高考数学 核心突破 概率统计 计数原理、概率、统计与统计案例

专题三

概率与统计

第1讲计数原理

［考情考向分析］1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.2.

二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，

值得关注.

。热点分类突破师生讲练互动热点各个击破

热点一两个计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需

要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘.

例1（1）（2018・潍坊模拟）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，

主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历

史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连

排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课

程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）

A.120种B.156种

C.188种D.240种

答案A

解析当“数”排在第一节时有A玉Aj=48（种）排法，当“数”排在第二节时有Aj-A?-A5=

36（种）排法，当“数”排在第三节时，若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A&Ag

=12（种）排法；若“射”和“御”两门课程排在后三节时有A%AlAS=24（种）排法，所以满足

条件的共有48+36+12+24=120（种）排法.

（2）若自然数〃使得作竖式加法〃+（〃+1）+（〃+2）均不产生进位现象,则称〃为“开心数”.例

如：32是“开心数”.因为32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23+24

+25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（）

A.9B.10C.IID.12

答案D

解析根据题意个位数需要满足要求：

〃+（〃+1）+（〃+2）<10,即〃<2.3,

・•・个位数可取0,1,2三个数,

・・•十位数需要满足:3〃<1（）,，〃<3.3,

・•・十位可以取0,123四个数，故小于100的“开心数”共有3X4=12（个）.

思维升华（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步

当中又可能用到分类加法计数原理.

（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化.

跟踪演练1（I）某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每

人最多抢一个,且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元,1个8元,1个10元（红包中金

额相同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有（）

A.18种B.24种

C.36种D.48种

答案C

解析若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走,

有A执孑=12（种）抢法；

若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有

A以g=12（种）抢法;

若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有

AK3=6（种）抢法;

若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A*=6（种）抢法.

根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种.

（2）（2018.百校联盟联考深山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所

示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，

同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有

（）

1234

A.9种B.18种

C.12种D.36种

答案B

解析若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子,

所以共有3X2=6（种）种植方式；

若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6X3=18（种）种植方式.

热点二排列与组合

名称排列组合

相同点都是从n个不同元素中取川。个元素，元素无重复

①排列与顺序有关：②两个排①组合与顺序无关：②两个组

不同点列相同，当且仅当这两个排列合相同，当且仅当这两个组合

妁元素及其排列顺序完全相同的元素完全相同

例2（1）（2018•哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考）将7个座位连成一排，安

排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）

A.240种B.480种

C.720种D.960种

答案B

解析12或67为空位时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空位时，第三个空

位有3种选择，因此空位共有2X4+4X3=20（种），所以不同坐法有20A3=480（种）.

（2）5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用I人，则不同的分配方法共有（）

A.25种B.60种C.90种D.150种

答案D

解析因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：

一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有黄XA[=90（种）分配方法；二,一个由位3

名，其他两个单位各I名，有CgXAS=60（种）分配方法，共有90+60=150（种）分配方法.

思维升华求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确：有序排列，无序组合；分类

相加，分步相乘.

具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径

（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.

（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

（3）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.

解答计数问题多利用分类讨论思想.分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”.

跟踪演练2（1）（2018•北京市建华实验学校模拟）甲、乙、丙、丁、戊共5人排成一排照相合

影，如果甲、乙必须在丙的同侧，则不同的排法有种.

答案80

解析由题意先将甲乙捆绑在一起有用种排法，再与丙一起排列一共有A执孑种排法，然后

再将丁戊插入共有A认支｝C，=80（种）排法.

（2）（2018•湖南省长沙市雅礼中学、河南省实脸中学联考）郑州绿博园花展期间，安排6位志愿

者到四个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，

其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（）

A.168种B.156种

C.172种D.180种

答案B

解析分类：（1）小李和小王去甲、乙，共有A支鼻©=12（种）；（2）小王、小李一人去甲、乙，

共CiaClC3=96（种）；（3）小王、小李均没有去甲、乙，共A以3=48（种），总共N=12+96+

48=156（种）安排方案.

热点三二项式定理

3+〃）〃=CM+CM…办+…+C；8,其中各项的系数C〃=0,l,…,〃）叫做二

项式系数；展开式中共有〃+1项，其中第火+1项7；+i=C打"r/Z（其中OWkWn,k£N,〃£N"）

称为二项展开式的通项公式.

