平行四边形的性质及判定课件北师大版八年级数学下册

第六章平行四边形1平行四边形的性质及判定第1课时平行四边形的性质(1)知识点1平行四边形的概念1．两组对边分别_____的四边形叫作平行四边形．平行四边形不相邻的两个_____连成的线段叫作它的对角线．平行顶点2．几何语言表述(如图所示)：若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是___________．平行四边形3．平行四边形的表示：如果四边形ABCD是平行四边形，那么记作“______”(四个顶点A，B，C，D的书写顺序只有按顺时针或逆时针方向两种形式)．▱ABCD知识点2平行四边形的性质1．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．2．平行四边形的对边_____．若四边形ABCD是平行四边形，则AD∥___，AD＝___；AB∥___，AB＝___．3．平行四边形的对角_____．若四边形ABCD是平行四边形，则∠A＝∠C，∠B＝____．相等BCBCCDCD相等∠D考点平行四边形边、角的性质典例

[2022·内江]如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为()A．2B．4C．6D．8思路导析根据平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠CBM＝∠CMB，利用等角对等边即可得MC＝BC＝8，进而可求解．变式1[2025·长春期末]如图所示，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为点E.若∠D＝140°，则∠EBA的大小为()A．30°B．40°C．50°D．60°变式2如图，在▱ABCD中，点E为BC边上一点，且AB＝AE，∠B＝65°，∠EAC＝25°，则∠AED的度数为()A．25°B．40°C．65°D．75°变式3[2025·邵阳期末]如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1＝∠2＝38°，则∠B＝______．123°第2课时平行四边形的性质(2)知识点1平行四边形对角线的性质平行四边形的对角线_________．如图，若四边形ABCD是平行四边形，则AO＝___，BO＝___．互相平分CODO【注意】(1)平行四边形有两条对角线；(2)连接平行四边形的对角线是常用的辅助线作法；(3)四边形具有不稳定性．知识点2等腰梯形1．概念：一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形．不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形．2．性质：等腰梯形是_______图形，等腰梯形的两底角_____．轴对称相等考点1平行四边形的对角线互相平分典例1[2022·广州]如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝22，则△BOC的周长为___．21思路导析根据平行四边形对角线互相平分，求出OC＋OB的长，即可解决问题．【温馨提示】本题考查平行四边形的对角线的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分．变式2[2025·宿州期末]如图，▱ABCD的面积为20，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE＝DF，则图中阴影部分的面积为__．5变式3[2025·西安期末]如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若△ABE的周长为15，则▱ABCD的周长为___．30考点2等腰梯形的性质典例2如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，AC＝BC．则∠B的度数是()A．45°B．60°C．72°D．80°思路导析根据平行线的性质和等腰三角形的性质推出∠DAC＝∠ACB＝∠DCA，∠B＝∠BAC，根据等腰梯形的性质推出∠B＝∠DCB＝2∠ACB，设∠ACB＝a°，则∠B＝∠BAC＝2a°，在△ACB中，根据三角形的内角和定理推出a＋2a＋2a＝180°，求出即可．变式如图，梯形ABCD中，AB∥CD，DA＝BA＝BC，△ABE为正三角形，若∠ABC＝80°，则∠DEC的大小是()A．90°B．120°C．140°D．160°第3课时平行四边形的判定定理(1)知识点平行四边形的判定定理1．两组对边_________的四边形是平行四边形．2．一组对边___________的四边形是平行四边形．分别相等平行且相等考点1两组对边分别平行的四边形是平行四边形典例1[2022·株洲]如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE.(1)求证：△AEF≌△DEC；(2)若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形．思路导析(1)根据SAS证明△AEF≌△DEC；(2)由△AEF≌△DEC，得∠AFE＝∠DCE，推出AB∥DC，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明结论．(2)由(1)知△AEF≌△DEC，∴∠AFE＝∠DCE，∴AF∥DC．∵点F在BA的延长线上，∴AB∥DC．又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形．变式[2023·宁夏]如图，已知EF∥AC，点B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE.求证：四边形BCDE是平行四边形．证明：∵EF∥AC，∴∠EDC＋∠C＝180°.又∵∠EDC＝∠CBE，∴∠CBE＋∠C＝180°，∴BE∥CD．∵DE∥BC，BE∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形．考点2两组对边分别相等的四边形是平行四边形典例2[2024·淅川县期末]如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，使得AB＝10cm，AD＝6cm，分别以点B，D为圆心，作BC＝6cm，CD＝10cm相交于点C，连接CD，BC，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．思路导析由题意得AB＝CD，AD＝BC，即可得出结论．解：四边形ABCD是平行四边形，理由：∵AB＝10cm，AD＝6cm，BC＝6cm，CD＝10cm，∴AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．变式1如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形．变式2[2025·马鞍山期中]如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AB，DC边上的中点，且AB＝CD，AD＝BC，连接DE，BF，求证：DE∥BF.∵AD＝BC，∠A＝∠C，∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴∠DEA＝∠CFB，∵AB∥CD，∠CFB＝∠FBA，∴∠DEA＝∠FBA，∴DE∥BF.考点3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形典例3如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．下列选项中错误的是()A．BC∥AD

B．BC＝ADC．AB＝CD

D．∠A＋∠B＝180°思路导析根据平行四边形的定义及判定定理得出即可．变式[2023·广安]如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.∵AF＝CE，AE＝AF－EF，CF＝CE－EF，∴AE＝CF，又∵∠BAC＝∠DCA，∴△AEB≌△CFD(ASA)，∴AB＝CD，∵∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．第4课时平行四边形的判定定理(2)知识点1平行四边形的判定方法对角线_________的四边形是平行四边形．互相平分知识点2平行线之间的距离如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都_____，这个距离称为平行线之间的距离．相等考点1对角线互相平分的四边形是平行四边形典例1如图，点E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.求证：四边形DEBF是平行四边形．思路导析连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，得OB＝OD，OA＝OC，再由AE＝CF和等式性质，得OE＝OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．证明：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC．∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，∴OE＝OF.又∵OB＝OD，∴四边形DEBF是平行四边形．变式[2025·忠县期末]如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，线段AE的延长线与边DC的延长线交于点F.(1)若点E是BC边的中点，证明：四边形ABFC是平行四边形；(2)平行四边形ABCD的面积为6，求△ABF的面积．解：(1)证明：如图，∵四边形ABCD平行四边形，∴AB∥DC，∴∠3＝∠4.∵点E是BC边的中点，∴BE＝EC，又∵∠1＝∠2，∴△ABE≌△FCE(ASA)，∴AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形；考点2平行线之间的距离典例2[铜仁中考]已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离是()A．3cmB．7cmC．3cm或7cmD．以上都不对思路导析因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a，b外，②直线c在直线a，b之间两种情况讨论求解．考点3平行四边形判定的应用典例3如图在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．(1)计算AC，AB，BC的长度，并判定△ABC的形状；(2)若网格所在的坐标平面内的点A，C的坐标分别为(0，0)，(－1，1)．请你在图中找出点D，使以A，B，C，D四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的D点的坐标．思路导析(1)先利用勾股定理分别求得AC，BC，AB的长，再利用勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形；(2)分别过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线，这些线的交点即为满足条件的点D．(2)∵点A，C的坐标分别为(0，0)，(－1，1)，∴点A为坐标原点．如图，分别过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线，三条线两两相交于点D1，D2，D3.∴满足条件的点D的坐标为(3，3)或(1，5)或(－3，－3)．【温馨提示】本题主要考查平行四边形的判定和勾股定理．确定点D的位置是解题的关键．变式如图，在四边形池塘ABCD的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘▱