七年级数学上册：核心素养导向下的一元一次方程在储蓄与销售利润问题中的建模与应用教案

七年级数学上册：核心素养导向下的一元一次方程在储蓄与销售利润问题中的建模与应用教案

  一、教学设计理念与依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生的核心素养，特别是模型观念、应用意识和运算能力。课程设计超越传统的应用题教学范式，致力于创设真实的、富有挑战性的问题情境，引导学生经历“情境感知—数学抽象—模型构建—求解验证—解释拓展”的完整数学建模过程。在跨学科视野下，本课有机融合了经济学中的基本概念（如本金、利率、成本、定价、利润率），旨在培养学生运用数学思维分析和解决现实世界金融与商业简单问题的能力，理解数学的广泛应用价值，并初步形成理性的财富管理意识和商业头脑。教学实施强调以学生为中心，通过合作探究、交流辨析、反思总结等多样化活动，促进深度学习，实现知识建构、能力发展与素养提升的同步达成。

  二、教学内容与学情分析

  本课是沪科版七年级数学上册第三章“一次方程与方程组”中“3.3一元一次方程的应用”的第二课时。学生在第一课时已初步学习了运用一元一次方程解决行程、工程等典型问题，掌握了列方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答）。本课时聚焦于“利息问题”与“利润问题”两类具有广泛现实背景和经济意义的数学模型。利息问题涉及本金、利息、利率、期数、本息和等概念及基本关系；利润问题涉及进价（成本）、售价、利润、利润率、折扣等概念及基本关系。这两类问题的数量关系相对清晰，但涉及概念较多，且现实情境多变（如利息税、打折促销等），对学生的阅读理解、信息筛选和数学建模能力提出了更高要求。七年级学生正处于从具体运算向形式运算过渡的阶段，抽象思维正在发展，对于从复杂文字叙述中剥离出有效数学信息并建立等量关系可能存在困难。他们对于储蓄和购物有初步的生活经验，但往往对其中蕴含的数学原理认识模糊。因此，教学需借助具体实例，通过类比、对比，帮助学生清晰梳理并牢固掌握两类问题的核心数量关系，并能够灵活运用于变式情境。

  三、学习目标

  1.知识与技能目标：准确理解储蓄问题中的本金、利息、利率、本息和等概念，以及销售问题中的进价、售价、利润、利润率、折扣等概念；熟练掌握利息公式“利息=本金×利率×期数”和本息和公式，以及利润问题中的基本关系“利润=售价-进价”、“利润率=利润/进价×100%”、“售价=标价×折扣率”；能够从复杂的实际情境中识别出储蓄或销售问题的模型，并依据这些基本数量关系，设立未知数，列出一元一次方程进行求解，并能对解的合理性做出判断和解释。

  2.过程与方法目标：经历从现实生活情境中抽象数学问题、建立方程模型的全过程，进一步感悟和体验数学建模思想；通过对比分析利息与利润两类问题的异同，提升归纳概括和类比迁移的能力；在解决含有干扰信息或需要间接设未知数的复杂问题时，发展分析综合能力和策略性思维。

  3.情感、态度与价值观目标：通过解决与个人理财和日常消费密切相关的数学问题，深刻体会数学的工具性和应用价值，增强学习数学的内驱力；在问题解决中培养理性、审慎的金融意识和初步的商业思维；通过小组合作学习，养成乐于交流、敢于质疑、严谨求实的科学态度。

  四、教学重点与难点

  教学重点：厘清储蓄问题和销售问题中的基本数量关系，并能根据这些关系准确找出等量关系，列出一元一次方程解决实际问题。

  教学难点：1.在复杂多变的实际问题情境（如征收利息税、多种商品综合利润、打折与返券组合促销等）中，正确识别有效信息，排除干扰，灵活运用核心数量关系建立方程。2.理解利润率等百分率关系中的“单位1”（即成本）的确定性，并能在设未知数和列方程时正确处理。

  五、教学准备

  教师准备：精心设计的多媒体课件，包含真实情境导入视频（如银行储蓄宣传片、商场促销广告）、核心概念辨析图表、阶梯式例题与变式题、课堂练习与探究任务单；实物道具（如商品标签、模拟存单）；预设课堂生成问题及引导策略。

  学生准备：复习一元一次方程的解法及其应用的一般步骤；预习课本相关内容，对储蓄和购物中的常见术语进行初步了解；准备计算器。

  六、教学过程实施

  （一）情境创设，激趣引思（预计用时：8分钟）

  教师活动：首先播放一段简短的复合情境视频，前半段展示一位居民在银行柜台办理定期存款，屏幕显示“年利率1.75%”等字样；后半段切换至商场服装店促销场景，喇叭播放“秋季新款，八折优惠，欢迎选购”。视频结束后，教师出示两个核心问题情境：

  情境A：小明将今年积攒的2000元压岁钱存入银行，定期一年。到期后，他连本带息共取回了2035元。请问这笔存款的年利率是多少？

  情境B：小红的妈妈经营一家文具店。她以每支5元的进价购入一批钢笔，期望获得20%的利润率。那么她应该给每支钢笔标价多少元？如果后来她按标价的九折出售，实际的利润率又是多少？

  教师引导学生齐声朗读这两个问题，并提问：“这两个问题分别属于我们生活中的哪类经济现象？其中涉及哪些你熟悉的，或者不太理解的数学概念？”

  学生活动：观看视频，感受现实情境。阅读两个问题，进行初步思考。可能回答：第一个是存钱、银行利息问题；第二个是做生意、卖东西的利润问题。提到的概念可能包括：本金、利息、利率、本息和、进价、标价、打折、利润、利润率等。

  设计意图：通过视听结合的方式，创设与学生生活经验紧密相连的真实、双主题情境，迅速吸引学生注意力，激发其探究兴趣。两个并列的情境自然引出本课两大主题，并为后续的对比学习埋下伏笔。开放性的提问旨在激活学生的已有认知和经验，暴露前概念，为新课的精准教学找准起点。

  （二）概念辨析，夯实基础（预计用时：12分钟）

  教师活动：根据学生的回答，教师顺势在黑板上（或课件上）分左右两栏板书“储蓄王国”和“商业世界”。针对“储蓄王国”，引导学生共同梳理：

  1.本金：存入银行的钱（初始金额）。

  2.利息：银行根据本金和利率多支付给储户的钱。

  3.利率：利息与本金的比率，通常以年为单位（年利率），有百分数表示。需注意期数匹配（如年利率对应年数）。

  4.期数：存款的时间长度（年、月等）。

  5.本息和：本金与利息的总和。

  核心关系式：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)。

  教师强调：公式中的利率与期数在单位上要一致。可举例说明：若年利率为r，存期2年，则期数为2；若存期为6个月，通常需将存期转化为年，即0.5年。

  针对“商业世界”，引导学生梳理：

  1.进价（成本价）：商家购进商品所花的钱。

  2.标价（定价）：商品标签上标注的价格。

  3.售价（成交价）：商品实际卖出的价格。

  4.利润：商家赚取的钱，即售价与进价的差（售价>进价）。

  5.利润率：利润占进价的百分比，即利润率=(利润/进价)×100%。

  6.折扣：售价占标价的比率，通常用“几折”表示，如“八折”即售价是标价的80%（折扣率=0.8）。

  核心关系式：利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%；售价=标价×折扣率；售价=进价×(1+利润率)。

  教师特别强调：利润率计算中的分母是“进价”（成本），这是衡量盈利能力的基准，非常重要。通过提问“如果一件商品进价100元，以150元卖出，利润率是多少？如果以120元卖出呢？”来巩固理解。

  学生活动：跟随教师的引导，在学案或笔记本上同步整理两组概念和关系式。积极参与举例和计算，澄清模糊认识，特别是对利率与期数的匹配、利润率分母的确定性进行重点理解和记忆。

  设计意图：将两类问题并置对比学习，有助于学生通过类比，系统建构知识网络，清晰把握各自的概念体系和核心关系。教师的精讲与强调，旨在突破概念理解的关键点，为后续的方程建模扫清障碍。这是数学建模的基础工程，必须扎实。