例3（1）（2018・揭阳模拟）已知/+1）（0¥一5）5的展开式中常数项为-40,则a的值为（）

A.2B.—2C.±2D.4

答案c

解析（如一《）展开式的通项公式为

"=c§（ar）5r（—：＞=（-1）%5一仁金一”，

令5—2攵=-1,可得％=3,

结合题意可得（一厂病一3cs=-40,即10〃2=40,

，。=±2.

⑵已知（1一却2。17=的+刈。-1）+政。-1）2+~+°2016（工一1严16+02017（1-1）2017。£见,则

2。2+3的-4日+…一2016。2016+201加2017等于（）

A.2017B.4034C.-4034D.0

答案C

解析因为（1—2x）2OI7=4O+0（E—1）+d2（X—1）2H----I-6T2016。-1）2016+^2017（上-1）2

017（A-GR）,两边同时求导可得一2X2O17（l-2x）2°i6=ai+242（x-l）+~+2O16soi6a-l）235

+201742017（—x£R）,

令x=0,则一2X2017=3-242+---2016a236+201742017=-4034.

思维升华（1）在应用通项公式时，要注意以下几点：

①它表示二项展开式的任意项，只要〃与&确定，该项就随之确定：

②7vH是展开式中的第k+1项，而不是第％项；

③公式中，a,力的指数和为〃，且出〃不能随便颠倒位置；

④对二项式（〃一份〃的展开式的通项公式要特别注意符号问题.

（2）在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的

经典方法.

跟踪演练3（1）（2018・龙岩质检）已知二项式（1+：—2x},则展开式的常数项为（）

A.-1B.1C.-47D.49

答案B

解析・.•二项式（l+F—ZYbuJ+a—Zx）}

=1+4（（一对+6G-2A）+4（千-2r}+

D4,

・•・一项式中的常数项产生在1,6@一〃）2,七一〃）4中，

分别是1,6X2；（—2A）,Ci（§2.（一2V尸，

它们的和为1-24+24=1.

（2）（退+3〃的展开式中,各项系数之和为A,各项的二项式系数之和为B.若房=32,则〃

等于（）

A.5B.6C.7D.8

答案A

A4〃

解析令41,得各项系数之和为A=4"，二项式系数之和为8="故石/=32,解得〃

=5.

。真题押题精练真题押题体味高考

【真题体验】

1.（2017.全国n改编）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成I项，每项工作由I人完

成，则不同的安排方式共有种.

答案36

解析由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式

4X3

为C}C*A多=36（种）,或列式为CJ.C?C1=3X—X2=36（ft）.

2.（2016•上海）在6G—3”的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于

答案112

解析由2"=256,得〃=8,

史比竺

通项公式力1+I=dx3.（一"a=cS（-2卢X3,

8-4我

令一y-=0,得2=2,则常数项为CR（—2）2=112.

3.（2017•浙江）已知多项式（x+D'a+zynN+sf+w?+oM+qd+as，则w=,

答案164

解析出是x项的系数，由二项式的展开式得

44=C&C}2+C4©-22=16.

〃5是常数项，由二项式的展开式得〃5=C$C%22=4.

4.（2017.浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4

人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答）

答案660

解析方法一只有1名女生时，先选I名女生，有c4种方法；再选3名男生，有我种方

法；然后排队长、副队长位置，有用种方法.由分步乘法计数原理，知共有CiaAZ=480（种）

选法.

有2名女生时，再选2名男生，有C2种方法；然后排队长、副队长位置，有4种方法.由

分步乘法计数原理，知共有180（种）选法.所以依据分类加法计数原理知共有480+180

=660（种）不同的选法.

方法二不考虑限制条件，共有A2C*种不同的选法,

而没有女生的选法有Aga种，

故至少有1名女生的选法有AGCW-A2a=840—180=660（种）.

【押题预测】

1.某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不

同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不

同的播放方式有（）

A.8种B.16种

C.18种D.24种

押题依据两个计数原理是解决排列、组合问题的基础，也是高考考查的热点.

答案A

解析可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A1种方法；第二步，在前两个位置选一个

排第二个商业广告有A』种方法；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A芬中方法.根据分

步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有A』A』A3=8（种）.

2.为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业

技术培•训I,每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为（）

A.60B.120

C.240D.360

押题依据排列、组合的综合问题是常见的考查形式，解决问题的关键是先把问题正确分类.

