2023大学初等数论补考专用复习题库+超全答案解析

2023大学初等数论补考专用复习题库+超全答案解析

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若整数a满足a≡5(mod7)且a≡3(mod11)，则a在0到76之间最小正整数解为A.33B.38C.43D.482.设p为素数，则模p的原根个数为A.p−1B.φ(p−1)C.pD.φ(p)3.若a与n互素，则a模n的阶整除A.nB.φ(n)C.n−1D.2n4.下列同余式中无解的是A.x²≡1(mod8)B.x²≡2(mod7)C.x²≡0(mod9)D.x²≡4(mod5)5.若勒让德符号(6|17)的值为A.0B.1C.−1D.26.设n>1，则欧拉函数φ(n)为偶数的充要条件是A.n为偶数B.n>2C.n为合数D.n含奇素因子7.若a²≡a(modm)对一切整数a成立，则m必为A.1B.素数C.无平方因子D.1或2或68.设p为奇素数，则(−1|p)=1当且仅当A.p≡1(mod4)B.p≡3(mod4)C.p≡1(mod8)D.p≡7(mod8)9.若a模n的阶为d，则a^k模n的阶为A.dB.d/gcd(k,d)C.kD.kd10.设m,n互素，则φ(mn)等于A.φ(m)+φ(n)B.φ(m)φ(n)C.mnD.lcm(φ(m),φ(n))二、填空题（每题2分，共20分）11.若a≡7(mod12)且a≡1(mod5)，则a在0到59内的最小正整数解为________。12.模13的最小正原根是________。13.若p为素数且p≡3(mod4)，则(−1|p)=________。14.设n=2023，则φ(n)=________。15.若a模17的阶为8，则a^5模17的阶为________。16.同余式x²≡5(mod23)的解的个数为________。17.若a与n互素且a模n的阶为d，则d必整除________。18.设p为素数，则模p的二次剩余共有________个。19.若a≡b(modm)且a≡b(modn)且gcd(m,n)=1，则a≡b(mod________)。20.设n=2^4·3^2·5，则φ(n)=________。三、判断题（每题2分，共20分，正确写“T”，错误写“F”）21.若a≡b(modm)，则a²≡b²(modm²)。22.任意素数p>2都有原根。23.若a模n的阶为φ(n)，则n必为素数。24.若m|n，则φ(m)|φ(n)。25.同余式x²≡−1(modp)有解当且仅当p≡1(mod4)。26.若a与n互素，则a^{φ(n)+1}≡a(modn)。27.若n为无平方因子数，则φ(n)≥n/2。28.若p为奇素数，则模p的二次剩余与二次非剩余个数相等。29.若a模n的阶为d，则a^k模n的阶必为d的倍数。30.若gcd(a,n)=1，则a模n的阶必小于n。四、简答题（每题5分，共20分）31.叙述中国剩余定理并给出唯一性说明。32.写出欧拉定理并指出其与费马小定理的关系。33.说明勒让德符号(2|p)的求值规则并给出证明思路。34.给出模n存在原根的充要条件并简述理由。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论当n为合数时，φ(n)=n−1是否可能成立，并给出所有情形。36.讨论同余式x²≡a(modp^e)的解数与a,p,e的关系。37.讨论利用原根求解离散对数问题的困难性及其在密码学中的意义。38.讨论将整数分解问题与计算φ(n)的困难性联系，并说明其对RSA安全性的影响。答案与解析一、1.B2.B3.B4.B5.C6.B7.D8.A9.B10.B二、11.3712.213.−114.192015.816.217.φ(n)18.(p−1)/219.mn20.96三、21.F22.T23.F24.F25.T26.T27.F28.T29.F30.F四、31.中国剩余定理：设m1,…,mk两两互素，则对任意整数a1,…,ak，同余组x≡ai(modmi)有唯一解模M=m1…mk。唯一性：若x,y均为解，则x≡y(modmi)对所有i成立，故x≡y(modM)。32.欧拉定理：若gcd(a,n)=1，则a^{φ(n)}≡1(modn)。当n为素数p时，φ(p)=p−1，即得费马小定理a^{p−1}≡1(modp)，故后者为前者特例。33.(2|p)=1当且仅当p≡±1(mod8)。证明思路：在高斯引理中考虑2,4,…,p−1模p的最小正剩余，计算其中大于p/2的个数可得奇偶性。34.模n存在原根当且仅当n=1,2,4,p^k或2p^k，其中p为奇素数。理由：需乘法群U(n)为循环群，其结构定理给出上述分类。五、35.φ(n)=n−1当且仅当n为素数。若n为合数，则存在真因子d满足1<d<n，于是φ(n)≤n−d<n−1，故不可能。36.对奇素p，x²≡a(modp^e)的解数：若a≡0(modp)，则解数为p^{⌊e/2⌋}；若a为二次剩余且a≠0，解数为2；若a为二次非剩余，解数为0。对p=2需分e≥3与e≤2单独讨论。37.离散对数问题：给定g,y,n，求k使g^k≡y(modn)。当n有大素因子且g为原根时，最佳已知算法为亚指数级，计算量随位数指数上升，因而可为Diffie-Hellman、ElGa