2026年中考数学二轮复习讲练测（全国）专题06图形的变化（知识方法能力清单）（解析版）

专题06图形的变化（必备知识&二级结论清单+技法清单）

内容导航

第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向

►考向聚焦►考查形式►能力清单

第二部分技法清单构建思维框架，提炼通用解法

►知识必备/二级结论►母题精讲&答题技法►变式应用

技法01三角形的平移问题技法02四边形的平移问题技法03圆的平移

技法04三角形的折叠问题技法05四边形的折叠问题技法06圆的折叠问题

技法07三角形的旋转问题技法08四边形的旋转问题技法09圆的旋转问题

技法10位似与相似变换技法11网格中的变换作图

技法12用图形的变化解决最短路径问题

技法13解直角三角形的应用

第三部分分级实战分级强化训练，实现能力跃迁

命题解码

技法01三角形的平移问题：考查三角形沿指定方向平移后，对应点坐标变化、对应线段平

行且相等等性质，常结合坐标系求平移后的点坐标或面积变化。

技法02四边形的平移问题：考查平行四边形及特殊平行四边形沿指定方向平移后，对应点

坐标变化、对应边平行且相等等性质，常结合面积计算或点的坐标求解。

技法03圆的平移：圆沿某方向平移，考查圆心坐标变化、平移前后圆与直线或圆的位置关

系。

考向聚焦技法04三角形的折叠问题：以三角形为背景，通过折叠构造轴对称，考查对应边相等、对

应角相等、折痕垂直平分对应点连线等性质，求线段长度、角度大小或点的位置。常作为填

空压轴题出现。

技法05四边形的折叠问题：考查矩形、菱形、正方形的轴对称性，常与折叠结合，或判断

四边形是否为轴对称图形、中心对称图形。

技法06圆的折叠问题：将圆或圆弧沿某直线折叠，考查折痕过圆心、折叠后弧重合等性质，

常结合垂径定理求弦长或弧长。

技法07三角形的旋转问题：旋转是中考命题的热点，常将旋转后得到的图形设计为直角三

角形和等腰三角形，考查旋转前后图形的全等关系、对应点连线相等、旋转角相等等性质。

技法08四边形的旋转问题：以正方形、菱形为中心对称图形为背景，考查旋转前后图形的

全等关系，常与手拉手模型结合，证明线段相等或求角度。

技法09圆的旋转问题：圆绕圆心旋转任意角度后与自身重合，常结合扇形、弧长、圆心角

等考查旋转角度的计算。

技法10位似与相似变换：考查位似图形的性质（位似比等于相似比，对应点连线交于位似

中心），常结合相似三角形性质求边长或面积。

技法11网格中的变换作图：在正方形网格中按要求完成三角形的平移、旋转、轴对称或位

似作图，并写出相应点的坐标或变换后三角形的特征。

技法12用图形的变化解决最短路径问题：利用轴对称将折线段和转化为两点间线段最短的

问题，常以三角形一边为对称轴，求两定点到边上动点距离和的最小值。

技法13解直角三角形的应用：考查锐角三角函数的定义、特殊角（30°，45°，60°）的

三角函数值及解直角三角形的基本方法。题型以选择题、填空题为主，常与勾股定理、等腰

三角形性质结合，求三角形中的边长或角度。

基础层次：图形的平移、旋转、轴对称、位似的基本性质，以及锐角三角函数的定义、特殊

角的三角函数值，以选择题、填空题为主。

模型层次：折叠问题、旋转模型（手拉手）、一线三垂直模型、半角模型、倍长中线模型等，

考查形式

要求学生能在复杂图形中识别并应用模型快速解题。

综合层次：与三角形、四边形、圆结合的动态探究题，以及解直角三角形的实际应用（仰俯

角、坡度、方向角、跨学科问题），常作为解答题或压轴题出现。

空间观念与几何直观：能想象图形运动前后的位置关系，识别常见变换模型（手拉手、一线

三垂直、倍长中线等）。

模型识别与应用能力：在复杂图形中识别出基本几何模型，并运用模型结论快速解题。

逻辑推理能力：能根据变换性质进行严密的推理论证，尤其是在折叠、旋转问题中寻找不变

量。

能力清单运算求解能力：准确进行线段长度、角度计算，运用勾股定理、方程思想、三角函数求解未

知量。

数学建模能力：从实际问题中抽象出几何图形，选择恰当的三角函数关系建立数学模型。

分类讨论意识：在动点折叠、旋转中，根据点的不同落点位置进行分类讨论。

转化与化归思想：将复杂图形转化为基本图形，将非直角三角形转化为直角三角形求解。

跨学科综合能力：将物理、地理等学科知识与解直角三角形模型结合。

技法清单

知识必备

平移的性质、平面直角坐标系中点的坐标变换、全等三角形的性质、平行四边形的判定。

答题技法

坐标系中点的平移遵循“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”。平移前后的三角形全等，对应边平行且相