答案D

解析6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4」』；321；

222.（1）对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有C4种，其余5名

分成一人组和四人组有C&W种，共5A9G=2。（种）；王教练分配到四人组且该组不去甲校有

CgClA与=40（种）,则第一种情况共有20+40=60（种）.（2）对于第二种情况,王教练分配到一

人组有C^C?A?CJ=4O（#）,王教练分配到三人组有CgC支1A孑=120（种），王教练分配到两人组

有C，GC?A3=8O（种）,所以第二种情况共有40+80+120=240（种）.（3）对于第三种情况,共

有c!ac?c3=6O（种）.

综上所述，共有60+240+60=360（种）分配方案.

3.设（1—2x）7=Qo+aix+a2f+的/+。4/+05/+。6心+〃7/,则代数式01+202+343+444+

5恁+6。6+7«7的值为（）

A.-14B.-7

C.7D.14

押题依据二项式定理作为选择题或填空题设计，属于必考试题，一般试题难度有所控制，

考查常数项、指定项的系数、最值、系数和等类型，本题设计角度新颖、典型，有代表性.

答案A

解析对已知等式的两边求导，得

—14（1-2A）6=4|+2〃2A,+3。］+44/+5〃4+6。6¥5+7S.必，

令x=l,有+242+343+404+5的+6。6+7。7=-14.

4.（I+2A•严的展开式中系数最大的项是_______.

押题依据二项展开式中的系数是历年高考的热门考题，本题通过求解系数最大的项，考查

考生的运算求解能力.

答案15360,t7

解析设第攵+1项的系数最大，

由通项公式/+i=Cfo2父，依题意知项的系数不小于7；项及q+2项的系数，即

2c佑3勺，

[2（11一62&,

解得

%+122（10—k）,

1922

所以（，即攵=7.

JJ

，777

故最大的项为T8=C?（）2X=15360X.

。专题强化练梯度训练直通高考

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A组专题通关

1.（2018.全国^）仗+:）5的展开式中的系数为（）

A.10B.20C.40D.80

答案C

解析的展开式的通项公式为q+尸，

令10—32=4,得上=2.

故展开式中％4的系数为Cg-22=40.

2.在新一轮的素质教育要求下，各地高中陆陆续续开展了选课走班的活动，已知某高中学校

提供了3门选修课供该校学生选择，现有5名同学参加该校选课走班的活动，要求这5名同

学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则这5名同学选课的种数为（）

A.120B.150

C.240D.540

答案B

解析因为将5个人分成3组有两种情形,

5=3+1+15=2+2+1,

所以这5名同学选课的种数为"0-

iAc50故选B.

3.（2018•北京丰台区模拟）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女

生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同

的排法种数为（）

A.4B.8C.12D.24

答案B

解析由题意，现对两位男生全排列，共有A^=2（种）不同的方式，

其中两个男生构成三个空隙，把两位女生排在前两个空隙或后两个空隙中，再进行全排列，

共有2XA3=4（种）不同的方式，

所以满足条件的不同的排法种数为2X4=8.

4.将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排，则A与8相邻且A与。之间恰好有

一名同学的排法有（）

A.18种B.20种

C.21种D.22种

答案B

解析当A,C之间为4时，看成一个整体进行排列，失有A%AS=12（种），当A,C之间不

是B时，先在A,C之间插入。，石中的任意一个，然后8在4之前或之后，再将这四个人

看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有C&A当A4=8（种），所以共有20种不同的排法.

5.（208永州模拟）6—%+”的展开式中的常数项为（）

A.-6B.6C.12D.18

答案D

解析由二项式（x+1）3的通项公式为/+]=C§303—2\

当3—22=1时，解得女=1,当3—2左=一1时，解得k=2,

所以展开式中的常数项为一C，3+C%32=-9+27=l8.

6.（2018・吉林调研）若（x—；）”的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含『项

的系数是（）

A.-462B.462

C.792D.-792

答案D

解析・・（上一的展开式中只有第7项的二项式系数最大,

，〃为偶数，展开式共有13项，则，7=12.

的展开式的通项公式为/+]=（一及一2（令12—2攵=2,即&=5.

・•・展开式中含X2项的系数是（一I）5（^2=-792.

7.（2018•上海黄浦区模拟]一项式的展开式中，其中是有理项的共有（)

A.4项B.7项

C.5项D.6项

答案B

二项式陛

解析40的展开式中,

通项公式为Z十尸C§0・（5）4°f♦（勃

20--4

=&X6

0WAW40,

:.当女=0,6,12,18,24,30,36时满足题意，共7个.

8.《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声

光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜

少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后/,、场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居

秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）

A.144种B.288种

C.360种D.720种

答案A

解析《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词进行全排列共有A3种排法，满足《将进酒》

排在《望岳》的前面的排法共有毒种，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在4

个空里（最后一个空不排），有陷种排法.《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送

杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有名XA孑=144（种）.

