高考数学试题及答案

普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位

置上.

1.己知集合4={-2—,3,4},4=则-04=▲

2.已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为▲.

3.右图是一个算法流程图，则输出的〃的值是▲.

4.从123,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是

▲.

/输？//

5.已知函数y=cosx与y=sin（2x+°）（0W0V4）,zxxk它们的图象有一个横坐标

为？的交点，则o的值是一

（第3题）

6.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示，则在

抽测的60株树木中，有_4_株树木的底部周长小于100cm.

9.在平面直角坐标系直为中，直线x+2），-3=0被圆

（X-2）2+（＞，+1）2=4截得的弦长为▲.

10.已知函数/（幻=工2若对于任意x€[/〃,〃?+1],都有/（x）vO成立,则实数m的取

值范围是▲.

11.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=/+2（«b为常数）zxxk过点P（2,-5）,

X

且该曲线在点夕处的切线与直线7x+2），+3=0平行，则…的值是一▲.

12.如图，在平行四边形中，已知4?=8,八P

AB

（第12题）

AD=5,CP=3PD,而•而=2,则篇•访的值是一▲.

13.若XABC的内角满足sinA+后sinB=2sinC,则cos。的最小侑是▲.

14.已知/（工）是定义在R上且周期为3的函数，当xc[0,3）时,/（用=|/—2x+g].若函数

在区间[-3,4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是▲.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，答时应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分14分）

已知ae(―.^-),sina=—

25

⑴求sin（工+a）的值;

(2)求cos(----2a)的值.

16.（本小题满分14分）

如图，在三棱锥P-ABC中，。，E,F分zxxk别为棱PC,AC,钻的中点.

已知PAA.AC,PA=^

BC=8,DF=5.

求证:（1）直线孙〃平面DEFx

（2）平面BDE1.平面ABC.p

B

（第16题）

17.（本小题满分14分）

23

如图，在平面直角坐标系X。），中,小尸2分别是椭圆一+==1（〃>〃>0）的左、右焦点,

a~b~

顶点8的坐标为（0,加，连结8尸2并延长交椭圆于点人过点人作x轴的垂线交

椭圆于另一点C连结AC.

⑴若点C的坐标为g,g）,且5G=后，求椭圆的方程;

（2）若％C_LA比求椭圆离心率e的值.

18.（本小题满分16分）

如图，为了保护河上古桥。人规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划

要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段。4上并与BC相切的圆.

且古桥两端。和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O

正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处:OC为河岸）,tanZBCO=-.

3

（I）求新桥AC的长；

（第18题）

答案：

1

【答案】J,3)

【解析】亡血意得上「石二「1,引.

【考点】集合，E理

2

【答案】21

【解析】由题意z=(5+2if=25+2x，:.+ui)2=21+20i,其实都为21.

【考点】复数的概念.

3

【答案】5

【解析】本题实质上就是求不等式2*、二。的最小整为,.20整数解为力25,因此输出的在二5

【考点】程序框图.

4

【答窠】-

3

【解析】从L2,3,6这4个数日任取二个数共有C：=6种取法，其中乘积为6的有L6和2,3两种取法，因

此所求概率为产=三2二91.

63

1考点】古典概型.

，已知函数7“学:尸、,♦人2.♦g,它们的用多行一个

城t标为卓的侬.图9的负显▲.

【答案】-】一;

6

【解析】由题意cos2=sin（2x工+协，即$in（空+©）=4，—+<p=^+（-l/-,依©Z）,因为

333236

穴

0g/<不，所以9=一.

6

【考点】三角函数图象的交点与已知三角函软值求角.

6

【答案】24

t解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于1002的株数为（0.015+0.025）x1Ox60=24.

7

z4在项均为正故的等比数列I中.若叫，L

,则。6的值是▲二

t答案】4

【解析】设公比为q,因为%=1，则由&=%+2勺得/=丁+2/，/_/_2=0,解得/=2,

所以。6==4.

【考点】等比数列的通项公式.