等。利用平移构造平行四边形是常见辅助线思路。

母题精讲

【典例01】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边ABC的顶点A(1,0),C(1,23)，

将ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（）

A．(3,3)B．(3,3)C．(3,2)D．(2,3)

【答案】A

【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关

键．

过点B作AC的垂线，通过点A，C的坐标确定AC与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点

B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可．

【详解】解：如图，过点B作BDAC，垂足为D，

∵A1,0，C1,23，

∴ACx轴，

∴BDx轴，

∵ABC是等边三角形，BDAC，

∴ABACBC23，

又BDAC，

1

∴ADCDAC3，D1,3，

2

∴BDAB2AD23，

132，

∴B2,3，

∴在ABC向左平移1个单位长度后，点B的坐标为3,3，

故选：A．

变式应用

【变式01】（2025·山东济南·一模）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置，已知ABC

的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA1，则AD_____．

【答案】2

【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形中线平分三角形的面积，相似三角形的性质，解题的关键是

证明DAE∽DAB，利用相似三角形的性质列方程．

119

由SABC9,SAEF4且AD为BC边的中线知SADESAEF2,SABDSABC，根据DAE∽DAB，

222

利用相似三角形面积的比等于相似比的平方列式求解可得．

【详解】解：∵SABC9,SAEF4，且AD为BC边的中线，

119

∴SS2,SS，

ADE2AEFABD2ABC2

∵将ABC沿BC边上的中线AD平移得到ABC，

∴AE∥AB，

∴DAE∽DAB，

2

2

AD24

ADSDAE

则，即AD199，

ADS

DAB2

2

解得AD2或AD（舍），

5

故答案为：2．

【变式02】（2025·陕西延安·一模）如图，将ABC沿直线BC方向平移到△A1B1C1的位置（点A、B、C

的对应点分别是点A1、B1、C1），延长AC、A1B1相交于点D．若A70，则D的度数为______．

【答案】70

【分析】本题考查了平移的性质(平移前后对应线段平行)及平行线的性质(两直线平行，同旁内角互补)，解

题的关键是根据平移性质得出对应线段平行，再利用平行线性质结合已知角度求D的度数．

∥

由平移性质可知,ABC平移后对应线段ABA1B1；AB与A1B1平行，故A与D组成内错角，根据两直

线平行内错角相等，即可求出D．

【详解】解：∵ABC沿直线BC方向平移得到△A1B1C1，

∥

∴ABA1B1(平移的性质：平移前后对应线段平行)．

即ABA1D，

∴DA70．

故答案为：70．

知识必备

平移的性质、平行四边形的性质与判定、平面直角坐标系中点的坐标变换、全等图形的性质。

答题技法

平移前后的四边形全等，对应边平行且相等。利用平移可构造平行四边形，解决线段相等或平行的问题。

坐标系中点的平移规律同样适用。

母题精讲

【典例01】（2025·浙江·模拟预测）如图，AC是菱形ABCD的对角线，把菱形ABCD沿着对角线AC方向

平移，得到菱形ABCD，AB，AD分别交BC，CD于点G，H，连接GH，若AAx(0xAC)，GHy，

则y与x之间的关系大致可以用函数图象表示为（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】先利用菱形和平移的性质得到线段与角度的关系，再通过三角函数表示出GH的长度，从而建立y

与x的函数关系式，最后根据函数的性质判断对应的函数图象．

【详解】解：如图，记GH交AC于点O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴GHAC，

设ACm，则ACmx，设BAC，则

由平移的性质可知，GACBAC，

OG

∴tanGACtan，

OA

∴OGOAtan，

∴GH2OG2OAtanACtan(mx)tan，

∴yGHmxtantanxm∙tan，

∵为定值，m为定值，

∴tan为定值，且小于0，m∙tan为定值，且大于0，

∴y是关于x的一次函数，且y随x的增大而减小，

∴D选项符合题意．

变式应用

【变式01】（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为2,0，

AOC60．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形OABC，

其中点B的坐标为（）

A．(2,31)B．2,1C．(3,1)D．(3,31)