9.（2018・全国I）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则

不同的选法共有种.（用数字填写答案）

答案16

解析方法一按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C£W种，有2位女生参加

有©C1种.故所求选法共有Qa+©C1=2X6+4=16（种）.

方法二间接法.从2位女生，4位男生中选3人，共有C%种情况，没有女生参加的情况有

&种，故所求选法共有CW—a=20—4=16(种).

10.若(1—2x)237=ao+w|-|-fl2OI7A2O,7(xGR),则胃+:H---1■黄歌I勺值为.

答案一1

解析令等式中的x=0,得。0=1；

再令x==得ao+%+翁4---1■舞1=0,

所以胃+既H---1"筹片=-a0=-1.

11.若(x+y)(2x—+a2X5y+a3y2+o4X3y3+a5X2/+wy5+a7y6,则出=，a\

+42+43+04+45+46+47=.

答案402

解析(2x—y)5的二项展尹式的通项为

5-5-

7*+1=Cj(2x)*(-#=C52\-1)Vy,

令k=3,得'=-40片V；

令4=2,得八=80N)2,

再与x十y相乘，可得尸尸的系数为一40十80=40,

:.6/4=40.

在(x+y)(2x—y)5=〃ix6++a+r3)4+as^y4+a(jcy^+ai)^中，

令X=y=1,得〃1+。2+。3+〃4+45+。6+47

=(1+1)(2-1)5=2.

12.元宵节灯展后，如图悬挂有9盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有种不

同取法.(用数字作答)

答案1680

解析1680-

B组能力提高

13.已知加=«385(%一外心，则(%—2)，+3zy”的展开式中含2yz项的系数等于()

A.180B.-180C.-90D.15

答案B

由于/〃=N3c()sQ—?山;=用3

解析sinX(1A

=(-3cosx)|8=6,

所以(工一2)，+3z),n=(x-2y+3z"=[(x-2y)+3z]6,

其展开式的通项为CM-21y)6r(3z)",

当左=1时，展开式中才能含有fyz项，这时(x—2y)5的展开式的通项为2y)5,

当$=1时，含有；6,项，系数为-10,

故(X—2'+3z"的展开式中含产冲项的系数为

d(—10)X3=-180.

14.为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高

三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名

同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派

的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为（）

A.720B.768

C.810D.816

答案B

解析由题意知结果有三种情况.（1）甲、乙、丙三名同学全参加，有C1A：J=96（种）情况，其

中甲、乙相邻的有&A执$=48（种）情况，所以当甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗

诵顺序不能相邻的有96—48=48（种）情况；（2）甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗

诵顺序有CiCLM=288（种）情况；（3）甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序

有（：支执才=432（种）情况.则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288+432+48=768（种）情况，

故选B.

15.（2018・保山模拟）一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，/.、蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞

行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，

停在数轴上实数3处，则小蜜蜂不同的飞行方式有种.

答案75

解析由题意知，小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3处，共有以下四种情形：

一、小蜜蜂在5次飞行中，有4次向正方向飞行，1次向负方向飞行，且每次飞行一个单位,

共有己=5（种）情况；

二、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行，每次飞行一个单位，1次向正方向飞行，

且飞行两个单位，1次向负方向飞行，且飞行两个单位，共有aCJG=20（种）情况；

三、小蜜蜂在5次飞行中，有1次向正方向飞行，且飞行一个单位，2次向正方向飞行，且

每次飞行两个单位，2次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有CgClG=30（种）情况；

四、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行，每次飞行两个单位，有1次向负方向飞行

且飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行一个单位，共有CgA*=20（种）情况；

共有5+20+30+20=75（种）情况.

16.（2018•上海松江、闵行区模拟）设刖,如x3,x4c（1,0,2},那么满足2冬加十同上网

+用|忘4的所有有序数组（XI，X2，力，X4）的组数为.

答案45

解析分类讨论：

①MI+闷+闷+同=2,

则这四个数为2,0,0。或一1,-1,0,0,

有C1+C3=4+6=1O（组）；

②必|+咫|+网+冈=3,

则这四个数为2,—1,0,0或-1,-1,一1,0,

有ClXCl+G=12+4=16（组）；

③访|+闷+闷+闷=4,

则这四个数为220,0或一1,一1,20或-1,-1,-1,-1,

有3+35+3=6+6X2+1=19（组）；

综上可知，所有有序数组（为，x2,x3,用）的组数为10+16+19=45.

