频率与概率课件-高一下学期数学人教A版-1

第十章概率10.3频率与概率学习目标1.能借助具体掷硬币的试验来理解频率fn(A)与概率P(A)的关系.2.会利用fn(A)近似地求解一些事件的概率P(A).3.了解随机数的含义及用于随机模拟的蒙特卡洛方法.基础落实·必备知识一遍过知识点1

随机事件的频率与概率的关系大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有

.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会

,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的

.因此可以用频率fn(A)估计概率P(A).

P(A)≈fn(A),n越大,估计效果越好

随机性缩小稳定性名师点睛对于频率与概率的区别和联系的剖析(1)频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同.比如,全班每个人都做了10次掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可以是不同的.(2)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次的试验无关.比如,若一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率是

0.5,与做多少次试验无关.(3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于概率.在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值.思考辨析随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系?提示

随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生.自主诊断1.

在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验,发现正面朝上出现了440次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为(

)

A.0.55,0.55 B.0.55,0.5 C.0.5,0.5 D.0.5,0.55B解析

某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验,发现正面朝上出现了440次,那么出现正面朝上的频率为由于硬币的质地均匀,所以每次抛硬币时,正面朝上和反面朝上的概率相等,都是0.5.故选B.2.(2025广东潮州高一期末)某同学做立定投篮训练,共3组,每组投篮次数和命中的次数如下表,根据表中的数据信息,用频率估计一次投篮命中的概率,误差较小的数据是(

)分组序号第一组第二组第三组合计投篮次数100200300600命中的次数66126183375命中的频率0.660.630.610.625A.0.61 B.0.63 C.0.625

D.0.66C解析

试验次数越多,频率越接近概率,对概率的估计误差越小,所以合计列对应的频率最为合适.故选C.3.(北师大版教材习题)问题辨析:(1)天气预报:“明天降雨的概率是80%”,明天出门是否一定遇上雨?(2)彩票中奖率为1%,你买100张彩票是否一定中奖?(3)抛掷一枚均匀的硬币,出现正面的概率为0.5,那么连续抛掷这枚硬币2次,一定是一次出现正面、一次出现反面吗?解

(1)不一定,“明天降雨的概率是80%”是指“明天降雨”这一事件发生的可能性是80%,还有20%的可能性“明天不降雨”,故不一定遇上雨.(2)不一定,中奖率1%表示中奖的可能性大小为1%,并不是说买100张彩票就一定有一张中奖.(3)不一定,出现正面的概率为0.5表示抛掷硬币一次,出现正面的可能性为0.5,连续抛掷这枚硬币2枚,可能都出现正面,也可能都出现反面,也可能是一正一反.知识点2

随机模拟1.随机数与伪随机数(1)例如我们要产生0~9之间的随机整数,像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数.(2)计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数.2.蒙特卡洛方法利用计算器或计算机软件可以产生随机数,我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这种利用

解决问题的方法为蒙特卡洛方法.

随机模拟

思考辨析利用随机模拟法估计事件发生的概率包括哪几步?提示

(1)建立概率模型;(2)进行模拟试验(可用计算器或计算机进行);(3)统计试验结果.自主诊断进入8月份后,某市持续高温,气象局一般会提前发布高温橙色预警信号(高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上),在今后的3天中,每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是

.如果我们用“0,1,2,3”中的某个数字表示当天的最高气温小于或等于37摄氏度,用“4,5,6,7,8,9”中的某个数字表示当天的最高气温大于37摄氏度,用计算机生成了20组随机数,结果如下:116

785

812

730

134

452

125

689024

169

334

217

109

361

908

284044

147

318

027则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是

.

0.3解析

表示“今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号”的随机数有452,169,908,284,044,147,共6个,所以所求概率为

=0.3.重难探究·能力素养速提升探究点一对概率的正确理解【例1】

下列说法正确的是(

)A.任何事件的概率总是在(0,1)之间B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的,在试验前不能确定C解析

必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,故A错误;频率是由试验的次数决定的,故B错误;概率是频率的稳定值,故C正确,D错误.故选C.规律方法

概率意义上的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说,单独一次试验结果的不确定性与大量重复试验积累结果的有规律性,才是概率意义上的“可能性”.事件A的概率是事件A的本质属性.变式训练1某地气象局预报说,明天本地降水概率为80%,则能解释气象局的观点的是(

)A.明天本地有80%的时间下雨,20%的时间不下雨B.明天本地有80%的区域下雨,20%的区域不下雨C.明天本地下雨的可能性是80%D.气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报C解析

根据概率的意义可得“明天降水的概率为80%”的正确解释是明天下雨的可能性是80%.故选C.探究点二随机事件的频率与概率【例2】

下面是某批乒乓球的质量检查结果统计表:抽取球数/个5010020050010002000优等品数/个45921944709541902优等品出现的频率

(1)在上表中填上优等品出现的频率;(2)在该批乒乓球中抽取一个球,此球为优等品的概率大约是多少?解

(1)如下表所示:抽取球数/个501002005001

0002

000优等品数/个45921944709541

902优等品出现的频率0.90.920.970.940.9540.951(2)从表中数据可以估计在该批乒乓球中抽取一个球,此球为优等品的概率约为0.95.变式探究1(变结论)本例条件不变,若抽取乒乓球的数量为1700个,则优等品的数量大约为多少?解

抽取1

700个乒乓球时,优等品数量大约为1

700×0.95=1

615(个).变式探究2(变结论)本例条件不变,若检验得到优等品数量为1700个,则抽取数量大约为多少?解

由题意可知抽取数量大约为1

700÷0.95≈1

789(个).规律方法

1.由统计定义求概率的一般步骤:(1)确定随机事件A的频数nA(n为试验的总次数);(2)由

计算频率fn(A);(3)由频率fn(A)估计概率P(A).2.概率可看成频率在理论上的稳定值,从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.概率是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率.变式训练2(苏教版教材例题)对某地近50年8月1日和9月1日的天气资料进行分析,其中降雨的结果如表所示.时间近10年近20年近30年近40年近50年8月1日降雨/天8172533419月1日降雨/天3791316问:该地8月1日与9月1日哪一天降雨的可能性大?解

该地8月1日与9月1日的降雨频率如表所示(精确到0.01).时间近10年近20年近30年近40年近50年8月1日降雨频率0.80.850.830.830.829月1日降雨频率0.30.350.30.330.32从表中可以看到,8月1日该地降雨的频率在0.8至0.85之间,其降雨的概率大约在0.8至0.85之间.而9月1日该地降雨频率在0.3至0.35之间,其降雨的概率大约在0.3至0.35之间.因此,可以估计该地8月1日的降雨可能性更大一些.探究点三游戏公平性的判断【例3】

甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.(1)若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少?(2)甲、乙约定,若甲抽到的牌的数字比乙的大,则甲胜,否则乙胜,你认为此游戏是否公平?为什么?(3)请你设计另外一种游戏规则,并保证游戏的公平性.解

(1)甲抽到红桃3,乙抽到的只能是红桃2,或红桃4,或方片4,因此乙抽到的牌的数字比3大的概率是

.(2)分别用2,3,4,4'表示红桃2,红桃3,红桃4,方片4,用(x,y)表示甲、乙抽到的牌的样本点,其中x表示甲抽到的牌的数字,y表示乙抽到的牌的数字,则甲、乙抽到牌的所有样本点为(2,3),(2,4),(2,4'),(3,2),(3,4),(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4',2),(4',3),(4',4),共12个.甲抽到的牌的数字比乙的大的样本点有(4,2),(4,3),(4',2),(4',3),(3,2),共5个,(3)可以设计为:若甲、乙抽到的数字之和为偶数,则甲胜,否则乙胜.规律方法

变式训练3有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜,猜数方案从以下两种方案中选一种:A.猜“是奇数”或“是偶数”;B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”.请回答下列问题:(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?(2)为了保证游戏的公平性,你认为应选哪种猜数方案?为什么?解

(1)A方案中,“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5;B方案中,“是4的整数倍数”的概率为0.2,“不是4的整数倍数”的概率为0.8,为了尽可能获胜,应选择B方案,猜“不是4的整数倍数”获胜的概率最大.(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.探究点四利用随机数求事件的概率【例4】

一个盒子中有除颜色外其他均相同的5个白球和2个黑球,用随机模拟法求下列事件的概率:(1)任取一球,得到白球;(2)任取三球,都是白球.解

用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球.(1)步骤:①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每一个数一组,统计组数为n;②统计这n组数中小于6的组数m;③则任取一球,得到白球的概率近似为

.(2)步骤:①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每三个数一组(每组中数不重复),统计组数为n';②统计这n'组数中,每组三个数字均小于6的组数m';③则任取三球,都是白球的概率近似为规律方法

用整数随机模拟试验估计古典概型的概率时,首先要确定整数随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.可以从以下几个方面考虑:(1)试验的样本点的发生是等可能的,样本点总数就是产生随机数的范围,每组随机数字代表一个样本点;(2)按比例确定表示各个结果的数字个数及总个数;(3)产生的整数随机数的组数n越大,估计的概率准确性越高;(4)这种用模拟试验来求概率的方法所得结果是不精确的,且每次模拟试验最终得到的概率值不一定是相同的.

变式训练4袋子中有四张卡片,分别写有“学、习、强、国”四个字,有放回地从中任取一张卡片,将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件A,用随机模拟的方法估计事件A发生的概率,利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“学、习、强、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:232321210023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估计事件A发生的概率为(

)C解析

18组随机数中,利用列举法求出事件A发生的随机数有210,021,001,130,031,103,共6个,估计事件A发生的概率为故选C.本节要点归纳1.知识清单:(1)概率与频率的关系.(2)用频率估计概率.(3)用随机模拟估计概率.2.常见误区:频率与概率的关系易混淆.学以致用·随堂检测促达标123451.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于(

)A.产生的随机数的大小B.产生的随机数的个数C.随机数对应的结果D.产生随机数的方法B解析

随机数容量越大,频率越接近概率.123452.某人将一枚硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,则(

)A.正面朝上的概率为0.6B.正面朝上的频率为0.6C.正面朝上的频率为6D.正面朝上的概率接近于0.6B解析

0.6是正面朝上的频率不是概率.123453.下列四个说法中正确的是(

)A.设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品B.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面,因此出现正面的概率是C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D.抛掷骰子100次,得点数是