【答案】A

【分析】如图，过B作BHx轴于H，求解OAAB2，AB∥OC，可得BAHAOC60，求解

AHOBcos601，BH22123，可得B3,3，再利用平移的性质可得B2,31．

【详解】解：如图，过B作BHx轴于H，

∵菱形OABC的顶点A的坐标为2,0，AOC60．

∴OAAB2，AB∥OC，

∴BAHAOC60，

∴AHOBcos601，BH22123，

∴B3,3，

∵将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，

∴B2,31；

故选A

【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，图形的平移，熟练的求解B

的坐标是解本题的关键．

【变式02】（2025·广西·中考真题）综合与实践

树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的

投影是一个平行四边形（如图1）

初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影YMNPQ的平面图如图2所示，P在AD上，MN3m，AN1m，

AP2m，AB3m，BC2.5m，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，

YMNPQ也随之移动（MN始终在AB边所在直线l上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮

阳区）会呈现不同的形状．如图3为YMNPQ移动到P落在BC上的情形．

【问题提出】

西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时YMNPQ的位置．

设遮阳区的面积为Sm2，YMNPQ从初始时向右移动的距离为xm．

【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何变化？

【初步探究】（2）求图3情形的x与S的值；

【深入研究】（3）从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式；

【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，YMNPQ向右移动了多少？（直接写出结果）

27

【答案】（1）S随x的增大而增大；（2）x3，S5；（3）S2x14x193x4；（4）m

2

AP

【分析】（1）根据矩形的性质得tanPNA2，根据平行四边形的面积公式得SYMNPQMNAP6，

AN

然后分别求出当0x1时，当1x3时，S关于x的解析式，即可得出结论；

（2）根据（1）的结论可得答案；

（3）当3x4时，如图，设YMNPQ向右移动xm后得到YMNPQ，设MQ交AD于点J，PN交BC于

点K，PQ交BC于点H，则PHx3，AM4x，

JA

此时遮阳区的面积为六边形ANKHQJ的面积，推出tanJMAtanPNA2，

MA

KH

tanPtanPNA2，得JA2MA24x，KH2PH2x3，再根据

PH

SS六边形ANKHQSYMNPQS△JAMS△KHP即可得出结论；

（4）分别确定：当0x1时，当1x3时，当3x4时，各个范围内S的最大值，即可得出结论．

【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，四边形MNPQ是平行四边形，MN3，AB3，BC2.5，MN