第2讲概率

［考情考向分析11.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用2将古典概

型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力.

七热点分类突破

师生讲练互动热点各个击破

热点一古典概型和几何概型

1.古典概型的概率

m。中所含的基本事件数

P（A）=~=基本事件总毅,

2.几何才吃型的概率

_构成事件A的区域长度（面积或体积）

尸（川=试脸的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.

例I（I）党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育

事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展.现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到

两所偏远山区小学任教.将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则

每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为（）

424

B-C14D-

A.55

2525

答案C

解析由题意，将这六名毕业生全部进行安排，每所学校至少2名毕业生,

基本事件的总数为N=（或+嘴）XAW=5O,

每所学校男女毕业生至少安排一名共有2种情况.

一是其中一个学校安排一女一男，另一个学校有一女三易，有&©肥=16（种）,

二是其中一个学校安排一女二男，另一个学校有一女两另，有aa=12（种），

共有16+12=28（种）.所以概率为夕=H=葛

（2）如图，在边长为2的正方形ABC。中，M是AB的中点，过C,M,短三点的抛物线与C。

围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（）

A6

答案D

解析以M为原点.用4所在直线为），轴,的垂线为x轴.建立平面直角坐标系,则过C

M,。的抛物线方程为产上，则图中阴影部分面积为2叭修di=^x|/|海，所以落

8

3?

在阴影部分的概率为尸=/东故选D.

思维升华（1）解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含

的基本事件数，常用到计数原理与排列、约合的相关知识.

（2）在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基

本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性.

（3）当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹痢等时，应考虑使用几何概型求

解.

跟踪演练1（1）（2017・山东）从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每

次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）

5457

--C--

A.B.999

18D.

答案c

解析方法一19张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取,

•••P（第一次抽到奇数，第二次抽到偶数尸5$乂］4=玄5，

P（第一次抽到偶数，第二次抽到奇数）=§〃=福

5

-

.•.P（抽到的2张卡片上的数奇偶性不同）=得+得9

5

5X4-

方法二依题意，得尸（抽到的2张卡片上的数奇偶性不同）=父9

（2）（2018.咸阳模拟）在区间［苫，,上随机选取一个实数工，则事件“sinQ坐”发生的概率

为（）

A.1B，4C?D-6

答案D

解析因为“W一与,，sinx2坐，所以卜启宏

71_7£

所以由几何概型的概率公式得事件“sinx2*”发生的概率为23.

25-（-96

热点二条件概率与相互独立事件

1.条件概率

在A发生的条件下B发生的概率

F(7W)

P(B|A)=

P(A).

2.相互独立事件同时发生的概率

P（AB）=P（A）P（B）.

例2（1）（2018•衡水调研）电路从A到8上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是g,

整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从4到3连通的概率是（）

-0-j£r—0

-C—I)—*B

0—

10B-729C243Df

A-27

答案B

解析由题图可知，4c之间未连通的概率是《AJ连通的概率是1g奇.E尸之间连通的

率是

概V，未连通的蹴率是故C8之间未连通的概率是劭=||,故0之间

连通的概率是1一符=符，故人8之间连通的概率是盟冷鬻

（2）（2018・新余模拟）从1,2,3,4,5,678,9中不放回地依次取2个数，事件A="第一次取到的是

奇数”，8="第二次取到的是奇数”，则P（用A）等于（）

A2Bt

C&D1

JO%

答案A

解析由题意得"4）=罢=米

cgcl5

P(AB)=

Ao18'

5

・/(B|A)一P⑷一二2・

9

思维升华求相互独立事件和独立重复试脸的概率的注意点

(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事

件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.

(2)注意辨别独立重曳试睑的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情

况；②在每次试脸中，事件发生的概率相同.

跟踪演练2(1)某种电路升关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现纪

灯的概率为:，两次闭合后都出现红灯的概率为g则在篁一次闭合后出现红灯的条件下第二

次闭合后出现红灯的概率为()

ABc

iOit

答案C

解析设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件4,“第二次闭合后出现红灯”为事件B,由

1

题意得P(A)=T，P(4B)=,.由条件概率的定义可得尸(B|A)=P(A〃)52

P(4)5,

(2)如图，4BCD是以。为圆心、半径为2的圆的内接正方形，E/GH是正方形A8C。的内接

正方形，且E,F,G,H分别为A8,BC,CD,D4的中点.将一枚针随机掷到圆。内，用

M表示事件“针落在正方形ABCD内”，用N表示事件“针落在正方形EFGH内”，则片2”)

等于()

D

//

A・1R巫C・1plA

A7tDezCl/C24Lx.

