平行．3．酷热的夏天过后汛期即将来临，为了便于夜间查看盘龙江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯和．如图1，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，若灯每秒钟转动度，若灯每秒钟转动b度，且满足：，假设这一带盘龙江两岸是平行的，即．且．(1)求a、b的值．(2)若灯B射线先旋转30秒，灯射线才开始转动，求灯转动多少秒时，两灯灯光第一次平行．(3)如图2，两灯同时转动t秒，在灯射线到达之前，若射出来的光线交于点C．①（用含有t的式子表示）；②过点C作交于点D，在转动过程中，的值是一个定值吗？若是，请求出这个定值．若不是，请说明理由．【一览众山小】1．已知与互为余角，，则的补角是（

）A． B． C． D．2．把一个含角的直角三角尺和一把直尺如图放置．若，则的度数为（

）A． B． C． D．3．如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（

）A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④4．如果一个角的补角是这个角的2倍，那么这个角的大小为度．5．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．则在下列选项中，正确的是．6．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得