在AB边所在直线l上，

∴DAB90DAM，CBA90，PQ∥l，

又∵如图2，P在AD上，AN1，AP2，

AP2

∴tanPNA2，

AN1

MAMNAN314NB，SYMNPQMNAP326

当0x1时，如图，设PN交AD于点F，PQ交AD于点E，则PEx，

此时遮阳区的面积为PEF的面积，

∵PQ∥l，

∴PPNA，PEFFAN90，

EF

∴tanPtanPNA2，

PE

∴EF2PE2x，

112

∴SS△PEEFx2xx，

PEF22

∴当0x1时，S随x的增大而增大，S的值从0增大到1；

当1x3时，如图，设PQ交AD于点G，则PGx，ANx1，AG2，

此时遮阳区的面积为四边形ANPG的面积，

∵PQ∥l，

∴四边形ANPG为梯形，

11

∴SS梯形ANPGAGx1x22x1，

ANPG22

∴当1x3时，S随x的增大而增大，S的值从1增大到5；

综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大而增大；

（2）如图3，此时点P落在BC上，则x3，

由（1）知：当x3时，S2x12315；

∴图3情形时，x3，S5；

（3）当3x4时，如图，设YMNPQ向右移动xm后得到YMNPQ，设MQ交AD于点J，PN交BC于

点K，PQ交BC于点H，则PHx3，AM4x，

此时遮阳区的面积为六边形ANKHQJ的面积，

∴QM∥QM∥PN∥PN，PQ∥l，SYMNPQSYMNPQ6，

∴PNAJMAKNBP，PHKCBA90，

JAKH

∴tanJMAtanPNA2，tanPtanPNA2，

MAPH

∴JA2MA24x，KH2PH2x3，

∴SS六边形ANKHQJ

SYMNPQS△JAMS△KHP

11

6AMAJHPHK

22

11

64x24xx32x3

22

2x214x19，

2

∴从图3情形起右移至M与A重合，该过程中S关于x的解析式为S2x14x193x4；

（4）当0x1时，Sx2，

当x1时，S的最大值为：S121；

当1x3时，S2x1，

当x3时，S的最大值为：S2315；

2

2711

当3x4时，S2x14x192x，

22

∵20

2

7771111

∴当x时，S的最大值为：S2，

22222

711

综上所述，当x时，S取得最大值，最大值为，

22

7

∴当遮阳区面积最大时，YMNPQ向右移动了m．

2

【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，

二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键．

知识必备

平移的性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系。

答题技法

圆的平移即圆心的平移，半径不变。平移后圆与直线（圆）的位置关系取决于圆心到直线（圆心距）与半

径的比较。

母题精讲

【典例01】（2025·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系xOy中，半径为2的P的圆心P的坐标为3,0，

将P沿x轴正方向平移，使P与y轴相切，则平移的距离为（）

A．1或5B．1C．1或3D．3

【答案】A

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆

的半径．分为圆在y轴的左侧和在y轴的右侧两种情况写出答案即可．

【详解】解：∵圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径2，

∵当P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；

当P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．

综上所述，将P沿x轴正方向平移，使P与y轴相切，则平移的距离为1或5．

故选：A．

变式应用

【变式01】（23-24九年级上·河北廊坊·月考）如图1，在ABC中，C90，BAC30，BC4，

点O在边AB上，且AO2，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC

于点P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为xx0．

(1)在图1中，劣弧PE的长为________；

(2)当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示．

①求x的值；

②已知M，N分别是边BC与DE上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和；

(3)在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与ABC的重叠部分是半圆O时，直．接．写出x的取值范

围．

2

【答案】(1)

3

(2)①x2；②MN的最小值和最大值之和为234

43

(3)半圆O与ABC的重叠部分是半圆O时，x的取值范围是2x6

3

【分析】（1）本题主要考查利用扇形弧长公式计算劣弧长度，找到劣弧PE所对的圆心角是解决问题的关键，

在利用公式求解．

（2）本题主要考查利用切线的性质求x的值，其次利用点到直线距离求MN的最小值，由于M，N两点都

是自由点，故可以直接算出MN的最大值，即当点M与点B重合时，点N与点D重合时，此时MN最大

（3）本题主要考查圆完全在ABC三角形内部时的临界状态，即圆与三角形ABC两条直角边分别相切时，

即可求出x的取值范围．

【详解】（1）解：如下图，连接OP；

∵OPOA，BAC30；

∴POE60；

602

∴劣弧PE2．

1803

（2）①连接PO，

∵边AC与半圆O相切；

∴APO90；

∵BAC30，OP2；

∴AO4；

∴ADxAOOD2；

②如下图，当OMBC时，OM与弧DE交于点N，此时MN最小；

∵OA4；

∴OBABOA4；

∵OMBC；

∴OMB90；

∵C90，MO∥AC，

∴BOMBAC30，

∴MB2，

∴根据勾股定理可得OM23，

∴MN232；

如图2，当点M与点B重合时，点N与点D重合时，此时MN最大，MNOBOD6；∴MN的最小值

和最大值之和为2326234．

43

（3）解：x的取值范围是2x6；

3

如图3，半圆O与BC相切，连接OP，

∴OPB90，

∴AC∥OP，

∴BOPBAC30，

1

∴BPOB；

2

43

根据勾股定理可得OB2BP2OP2，解得OB.

3

∵OD2；

43

∴ADABODOB6；

3

43

∴半圆O与ABC的重叠部分是半圆O时，x的取值范围是2x6.