答案c

解析由题意得，圆。的半径为2,

所以内接正方形ABC。的边长为AB=2<2,

则正方形ABCD的面积为$=(2也产=8,

因为E,F,G,H分别为A8,BC,CD,D4的中点，

所以EF=^X2/?=2,

2

所以正方形£FGH的面积为52=2=4,

41

所以P(N]M)=W=E，故选c.

热点三离散型随机变量的分布列

1.离散型随机变量的分布列的两个性质

(l)p,20(i=l,2,…，71)：(2)pi+p2d----卜p〃=l.

2.独立重复试脸、二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试脸中恰好发生4次的概

率为C》(l一/尸\&=0,1,2,…，n.

一般地，在〃次独立重复试脸中，用X表示事件A发生的次数，设每次试脸中事件A发生的

概率为p,则尸(X=#)=C版％其中〃十<7一1，^-0,1,2,…，凡称X服从参数为

〃，〃的二项分布，记作X~B(〃，〃)，且E(X)=〃p,D(X)=np[\—p).

3.期望公式

E(X)=Xip\+X2l>2~\----卜

4.期望的性质

(1)E(aX+b)=aE(X)+b：

(2)若X〜p),则E[X}=np.

5.方差公式

222

D(X)=(xi-E(X)J.p,+LX2-E(X)J-P2+-+[x,-E(X)J-p,f,标准差为加湎.

6.方差的性质

(l)D(aX+b)=/o(x)；

(2)若X〜8(〃，p),则。(为=〃〃(1一〃).

例3(2017.全国川)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，

售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售

经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500

瓶；如果最高气温位于区间[20,25),需求量为30()瓶；如果最高气温低于20,需求量为200

瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频

数分布表：

最高气温[10,15)(15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货吊〃(单

位：瓶)为多少时，丫的期望达到最大值？

解(1)由题意知，X所有的可能取值为200,300,500,

由表格数据知，

2+16

P(X=200)=TTT-7=0.2,

尸(X=300)=崇丁0.4,

25+7+4

P(X=500)==0.4.

30X3

则X的分布列为

X20030()500

p0.20.40.4

(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200W〃W500.

当3OO《〃W5OO时，

若最高气温不低于25,则丫=6〃-4〃=2〃；

若最高气温位于区间［20,25),则丫=6乂300+2(〃-300)—4〃=1200—2〃；

若最高气温低于2(),则¥=6X200+2(〃-200)—4〃=80()—2〃，

因此E(y)=2〃X0.4+(l200-2/7)X0.4+(800-2n)X0.2=640-0.4/z.

当200&V300时,

若最高气温不低于20,则丫=6〃-4〃=2〃；

若最高气温低于2(),则r=6x2(X)+2(//-200)-4H=80()-2n,

因此E(K)=2〃X(0.4+0.4)+(800-2〃)X0.2=160+1.2〃.

所以当〃=300时，y的期望达到最大值，最大值为520元.

思维升华求解随机变量分布列问题的两个关键点

(I)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后

综合应用各类概率公式求概率.

⑵求随机变量的期望与方差的关键是正确求出随机变量的分布列.若随机变量服从二项分

布，则可直接使用公式法求解.

跟踪演练3(2018・永州模拟)某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，

每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所

有岗位共分为4,B,C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000,6000,2000,由历史

数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率)：

工种类别ABC

121

赔付频率

已知4,B,C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分

别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10

万元.

(1)求保险公司在该业务所获利润的期望值；

(2)现有如下两个方案供企业选择：

方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等

额赔偿金赔偿付给发生意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元：

方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%,职工个人负责保费的30%,出险

后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.

请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.

解（1）设工种A,B,。取工的每份保单保险公司的收控为随机变量X,匕Z,则X,匕Z

的分布列为

X2525-100XI04

1-苏1

P可

Y2525-100X104

22

P1R

Z4040-50X104

if1

P

保险公司的期望收益为

E(X)=250一制+(25—100X1O4)X忐=]5；

E(K)=25(1一菊+(25—100义104)Xf15=5；

£(2)=40。一褐+(40—5OXl()4)x席=-10.

保险公司的利润的期望值为12000XE(X)+6000XE(y)+2000XE(Z)—100000=90000,

故保险公司在该业务所获利润的期望值为9