专题8.2立方根 原卷版

专题8.2立方根【考点梳理】考点一：立方根的概念考点二：求一个数的立方根考点三：立方根的实际应用问题考点四：已经一个数的立方根，求这个数考点五：算术平方根和立方根的综合问题考点六：立法根的综合问题【知识梳理】知识点一、立方根立方根：若一个数的立方（三次方）等于a,那么这个数叫做a的立方根（三次方根）若x是a的立方根，则说明x3=a。a的立方根记为：,读作“三次根号a”。根指数被开方数开立方：我们把求立方根的运算称之为开立方，它与立方运算是互逆的。被开方数（1）8的立方根：（2）-64的立方根：技巧归纳：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。【题型探究】题型一：立方根的概念1．（24-25七年级下·全国）下列说法正确的是（

）A．0没有立方根 B．负数没有立方根C．一个正数有一个负的立方根 D．一个正数只有一个立方根2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法正确的是（

）A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B．负数没有立方根C．一个数有立方根，那么它的立方根一定为正数D．一个数的立方根与这个数同号3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（

）A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根C．的立方根是 D．立方根是它本身的只有题型二：求一个数的立方根4．（24-25七年级下·全国）下列说法不正确的是（

）A．的立方根是 B．8的立方根是C．立方根是6的数是216 D．的立方根是5．（24-25七年级下·全国）下列式子不正确的是（

）A． B．C． D．6．（2025七年级下·全国）求下列各数的立方根：(1)216； (2)； (3)； (4)．题型三：立方根的实际应用问题7．（24-25七年级下·全国·周测）春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈．已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为，而小恒制作的正方体礼盒的体积比小宇制作的正方体礼盒的体积小，则小恒制作的正方体礼盒的边长为（

）

A． B． C． D．8．（24-25七年级下·全国·课后作业）将这两个正方体按如图所示的方式叠放在一起．已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，则小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为．9．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，两个正方体叠放到一起，已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，点E在上，一只蚂蚁从E点去觅食，则蚂蚁的最短行进路线为．题型四：已经一个数的立方根，求这个数10．（24-25七年级下·全国）要使成立，则的取值范围是（

）A． B．或C． D．任意数11．（2025七年级下·全国）若，则的立方根为（

）A．0 B． C．0或 D．0或12．（24-25七年级下·全国·周测）下列说法正确的是（

）A．一定没有平方根 B．的算术平方根是2C．立方根是本身的数只有0和1 D．算术平方根是本身的数只有0和1题型五：算术平方根和立方根的综合问题13．（23-24七年级下·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分．(1)求的值；(2)若是的小数部分，求的平方根．14．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是．(1)求，的值；(2)求的立方根．15．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：平方根立方根定义一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）．性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．【类比探索】（1）探索定义：填写下表11681类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________．（2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________；【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________．题型六：立法根的综合问题16．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料，解答问题：材料：，∴，即，∴的整数部分是2，小数部分为．问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．(1)求的小数部分；(2)求的平方根．17．（2025七年级下·全国·专题练习）根据如表，回答下列问题：0.0002160.2162162160000.060.6660(1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？(2)根据你发现的规律解答：①已知，则介于哪两个整数之间？②已知，则______．③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米）18．（21-22八年级上·河北承德·期末）阅读下面的文字，解答问题：【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以．(1)___________，_________；________，__________．(2)如果，，求的立方根．【高分演练】一、单选题19．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知某个正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，则的算术平方根是（

）A． B．2 C．4 D．20．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则；若，则．若要使，则需满足（

）A． B． C． D．21．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图为小亮的答卷，他的得分应是（

）A．10分 B．8分 C．6分 D．4分22．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯）定义一种新的运算：．计算：的值是（

）A．2 B．5 C．10 D．23．（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（

）A．8 B．±8 C．2 D．24．（2025七年级下·全国·专题练习）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（

）A． B． C． D．二、填空题25．（24-25七年级下·全国）若的立方根是，则的平方根是．26．（20-21七年级下·全国）；；；；；，．27．（24-25七年级下·全国）如果是的平方根，那么的值为．28．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是．29．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则．30．（24-25七年级下·全国）若立方根等于本身的数的个数为，平方根等于本身的数的个数为，算术平方根等于本身的数的个数为，则的值为．31．（24-25七年级下·全国·周测）（1）已知，则，；（2）已知，则，．32．（24-25七年级下·全国）（教材变式）如图所示的是由64个完全相同的小立方体组成的4阶魔方，体积为，则每个小立方体的表面积为．33．（23-24七年级下·安徽淮北）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当时，．由此解决下列问题：（1）若，则；（2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为．三、解答题34．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．35．（24-25七年级下·全国·单元测试）小林想测量一个铅球的半径，先将铅球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铅球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铅球的半径．36．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的两个平方根分别是，的算术平方根为2．(1)求的平方根；(2)若的算术平方根是3，求的立方根．37．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列规律回答问题：(1)_______，_______；(2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______；(3)根据规律写出与a的大小情况．38．（23-24七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．(1)如果点的坐标为，则点的坐标为____________，点的坐标为___________(2)如果点的坐标为，点的坐标为，则的算术平方根与的立方根的差的绝对值是多少？39．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知a的平方根是，b是27的立方根，c是的整数部分．(1)求的值；(2)若x是的小数部分，求的平方根．40．（22-23七