高考数学复习板块四 3

3.三角函数、解三角形、平面向量

回归教材知识方法再回顾

1.a的终边与夕的终边相同(a的终边在e的终边所在的射线上)0。=8+2E(&£Z),注意：

相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.

任意角的三角函数的定义：设a是任意一个角，P(x,y)是a的终边上的任意一点(异于原点),

它与原点的距离是厂=勺『+)2>0,那么sina=5,cosa=*lana=9(xWO),三角函数值只与

角的大小有关，而与终边上点P的位置无关.

［问题1］已知角。的终边经过点尸(3,-4),则sina+cosa的值为.

答案-1

2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式

(1)平方关系:sin2a+cos2«=1.

(2)商数关系：iana=及习k《Z).

cosi4j

(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限

it

角九

—«7t-a+aIn-a2~a

正弦—sinasin«—sina—sinacosa

余弦cosa—cosa—cosacosasina

［问题2］cos号+tan(-,)+sin21n的值为

答案落坐

&£Z}

值域{y[-1<)W1}R

在［-5+2E,

3+2船,&£Z上单

在［(24—1)江,2E］,在(一'+E,

调递增；&£Z上单调递增；

单调性》十幻1),££Z_L

在g+2E,在［2E,(2什1)兀］,

k£Z上单调递减单调递增

多+2履］,k£Z上

单调递减

x=^+2E(A£Z)时，

X=2klt(kWZ)时，}'niax

最值ymax=hX=-2+=1：r=n+24m%£Z)无最值

2版伏£Z)时,ymin=—时，ymin=-।

1

奇偶性奇偶奇

对称中心：对称中心：

对称中心：

(E+合0),(祭。)

(E,0),kGZ

对称性kGZ&WZ

对称轴：=

xkn对称轴：

无

+.AWZx=kit,AEZ

周期性2兀2兀It

［问题3］函数产sin(—Zr+5的单调减区间是.

答案［%兀一有E+雪(KZ)

4.三角函数化简与求值的常用技巧

解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化

简、求值.常用到切化弦、降暴、拆角、拼角等技巧.如：

a=(a+")—2a=(a+6)+(a一成)，

a=3(a+0+(a-)］.

a+；=(a+0)—［一；)，［=［+；)—：.

［问题4］已知a,4金仔，兀)，sin(a+6)=—,,si«—J=M，贝Ucos(a+£)=.

答案-If

5.解三角形

(1)正弦定理：缶=缶=看=2/?(/(为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些

oil!/>olllLJoil!V

b.c

变式：(i)〃：〃：c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA—sin3=赤，sinC=而;(iii)a=2Rsin

2R'

A,Z?=2/?sinB,c=2RsinC：(iv)—~~..一:­~=2R.

sinA十sin8十smC

②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要

结合具体情况进行取舍.在△ABC中，A>B分sinA>sinA

从+廿一a2

(2)余弦定理；a2=》2*c2-2〃ccos人等，余弦定理的推论：cos/l=---诋:---等，常选用余弦

定理及其推论判定三角形的形状.

［问题5］在△A8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=小,b=巾,A=60。，则

B=.

答案45°

6.求三角函数最值的常见类型、方法

(l)y=t/sin(或〃cosx+份型，利用三角函数的值域，须注意对字母a的讨论.

(2)y=t/sin.v+/?cosx型，借助辅助角公式化成y=74+〃.sin(x+勿)(其中lan的形式，再

利用三角函数有界性解决.

(3)y=asin2%+加inx+c型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sinx|Wl的约束.

(4)y=竺”型，反解出sinx,化归为BinMWl解决.

'csinx+J

(5)y=—型，化归为Asinx+3cosx=C型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)

ccos.xIa

求解.

(6)y=a(sinx+cosx)+bsinx-cosx+c型，常令r=sinx+cosx,换元后求解

［问题6］函数)usiiA+sinx—1的值域为.

答案［-a1

解析Vy=^sinx+^)2—又sinX£［―1,1］,

［问题8］在△ABC中，。是边AB的中点，E是边AC的中点，CD与BE交于点F,设AB=

a,AC=b,AF=xa+yb,则x,y的值分别为

答案I,1

JJ

解析由题意知，点尸为也从区。的重心，

如图，设”为8c的中点，

则酢'=各力=卜；（赢+最?）=%+*,

所以x=g,y=1.

易错提醒漏洞陷阱早知道

易错点1忽视角的范围

例1已知方程f+4〃x+3a+1=0（。为大于1的常数）的两根为tana,tan且a,

八，兀兀、nil公口

夕£（一］，外则tan下上的值是.

易错分析本题易忽略隐含条件tan«,tanP是方程f+4ax+3a+l=0的两个负根，«,

蚱（甘,2）»从而导致错误.

解析tana4-tan—4«<0,

tana-tan6=3。+1>0,

/.tana,tan夕是方程/+40¥+3.+1=0的两个负根.

又a,—2，外

.・.a,作（一方0）即a+26W（一5兀八°）、

.,八tan«H-lan/?

由tan（a+成）=1~~；------

1I—tanatan«

4

—4a-

-V

1一（3〃+1）

可得tan

答案-2

易错点2图象变换方向或变换量把握不准

例2已知函数兀0=sin（lr+；）,为了得到函数g（x）=cos2x的图象，只要将y=_/U）的图象

向平移个单位长度.

易错分析（1）没有将人工），g（©化为同名函数；（2）平移时看2x变成了什么，而没有认识到平

移过程只是对“一而言.

解析g（x）=cos2Y=sin（2r+，）=si（2Q+1）+T，

・・・），=/U）的图象向左平移;个单位长度即可得到y=g（x）的图象.

答案左方

易错点3三角函数单调性理解不透

例3求函数/U）=3sin住一2A）的单调区间.

易错分析对形如y=A*in（mx+0）或y=Aco虱a）x+e）的函数，如果〃）＜0.要求其单调区间，

必须先提出负号，然后去求解，否则单调区间正好相反.

解於）=3sir0_2A）=_3sin（2L：）.

由2E—4WZv一・W2E+，，kGZ,

zqj

得E-普k£Z.

oo

由2〃兀+^W2A--；W247t+1,keZ、

得牛+E,&EZ.

・•・函数段）的单调减区间为［e—1E+添,kWZ,

单调增区间为［依+匿，妹+用，

易错点4解三角形时漏解或增解

例4在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=l,c=小.

71

（1）若。=?则角4=;

（2）若A弋，则6=.

易错分析在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第（I）问中没有考虑c边

比。边大，在求得疝4=竺乎=）后，得出角4=点或篙在第（2）问中没有考虑痢C有两解,

由$皿。=生裂=里只得出角C=$所以角8=方解得Q2,这样就出现漏解的错误.

解析（1）由正弦定理新二款，

/曰.，asinC1

得sinA=-=5,

JF

又a<c,所以A<C.所以A=5.

⑵由正弦定理焉=急

得sinC=生手=坐，得。=胃或手,

当C管时,B="可得b=2；

当C=皇时，8=方，此时得■/?=1.

答案（1）1（2）2或1

易错点5忽视题目中的制约条件

例5已知函数./U）=2cos?x-sin（lr—普），若在△48C中，满足.旗）=,，Z?+c=2,求边长

〃的取值范闱.

易错分析本题中有两点易错：确定角4时忽视范围；求边长〃的取值范围时，忽视三角形

中两边之和大于第三边的条件.

解fix）=2CO