命题点2垂径定理及其推论(必考)

第六章圆课标要求①探索并证明垂径定理；②能用垂直于弦的直径的性质解决简单的计算问题.命题点2垂径定理及其推论(必考)要点归纳

1.

垂径定理(1)垂径定理：垂直于弦的直径

这条弦，并且

⁠弦所

对的弧.几何语言：如图，在☉O中，平分平分

(2)弦心距：圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距.如图，线段OE即为弦AB的弦心距.(3)垂径定理作用：垂径定理既是圆的性质的重要体现，又是圆的轴对称

性的具体化，它是证明圆内线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重

要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法.失分警示：(1)定理的使用条件有2个：一是垂直，二是直径(或是半径或是过圆心的

线段或直线)，二者缺一不可.结论为线段相等且两对弧相等.(2)条件中的弦可以是直径.(3)结论中的弦所对的弧包括弦所对的优弧和弦所对的劣弧.2.

垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径

弦，并且

弦所对的弧.失分警示：(1)定理的使用条件有2个：一是直径平分弦，二是被平分的弦不能是直

径.结论为垂直于弦且两对弧相等.(2)结论中的弦所对的弧包括弦所对的优弧和弦所对的劣弧.垂直于平分3.

拓展延伸除上述推论外，我们还可以得到以下延伸结论：(1)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.结论作用：可利用此结论确定圆心的位置.在圆中找出两条不平行的

弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心

的位置.(2)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧.实际上，对于一个圆和一条直线，以下五个条件：①过圆心；②垂直于

弦；③平分弦(被平分的弦不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦

所对的劣弧.只要任意两个成立，其他三个一定成立，简记为“知二推

三”.4.

中考考点考查：利用垂径定理及其推论在圆中求弦长、半径、弦心距的长度.出

题形式多为选择题或填空题，难度偏低.5.

常用思路及常用辅助线(1)常用思路：常把弦长的一半、半径、弦心距转换到同一直角三角形

中，然后通过勾股定理或锐角三角函数进行解题.(2)常用辅助线：①过圆心作弦的垂线；②连接圆心和弦的中点；③连接圆心和弧的中点；④作半径(连接圆心

和弦的端点).命题点2垂径定理及其推论(必考)随堂检测

1.

如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°，OE

＝2，则阴影部分的面积为(

D

)A.

B.

C.2πD.

D

2.

(2024长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE

＝4，则☉O的半径长为(

B

)A.4B.

4

C.5D.

5

B3.

如图，大半圆O的弦AB与小半圆O1交于E，F，且AB∥CD，则已

知下列哪两条线段的长度可以求出阴影部分的面积(

C

)A.

AE，BFB.

AF，BEC.

AB，EFD.

CO1，ODC

4.

如图，AB为☉O的一弦，且点C在AB上.若AC＝6，BC＝2，AB的

弦心距为3，则OC的长度为(

D

)A.3B.4C.

D.

D解析：如图，过点O作OD⊥AB于点D.

由题意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3，∴AB＝8，∴AD＝BD＝4，∴CD＝2，

5.

如图是某游乐场海盗船的大致示意图，海盗船的外轮廓是☉O的一部

分，静止时外轮廓与水平底座相切于点C，船的最高点A、B到水平底

座的距离相等，已知☉O的半径为4.1米，A、B两点之间的距离为8

米，则点A到水平底座的距离h为(

C

)A.4米B.3.9米C.3.2米D.3米C

60°7.

如图，已知☉O两条弦AB和CD，利用尺规作图，找出圆心的位置

O，并保留作图痕迹.解：如图，点O即为所求.解析：