8.设甲、乙网个圆柱的底面积分别为S・&，他松分别为匕•力.若它们妁优卤税叱、且

之=\则高的.是_A_・3—,■，*；

3

【答案】-

2

【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分刖为，i、4，厂2、%'则2兀滋=2”》2，—=—＞又

%“

务=码=2,所以2=2,则五=驾殳=号.包=工n=a=2.

r

$肛4r22V2町饱弓用弓勺22

【考点】圆柱的恻面积与体积.

9

【答案】零

【解析】圆。一2)2+3+»=4的圆心为C(2,-l),半径为r=2,点C到直妓x+2y-3=0的距离为

心经3=《，所求弦长为'2乒储=2口=窣

#77若[55

【考点】直线与圆相交的弦长I句题.

10.已知函数〃x)=xJ+rax-I,若对于任意:xw[m.m♦1],红有。x)<Q京文玛实数m

的取值范围是▲.

【答案】(-乎,。)

t解析】据题意["陶="+叱1<°'解得_走<加<0.

|../(?»4-1)=(w+1)24-w(w+l)-l<0,2

【考点】二次函数的性质.

”.在平面玄角坐你系E5中，若曲线y=3,b为常数)过点P(2.-5),且读曲我却WP

处的切线与直线74+2y+3=0平行,则。+b的值是▲.

【解析】曲妓y=a/」过点P(2,-5),则4。,二一5①，又V=2ax-名，所以4。-2=-?②，由

x2x42

a=-

①©解得所以a+8=-2.

5=T

【考点】导数与切疑斜率.

处的切线与真线7x+2丁+3=0平行，则a+6的值是―▲

12.如图，在平行四边形4BCD中，已知AB=8,AC=5.

C?=3PD,AP-RP=2.则兀•疝的假足▲.

【答案】22

，」...I..一一♦一■,4..4・・・T,

【解析】由题意，AP=AD-i-DP=AD+-AB,BP=BC+CP=BC+-CD=AD--AB,

444

B?=（A5+^AB）（AD-^AB^A^-^ADAS-^AS2,

即2=25-1粉刀-2x64,解得万.茄=22.

216

【考点】向量的线性运算与数量积.

13

【答案】(o,3

2

【解析】作出函数/(x)=「一2x+Lxe[0,3)的图象，可见/(0)=L当x=l时,

/(X)殿大

22乙

7

/(5=一，方程/")-以=0在xe[—3,4]上有13个零点，即函数y=/(x)和图象与直线y=以在[-3,4]

2

上有10个交点，由于函数/㈤的周期为3因此♦然y=以与函数/(x)=；?-2x+；,xe[0,3)的应该

【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题.

14

【答案】

~4~

【解析】由已知sinA+yf2sinB=2sinC及正弦定理可得a+^2b=2c

2,2_+

22

「"十"一1—2—)3a+2b-242ab2^6ab-2^2ab#-应

当且

-2ab~2ab-Sab-8a2)-4

仅当3a2=次即2=邛时等号成立，所以cosC的最小值为声苔

b丛4

【考点】正弦定理与余弦定理.

二、解答题

境（率小题满分14分）

已a£j£4.sina、夕

5・

（1）求好n/f+a）的值；

（2）求c»帝-2c）的值.

【答案】⑴得，（“等.

2道

【解析】（1）由题意cos&=-

~5~

穴7T

所以sin(—ha)=sin—cos&+cos-sina=x十------X...—―----•

444T2510

3

(2)由(1)得sin2a=2sin&cosa=—-,cos2a=2cos2a-1=—,

55

G”.5TT..5不、.5汗.、不31/4、34+4

所以cos(2a)=cos—cos2a+sin-sin2ax-+-x(—)---------.

666252510

【考点】同角三角函数的关系，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式.

16

【解析】（1）由于2后分别是尸C/C的中点，则有以夕又R4（z平面Q班，Z）£u平面Z）防,

驱以〃平面吸尸.

（2）由（1）PA//DE,又以_L<C,所以F豆_L<C,又F是SB中点，DS=-PA=3,

2

EF=-BC=4,又DF=5,所以DE'EF'DFJ所以DELEF,是平面3c内两条

2

相交直境，所以Z?E_L平面力BC,又Z）£u平面所以平面BOE_L平面.

【考点】线面平行与面面垂直.

17

【答案】（1）—+/=1；（2）

22

——Tr410，（!尸

【解析】⑴由题意，玛9，。），的垃,|阳卜山，+j="=也，又C（。二），・,•工+多=1,

332b

解得8=1....桐园方程为1+J=1.

（2）直妓8玛方程为E+21=l,与椭圆方程马+4=1联立方程组，解得力点坐冰为

cbab

b3

2a%b3cc人.小/2a%Z>3_2+c2_/

(777>"777),则c点上标为(WK/)’2』a—二珏七

中+c

由&WB得总（告一，目*2—42A“，化简得”沼.

【考点】（1）椭圆标准方程，（2）椭圆离心率.

18.（本小的满分一分）

如图,为保护河上古桥。1,规划建-座新桥同时设'7-个网形保护区•规划要求：

新桥BC与河岸相-H；保护区的边界为圆心M在线段OA|Jt*jAC相切的网.且古桥

两端。和4到该网上任意一点的距阖均不少J-80m.经侧ft,点A位于点0正北方向

60m处.点C位于点0正东方向170m处（OC为河岸）.

（1）求新桥8c的长;

（2）当OM多长时，圆形保护区的血枳坡大？

【答案】⑴150w；(2)10w.

【解析】

Ay

4

(1)如图，以。C,Q4为xj轴建立直角坐标系，则(7(170,0),.4(0,60),由题意施,=一全直线石。方

4

y=~(x-no)

4133

程为丁=一一。一"0).又鼠=-——=-,故直线＜8方程为7=2工+60,由，3，解

3ap44

ky=—x+60

4

x=80

得即3(80,120),所以忸Cl->/(80-r0/+120?=150(w)；

y=120

(2)设。Af=2,即%(0")(0qM6G1由⑴直线8c的一般方程为4x+3y-680=0,国M的半

…产由题意要中'一/"；、"。，由于°q$60，因此

1363-2-0,

饮-680|_680-R:...10WM35,所以当，=10时，「取

5~-136-^-(60-Z)>80,

得最大值130m,此时圆面积最大.

【考点】解析几何的应用，亶线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距图.

19

】9.(本小题满分16分)

已知函数人")=e，+e\其中e是臼然对数妁底数.

(1)证明：/>)是R上的偶函数；

(2)若关于x的不等式m〃幻1在(0,+oo)上恒成立，求实数m的取值范围；

(3)已知正数0满足：存在维-[1,.8),使得“%。)<Q(-*+3x0)成立.试比较

e°T与a6-1的大小，并证明你%绪论.

【答案】(1)证明见解析，(〉活工-工，(5二-(。+3<。，7时，产当。=。时，

32e

当a>e时，

【解析】(1)证明：函数了。)定义域死N，•••/•Jx)=eY「/=/5),「./(x)是偶函数.

(二)由W(x)We-x+w-l得幽由于当x>0时，/>1,限/(幻=/+g7>2,

即所以加4-...-——=工，设…则

/。)-1

t<0»—=——“)+:=2+1-1,Z<0»—2(E=-1时等号成立)，即1工—2-1=-3,

、£!ty

--<y<0,所以液工一工.

33

(3)由题意，不等式/(x)<a(-x3+3x)在口,田)上有解，由/(x)<a(-/+3x)得

ax3-3ax+ex+e~x<0>记4(x)=ax‘-3ax+，h'(x)=3a(x2-1)-e~x,显然我'(1)=0,

当x>l时，"。)>0(因为a>0),故函数&(x)在口,”、增函数，次工)四小=&⑴，于是我。)<0在

[1,-Ko)上有解，等价于〃⑴=。-%：。-<0,叩a>L(e+l)>l.考察函数

e2e

二一1

g(x)=(e-l)lnx-(x-1),(x>1),g'(x1=一^一1.当x=e-1时，g'(x)=0,当1<x-1时，

x

g'(x)>0,当x>1时g'(,<)<0,即g(x、在[l,e-11上是增函罚,在(bl,4co)上是够函数,又