人教版八年级数学下册

第二十章勾股定理20.2.1勾股定理的逆定理大禹治水的直角难题一是“用3、4、5段绳长围出的三角形为什么是直角”••二是“没有工具时，怎么用绳子确定堤坝拐角的直角”和咱们之前学习的勾股定理有没有关系？勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.如果反过来，它就一定是直角三角形吗？治水测量中的猜想取绳长3cm、4cm、5cm，围出三角形，用量角器测量最大角的度数。345三边分别为3，4，5，满足关系：32+42=52，则该三角形是直角三角形．三边在数量上有什么关系？问题1

用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？是做一做：分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).

①5，12，13；

②7，24，25；

③8，15，17．治水测量中的猜想治水测量中的猜想

下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:

①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.问题2

这三组数在数量关系上有什么相同点？①5,12,13满足52+122=132,②7,24,25满足72+242=252,③8,15,17满足82+152=172.治水测量中的猜想问题3

据此你有什么猜想呢?由上面几个例子，我们猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.从猜想走向定理已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．ABCabcab证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，

A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC是直角三角形A′B′C′从猜想走向定理符号语言：在△ABC中，若a2

+b2=c2则△ABC是直角三角形.如果三角形的三边长a，b，c满足

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理：bcCaBA知识点

1勾股定理的逆定理从猜想走向定理方法点拨勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.治水直角难题破解帮工匠解决导入时的难题了堤坝拐角需要直角，有两块地，第一块测量的三边长度分别为第二块地测量的三边长度分别为这两块地是直角三角形吗？

a=8，

b=15，c=17;a=14，b=13，c=15.

解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.治水直角难题破解知识点

2勾股数如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见勾股数：勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.3，4，55，12，136，8，107，24，258，15，179，40，4110，24，26等等【变式题1】若△ABC的三边a,b,c满足a:b:c=3:4:5，试判断△ABC的形状.∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2∴(3k)2+(4k)2=(5k)2【变式题2】(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,

c=，试说明△ABC是直角三角形.解：∵a+b=4,ab=1∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14又∵c2=14∴a2+b2=c2∴△ABC是直角三角形(2)若△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC的形状.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0∴a=3,b=4,c=5∴a2+b2=c2∴△ABC是直角三角形例2如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．ABCDEF解：AF⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4a,则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.1.下列各组数是勾股数的是

(

)A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形BA课堂检测3.已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=AC²∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角

∴△ABC是直角三角形且∠B是直角.∴△ADC是直角三角形且∠D是直角7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=,求四边形ABCD的面积.ABCD勾