2026高中【MST新思路思维扩展】(二轮复习) 上-导数新定义

导数新定义考点一：多元问题，挖掘变量关系与整体换元对于多变量综合的取值范围问题一直是导数的大难点，对于这类问题，最好的思路就是挖掘变量的关系，如常见的韦达定理，比值代换等都是为了将多元问题转化为单变量问题。【例1】（2026届福州期初周测T19）设连续函数的定义域为区间，若，，都有，则称为区间Ⅰ上的凹函数；若，，都有，则称为区间Ⅰ上的凸函数．若在区间，上为凸函数，则对任意的，，，，，，由琴生不等式可得恒成立（当且仅当时，等号成立）．（1）已知在为凸函数，证明：当，．（2）已知函数．证明：是凹函数．，，互不相等，（a），（b），（c）为一个三角形的三边长，求的取值范围．【例2】（2026届南京期初模拟T19）已知函数为常数）．（1）当时，讨论函数的单调区间；（2）当时，设函数的两个极值点，恰为函数的零点，求的最小值．【例3】（2026届郑州高三上·T18）已知函数，．（1）若曲线在点，（1）处的切线垂直于轴，求实数的值；（2）若和是的两个极值点，其中，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若，求的最大值是自然对数的底数）．【例4】（2026届陕西安康模拟T18）已知函数，，其中.(1)讨论的单调性；(2)当时，，求实数的取值范围；(3)若存在不等实数和，满足，且，求的取值范围.【例5】（2026届烟台模拟T18）已知函数且函数有两个极值点.（1）求的范围;（2）若函数的两个极值点为且，求的最大值.【例6】（2026届山西大同月考高三T19）已知函数．(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值；(2)讨论函数的单调性；(3)若，求证：．【例7】（2025苏州阳光调研T19）已知函数.当，时，求函数的最小值；当时，若存在两个极值点，求证：；设，为函数的极值点，且，若是一个三角形的三边长，求的取值范围.考点二.板块融合下的新题型：命题连贯性挖掘不论是2024新高考一卷，还是二卷25新一卷与新二卷压轴，都在释放一个重要的信号，命题的连贯性，如何从第一问延申到第二问，再到第三问，除了要求同学们有过硬的基本功，还要求同学们能挖掘命题中隐藏的条件，老高考重题型，新高考重思维.【例8】（2025•新高考一卷T19）设函数（1）求在的最大值；（2）给定,为给定实数，证明：存在,使得；（3）若存在，使得对任意，都有，求的最小值.【例9】（2025•青岛期末T19）已知函数的图象在定义域上连续不断，，，在区间，上单调递减，是的导数．（1）证明：是周期函数；（2）给定，设，证明：存在，，使得；（3）若，设函数．求的最大值；若存在，使得对恒成立，求实数的最小值．【例10】（2025•青岛开学T19）已知函数．（1）若，求曲线在，（1）处的切线方程；（2）若的最大值为4，所有零点之和小于16．求的值；若非负实数，，，，满足，求的最大值．【例11】（2024•天心区校级模拟T19）设函数，为的导函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当，时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间，内的零点，其中，证明：．【例12】（2026届泊头市月考T19）已知函数，，．（1）讨论函数在区间上的单调性．（2）已知．若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围；当时，若，是函数的两个根，，且，，证明：．【例13】（2025西安一模T19）已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)若，求的取值范围；(3)若，设，且，证明：.【例14】（2025江西上进联考T19）已知函数，．（1）求的单调区间；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，，且，证明：考点三.板块融合下的新题型：由待证式引发的反向分析对于此类题，一般来说不属于固定的题型，所以我们最好的方法是从待证式入手，一步一步的剥离出条件，从而达到证明的目的。【例15】（2025·衡阳开学考T19）已知对任意正整数，均有，我们称为次切比雪夫函数．（1）若为3次切比雪夫函数，求（1）的值．（2）已知为次切比雪夫函数，若数列满足．证明：①数列中的每一项均为的零点；②当时，．【例16】（2026届重庆一中开学考T19）若函数满足“定义域内任意的，都有”则称函数具有“广义对称性”，已知函数.判断是否具有“广义对称性”；若有个零点，其中.求实数的取值范围；设为的所有极值点，证明：.【例17】（2025•宣城开学T19）已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．【例18】（2026届碑林区月考）已知函数定义在上，记的导函数为，.求的单调区间与最小值；若，讨论函数的极值点个数；证明：当时，.【例19】（2025·江苏宿迁月考T19）已知，．(1)判断的单调性；(2)若函数图象在处切线斜率为，求；(3)求证：．【例20】（2026届成都石室摸底T19）已知函数，.若函数在处的切线经过，求的值；若函数存在两个极值点，求的取值范围；若满足，证明：.【例21】（2026届雅礼中学模拟T19）已知函数．（1）当时，判断的零点个数，并说明理由；（2）设为在区间，内的零点，令，，．求证：；求证：．【例22】（2025•福州模拟）已知函数，．（1）当时，判断函数的单调性；（2）对任