  （三）模型构建，典例探究（预计用时：35分钟）

  本环节采用“分层递进、讲练结合、小组合作”的方式展开。

  第一层级：基础模型直接应用。

  教师出示例1（对应情境A）：小明将2000元压岁钱存入银行，定期一年。到期后获得利息35元，求这笔存款的年利率。

  师生共同分析：已知本金（2000元）、期数（1年）、利息（35元），求年利率。等量关系：利息=本金×利率×期数。

  解：设年利率为x。根据题意，得2000×x×1=35。解得x=0.0175=1.75%。经检验，符合题意。答：（略）。

  教师变式1：若小明存的是两年定期，到期后连本带息共取回2070元，年利率是多少？（等量关系：本息和=本金×(1+利率×期数)，即2000(1+2x)=2070）

  教师变式2：国家规定，储蓄存款利息需缴纳20%的利息税（现暂免，但作为数学模型讨论）。若小明存款一年，扣除利息税后实得利息28元，求年利率。（等量关系：税后利息=本金×利率×期数×(1-利息税率)，即2000×x×1×(1-20%)=28）

  学生活动：独立完成例1的列方程求解。思考并尝试解决两个变式，体会不同条件下等量关系的变化。小组内交流设未知数、列方程的思路。

  第二层级：综合模型初步应用。

  教师出示例2（对应情境B）：某服装店将一款连衣裙按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元。这款连衣裙的成本价是多少元？

  师生共同分析：这是一个涉及成本、标价、折扣、利润的完整销售链条。设成本价为x元，则：

  标价=成本价×(1+提高率)=x(1+40%)=1.4x

  售价=标价×折扣率=1.4x×80%=1.12x

  利润=售价-成本价=1.12x-x=0.12x

  已知利润为15元，故得方程：0.12x=15。

  教师引导学生用流程图或线段图分析数量关系，强调每一步的数学表达。

  教师变式：若该服装店老板希望最终每件的利润率为12%，则在按成本价提高40%标价后，应打几折出售？

  分析：设打y折（即折扣率为y/10）。成本价设为a元（也可设为1，简化计算）。则标价1.4a，售价1.4a×(y/10)。利润率已知为12%，即利润为0.12a。根据利润=售价-成本，得方程：1.4a×(y/10)-a=0.12a。可约去a，解得y=8。

  学生活动：跟随教师分析例2，学习用代数式表示复杂销售环节中的各个量。尝试独立完成变式练习，理解“设而不求”（设成本为a元，最后可消去）的策略，并注意折扣的数学表达。

  第三层级：合作探究，解决复杂情境问题。

  教师出示探究任务单：

  【探究任务】某商场计划同时购进甲、乙两种商品共100件。已知甲种商品每件进价30元，售价40元；乙种商品每件进价40元，售价55元。若该商场希望此次采购的总利润不低于1300元，则至少需购进甲种商品多少件？

  教师引导：1.这是一个涉及两种商品，且与“至少”、“不低于”等关键词有关的利润问题。2.总利润如何计算？（甲利润×甲数量+乙利润×乙数量）3.如何表示两种商品的数量关系？（设甲x件，则乙为(100-x)件）4.“不低于”在列方程时如何处理？（转化为不等式，但七年级可用方程先求临界值，再判断范围）。

  学生活动：以小组为单位展开讨论。尝试设立未知数，用代数式表示总利润，根据“总利润等于1300元”这个临界状态列出方程：(40-30)x+(55-40)(100-x)=1300。解方程，并根据解判断“至少”的含义。各组派代表展示解题过程和结果。

  教师巡视指导，关注小组合作效率，点拨遇到困难的小组。

  设计意图：通过三个层层递进的层级，引导学生从直接套用公式，到处理多环节销售问题，再到解决综合性、策略性更强的现实问题。例题与变式相结合，体现了模型的稳定性和应用的灵活性。小组探究任务旨在培养学生合作学习、分析复杂问题、建立方程模型解决实际决策问题的综合能力，是本节课的高潮部分。

  （四）归纳反思，升华认知（预计用时：10分钟）

  教师活动：引导学生回顾本节课探索的两大类问题。提问：

  1.储蓄问题与销售问题的核心数量关系分别是什么？它们列方程时的关键等量关系通常是什么？（储蓄：利息或本息和；销售：利润或售价）。

  2.在解决这些问题时，一般的步骤是怎样的？（再次强化审、设、列、解、验、答，并强调审题时厘清概念关系、设未知数时优先考虑直接设元、列方程时关注单位一致和基准统一）。

  3.通过今天的学习，你对生活中的储蓄和消费行为有了哪些新的数学认识？

  4.你认为这两类问题在数学建模的思想方法上有何共通之处？

  学生活动：积极思考，回答问题，梳理本节课的知识主干和方法要点。分享学习感悟，例如：“知道了利润率是怎么算的，以后买东西要看清楚是打几折”、“明白了存钱时利率和时间的对应关系”、“学会了用方程来帮商家做进货决策”等。

  教师进行总结提升：数学建模是将现实世界“翻译”成数学语言，并通过数学运算获得结论，再“反哺”现实决策的过程。储蓄和利润问题只是这一强大工具的两个应用侧面。希望同学们能带着数学的眼光去观察经济生活，做出更理性的判断和选择。

  设计意图：通过系统的归纳和反思，帮助学生将零散的知识点结构化、系统化，形成稳固的认知图式。引导学生从具体知识上升到数学思想方法（建模思想）和现实价值认知，实现情感态度价值观的目标，完成学习的升华。

  （五）分层作业，拓展延伸（预计用时：课后）

  【基础巩固层】（必做）

  1.课本相关练习题：完成教材中关于利息和利润的基础练习题，巩固核心概念和基本解法。

  2.编写问题：请分别编一道关于储蓄利息的应用题和一道关于商品销售利润的应用题，并写出完整的解答过程。

  【能力提升层】（选做）

  3.综合应用题：李阿姨将一笔钱存入银行两年，有两种储蓄方式可选：甲种方式是存两年定期，年利率为2.25%；乙种方式是先存一年定期，年利率为1.95%，到期后连本带息再存一年定期。请你帮李阿姨算一算，哪种方式获得的利息更多？多多少？（假设一年期利率不变）

  4.探究题：某书店销售一种教辅书。如果按原价（标价）出售，每本可获利4元。现在为了促销，书店决定打折销售。结果销量增加了0.5倍，获得的总利润增加了50%。请问书店是将教辅书打了几折出售？请你通过列方程求解。（提示：可设原销量、打折后的售价等量，寻找总利润的等量关系）

  【实践拓展层】（小组合作选做）

  5.家庭理财小调查与方案设计：询问父母或查阅资料，了解当前银行常见的几种储蓄方式（如活期、定期、零存整取等）的大致利率。假设你有5000元可支配资金，计划存储三年，请你设计2-3种不同的储蓄方案，并计算比较每种方案到期后的预期收益。撰写一份简单的分析报告。

  设计意图：设计分层作业，尊重学生个体差异，满足不同层次学生的发展需求。基础题确保全体学生掌握核心知识与技能；提升题和探究题挑战学生的综合应用能力和思维深度；实践拓展题将数学学习延伸至课外，与生活、金融实践紧密结合，培养学生调查研究、方案设计和跨学科应用的综合素养。

  七、教学评价设计

  1.过程性评价：通过课堂观察，评价学生在情境导入环节的参与热情、概念辨析环节的理解程度、典例探究环节的思维活跃度与小组合作贡献度、归纳反思环节的表达能力。利用提问、板演、小组展示等方式及时反馈。

  2.纸笔评价：通过课堂练习的完成情况、课后分层作业的准确性与规范性，评价学生对两类问题数学模型的理解深度和应用熟练度。重点关注列方程的准确性和解题过程的完整性。

  3.表现性评价：通过“编写问题”作业，评价学生对问题结构的把握和逆向思维能力；通过“实践拓展层”的调查报告，评价学生信息搜集、数学建模、书面表达和解决实际问题的综合素养。

  4.发展性评价：关注学生在学习过程中是