3

【变式02】（2023·河北石家庄·一模）如图1，已知点A、O在直线l上，且AO6，ODl于O点，且OD6，

以OD为直径在OD的左侧作半圆E，ABAC于A，且CAO60．向右沿直线l平移BAC得到BAC，

设平移距离为x．

(1)若BAC的边AC经过点D，则平移的距离x______；

(2)如图2，若AC截半圆E得到的GH的长为π，求DOG的度数；

(3)当BAC的边与半圆E相切时，直接写出x的值．

【答案】(1)623

(2)45

(3)633或33

【分析】（1）由平移性质和正切函数求解即可；

（2）在图2中，连接EH、EG、DH，由弧长公式求得GEH60，进而得到EGH是等边三角形，证

得EG∥l，则GEOAOD90，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可；

（3）根据题意，分当BAC的边AC与半圆E相切和BAC的边AB与半圆E相切两种情况，分别画出

图形，利用切线性质和锐角三角函数求解即可．

【详解】（1）解：如图1，

由平移性质得CAOCAO60，

∵ODl，OD6，

OD

∴AO23，

tan60

∴平移距离xAAAOAO623，

故答案为：623；

（2）解：连接EH、EG、DH，如图2所示，

1

则半圆E的半径EDEOOD3，

2

设GEHn，

∵AC截半圆E的GH的长为π，

nπ3

∴π，

180

解得：n60，

∴GEH60，

∵EHEG，

∴EGH是等边三角形，

∴EGH60CAO.

∴EG∥l，

∵ODl，

∴GEOAOD90，

∵EGEO，

1

∴EOG1809045；

2

（3）解：根据题意，分两种情况：

当BAC的边AC与半圆E相切时，如图3，

设切点为P，连接PE，则APE90，

∵ODl，PEOE3，

1

∴PAEEAOCAO30，

2

OE

∴AO33，

tan30

∴平移的距离xAAAOAO633；

当BAC的边AB与半圆E相切时，如图4，

设切点为P，连接EP并延长交l于N，则APEAPN90，

∵ODl，OAP9060150，

∴OEP18015030，又PEOE3，

OE1

∴EN23，ONEN3，

cos302

∴PNENPE233，

∵APN90，AAP180906030，

∴AN2PN436，

∴AOONAN633，

∴平移的距离xAAAOAO663333，

综上，平移的距离x的值为633或33．

【点睛】本题考查平移性质、切线性质、解直角三角形、弧长公式、角平分线的性质、三角形和四边形的

内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数

形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．

知识必备

轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线性质、直角三角形性质、分类讨论思想。

答题技法

折叠即全等，找准折痕（对称轴）。设未知数表示折叠后相关线段长度，在直角三角形中利用勾股定理列方

程。若涉及动点折叠，需分类讨论点的落点位置（如落在边上、角平分线上等）。

母题精讲

【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，

折痕为CE．若ABC的面积为8，BCE的面积为5，则BD:DC_______．

【答案】2:3

【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形面积，先求解△DCE的面积为3，BDE的面积为2，进一

步可得答案．

【详解】解：∵ABC的面积为8，BCE的面积为5，

∴△ACE的面积为853，

由折叠可得：△DCE的面积为3，

∴BDE的面积为2，

∴BD:DC2:3，

故答案为：2:3

变式应用

4

【变式01】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在ABC中，tanC，D是边BC上一点，将ACD沿AD

3

翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF5，EF2，则AC________．

21

【答案】

2

【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过

FG4

点F作FG^AC于点G，由tanC，设FG=4x，则CG3x，结合CF5，求出FG4，CG3，

CG3

由翻折得ACAE，设ACAEy，则AGACCGy3，AFAEEFy2，在Rt△AFG中，利

用AF2AG2FG2，求解即可．

【详解】解：过点F作FG^AC于点G，

FG4

∴tanC，

CG3

设FG=4x，则CG3x，

∴CFCG2FG25x5，

得x1，

则FG4，CG3，

由翻折得ACAE，

设ACAEy，

则AGACCGy3，AFAEEFy2，

在Rt△AFG中，AF2AG2FG2，

22

即y2y342，

21

解得：y，

2

21

即AC，

2

21

故答案为：．

2

【变式02】（2026·上海黄浦·一模）如图，在ABC中，ACB90，AC8，BC6，D、E是边AB、

AC上的点，且DE∥BC，将ADE沿DE翻折至FDE，DF与BC交于点G．如果△FCG的面积是ADE

1

面积的，那么线段DE的长是______．

4

【答案】4

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，由ADE沿DE翻折至FDE，得EFAE，

2

1FC1

ADFD，AEDFED，证明FCG∽AED，由△FCG的面积是ADE面积的，即，故

4AE4

FC1816

有，即AE2FC，设FCx，则AE2x，由EFAE，得8x2x，解得：x，所以AE，

AE233

AEDE

再证明AED∽ACB，得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．

ACBC

【详解】解：∵将ADE沿DE翻折至FDE，

∴EFAE，ADFD，AEDFED，

∴AF，

∵AEDFED180

∴AEDFED90，

∵ACB90，

∴AEDGCF90，

∴FCG∽AED，

1

∵△FCG的面积是ADE面积的，

4

2

FC1

∴，

AE4

FC1

∴，即AE2FC，

AE2

设FCx，则AE2x，

∴CE82x，

∴EFCEFC82xx8x，

8

由EFAE，得8x2x，解得：x，

3

16

∴AE，

3

∵∠AED∠ACB90，AA，

∴AED∽ACB，

AEDE

∴，

ACBC

16

∴DE，

3

86

∴DE4，

故答案为：4．

知识必备

轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线性质、直角三角形性质、分类讨论思想。

答题技法

折叠即全等，找准折痕（对称轴）。设未知数表示折叠后相关线段长度，在直角三角形中利用勾股定理列方

程。若涉及动点折叠，需分类讨论点的落点位置（如落在边上、角平分线上等）。

母题精讲

【典例01】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，ABDC，ADDC，AB4，ADDC2，

E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点．现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△AEF（如图的所

有点在同一平面内），连接AB，AC，则ABC面积的最小值为（）

A．22B．32C．102D．42

【答案】B

【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点A在

以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键．

过点C作CGAB于点G，可得四边形ADCG是矩形，从而得到CGAD2，AGCD2，再利用勾

股定理求出BC的长，从而得到当点A到BC的距离最小时，ABC面积最小，过点A作AHBC交BC的

延长线于点H，即当AH最小时，ABC面积最小，然后结合可得点A在以点E为圆心，1长为半径的半圆

上运动，当点E，A，H三点共线时，AH最小，此时ABC面积最小，延长AD,BC交于点M，过点D作

DNCM于点N，则DN∥EH，可得MND∽MHE，即可求解．

【详解】解：如图，过点C作CGAB于点G，

∵ABDC，ADDC，ADDC2，

∴ADCDAGAGC90，

∴四边形ADCG是矩形，

∴CGAD2，AGCD2，

∵AB4,

∴BGABAG422，

∴BCCG2BG2222222，

∴当点A到BC的距离最小时，ABC面积最小，

过点A作AHBC交BC的延长线于点H，即当AH最小时，ABC面积最小，

∵E是线段AD的中点，AD2，

11

∴DEAEAD41，

22

由折叠的性质得：AEAE1，

∴点A在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，

∴当点E，A，H三点共线时，AH最小，此时ABC面积最小，

延长AD，BC交于点M，过点D作DNCM于点N，则DN∥EH，

∴MND∽MHE，

∵CGBG2，BGC90，

∴ABCBCG45，

∵AB∥CD，

∴DCMABC45，

∵CDM180ADC1809090，

∴CDM是等腰直角三角形，

1

∴DMCD2，DNMNNCCM，

2

∴CMDM2CD2222222，EMDEDM123，

11

∴DNCM222，

22

∵MND∽MHE，

DMDN22

∴，即，

EMEH3EH

32

∴EH，

2

32

∴AHEHAE1

2

1132

∴，

SABCAHBC12232

222

即ABC面积的最小值为32．

故选：B．

变式应用

【变式01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在ABCD中，点E在边BC上，将ABE沿AE折叠，点B

的对应点B恰好落在边DC上；将ADB沿AB折叠，点D的对应点D¢恰好落在AE上．若C，则

CBE______．（用含的式子表示）

【答案】

3

【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形ABCD是平行四边形，得

BADC，AB∥CD，由折叠性质可知，

DABBAEBAE，ABEABE，ABDABD，故有DABBAEBAE，根据平

3

2

行线的性质得ABDBAB，ABE180，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是

3

解题的关键．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BADC，AB∥CD，

由折叠性质可知，DABBAEBAE，ABEABE，ABDABD，

∵DABBAEBAEBAD，

∴DABBAEBAE，

3

∵AB∥CD，

2

∴ABDBAB，ABE180，

3

∴ABEABE180，

2

∴CBE180180，

33

故答案为：．

3

【变式02】（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E

的直线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F．若CG4，EF43，

则AB___________．

【答案】225/252

【分析】由折叠性质可知AGEF，进而利用同角的余角相等证明GAENFE，由此即可得出

ADG≌FNEASA，进而确定AGEF．在RtADG中，根据勾股定理列方程求解即可．

【详解】解：如图，连接AG交EF于点M，过点F作FNAD，垂足为N，

则FNAFNE90，

∵正方形ABCD，

∴ABADCD，BADABCD90，

∴四边形ABFN是矩形，

∴NFABAD，

由折叠可知AGEF，

∴GAEAEFNFEAEF90，

∴GAENFE，

又∵FNED90，

∴ADG≌FNEASA，

∴AGEF，

∵EF43

∴AGEF43，

设正方形边长为x，则ABADCDx，

∵CG4，

∴DGCDCGx4，

在RtADG中，AG2DG2AD2，即(x4)2x2(43)2

解得：x225或x225（不合题意舍去）

∴AB225．

故答案为：225．

【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，

掌握折叠的性质，根据垂直模型证明AGEF是解题关键．

知识必备

圆的轴对称性、垂径定理、勾股定理、切线的性质和判定、弧长的计算。

答题技法

圆是轴对称图形，任何直径所在直线都是对称轴。折叠问题中，折痕若过圆心，则折叠前后弧完全重合。

利用垂径定理可求弦长、半径等。

母题精讲

【典例01】（2025·山西·模拟预测）如图，半径为2的圆形纸片O上有A,B,C三点，分别沿弦AB,AC折

叠圆形纸片，使折叠后的AB与AC都经过圆心O，则AB,AC，BC围成的阴影部分的面积为（）

4πππ

A．23B．23C．33D．33π

333

【答案】A

【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，

垂径定理，在AC上取点O关于直线AC的对称点E，连接AE,CE,AO,CO，连接OE交AC于点M，由折

叠的性质可得AOAE,COCE，则可证明AOE和COE是等边三角形，OE垂直平分AC，进而可得

AOECOE60,AC2CM，解直角三角形得到CM3,OM1，则AC23，可求出

44

S弓形S扇形S△3，同理可得S弓形3，再根据S阴影SOS弓形ACES弓形AB列式求

ACEAOCAOC3AB3

解即可．

【详解】解：如图，在AC上取点O关于直线AC的对称点E，连接AE,CE,AO,CO，连接OE交AC于点M．

由折叠可知AOAE,COCE．

AOAEOEOCCE.

AOE和COE是等边三角形，OE垂直平分AC．

AOECOE60,AC2CM，

AOC120，

在RtMOC中，CMOCsin603,OMOCcos601，

∴AC23，

1202214

∴S弓形S扇形S△2313，

ACEAOCAOC36023

4

同理可得S弓形3，

AB3

244

S阴影SOS弓形ACES弓形AB22323，

33

故选：A．

变式应用

【变式01】（2024·江西·中考真题）如图，AB是O的直径，AB2，点C在线段AB上运动，过点C的

弦DEAB，将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为______．

【答案】23或23或2

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据DEAB，可得DE1或2，利用勾股定理进

行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．

【详解】解：AB为直径，DE为弦，

DEAB，

当DE的长为正整数时，DE1或2，

当DE2时，即DE为直径，

∵DE⊥AB

将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，

故FB2；

当DE1时，且在点C在线段OB之间，

如图，连接OD，

1

此时ODAB1，

2

∵DE⊥AB，

11

DCDE，

22

3

OCOD2DC2，

2

23

BCOBOC，

2

BF2BC23；

当DE1时，且点C在线段OA之间，连接OD，

23

同理可得BC，

2

BF2BC23，

综上，可得线段FB的长为23或23或2，

故答案为：23或23或2．

【变式02】（2025·广东惠州·二模）综合探究：

(1)如图1，等圆O与O相交于点E与点F，连接EF，证明四边形EOFO为菱形．

(2)如图2，已知O的直径AB为10，以线段EF为折痕进行折叠，使得EDF与直径AB相切于点D，若折

叠后D与O点重合，求此时EDF的长度．

(3)如图3，在题（2）中，改变EDF与直径AB相切的切点D的位置．若折叠后切点D与圆心O的长度OD1，

求折痕EF的长度．

【答案】(1)见详解

10

(2)

3

(3)74

【分析】（1）根据圆的性质得OEOF，OEOF，结合等圆得OEOFOEOF，即可证明菱形；

（2）连接OE、OF，过点O作OHEF，则OAOB5，结合重叠得OH，即可求得OEH