第2课时勾股定理的应用(课件)沪科版八年级数学下册

18.1勾股定理第2课时勾股定理的应用第

18章勾股定理学习目标1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.(重点)2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.(难点)1.什么是勾股定理?2.勾股定理有哪些公式变形?

如果直角三角形的两直角边用

a，b表示，斜边用

c表示，那么勾股定理可以表示为

a2

+b2=c2.(a、b、c为正数

)公式变形：勾股定理的简单实际应用例1

现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图.已知该消防车高3m，将云梯伸长到10m，在成功救出位于9m高处的受困人后，还要救援位于12m高处的受困人，如果云梯的长保持不变，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米?(精确到0.1m)1解

如图，设

A

是云梯的下端点，

AB

是伸长到10m后的云梯，

B

是第一次救人的地点，D

是第二次救人的地点，

过点

A

的水平线与楼房

ED的交点为

O.则

OB=9-

3=6(m)，OD=12-

3=9(m).根据勾股定理，得

AO2=AB2

-

OB2

=102-

62=64.则

AO=8m.设

AC=xm，则

OC=(8

-

x)m.根据勾股定理，得

OC2

+

OD2=CD

2，

即(8-

x)2+92

=

102.解方程，得

x1≈12.4，x2≈3.6.∵AC<AO<AB，∴x1

不合题意.∴x≈3.6.答:这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近约3.6m.例2一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?2m1mABDC解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5，因为

AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过.

典例精析1.湖的两端有

A，B两点，从与

BA方向成直角的

BC方向上的点

C测得

CA=130米，CB=120米，则

AB为()ABCA.50米B.120米C.100米D.130米130120?A练一练解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理得

∴

这条“近路”的长为5米.CAB2.如图，学校教学楼前有一块长为4米，宽为3米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“近路”，却踩伤了花草.(1)求这条“近路”的长；(2)他们仅仅少走了几步(假设

2

步为

1

米)？别踩我,我怕疼!(2)他们仅仅少走了

(3+4-

5)×2=4(步).ABDCO

解：在Rt△AOB中，根据勾股定理得OB2=AB2

-

OA2=2.62-

2.42=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根据勾股定理得OD2

=CD2-

OC2=2.62-

(2.4-

0.5)2=3.15.∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是外移0.5m，而是外移约0.77m.例3

如图，一架2.6m长的梯子

AB斜靠在一竖直的墙

AO上，这时

AO为2.4m.如果梯子的顶端

A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端

B也外移0.5m吗?例4

我国古代数学著作《九章算术》中记录了一个问题，其大致意思是：如图，有一个水面是边长为10尺的正方形水池，正中央有一根芦苇，它露出水面部分高1尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面，求池水深和芦苇的长.(注:尺为当时的长度单位)武英殿聚珍版《九章算术》分析

根据题意，先画出水池截面示意图，如图所示.设

AB

为芦苇，BC

为芦苇出水部分，长1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部

B点恰好碰到岸边

B'.ABB'1尺5尺C解：如图，设水深

x尺，则

AC=x尺，因为池塘的水面是边长为10尺的正方形，在Rt△ACB'

中，根据勾股定理得，

52+x2=(x+1)2，故芦苇长为13尺.解得

x=12.答：水池的水深12尺.AB=AB'=(x+1)

尺.所以

B'C

=5尺.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.数学问题直角三角形勾股定理实际问题转化建构利用决解知识要点例5如图，在平面直角坐标系中有两点

A(-3，5)，B(1，2)，求

A，B两点间的距离.A21-3-2-1-123145yOx3BC解：如图，过点

A作

x轴的垂线，过点

B作

x，y轴的垂线，相交于点

C，连接

AB.则

AC=5-2=3，BC=3+1=4.在Rt△ABC中，由勾股定理得∴A，B两点间的距离为5.利用勾股定理求两点间的距离及验证“HL”2方法总结：两点间的距离公式：一般地，设平面上有任意两点

思考在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL)．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′

．求证：△ABC≌△A′B′C′．ABCABC′

′′证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′

=90°，根据勾股定理得

ABCABC′

′′CBA问题在

A点的小狗，为了尽快吃到

B点的香肠，它选择

AB路线，而不选择

A

C

B路线，难道小狗也懂数学？AC+CB＞AB（两点之间，线段最短）思考在立体图形中，怎么寻找最短路线呢？利用勾股定理求最短距离3AB

蚂蚁从

A→B的路线问题：在一个圆柱形石凳上，小明在吃东西时留下了一点食物在

B处，恰好在

A处的一只蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从

A处爬向

B处，问怎么走最近？最短路程怎么求？BA将侧面展开后，根据“两点之间线段最短”可得最近路线.若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3.BA3O12侧面展开图123πABA'A'解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得归纳

立体图形中求表面上两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.例6有一个圆柱形油罐，要以

A点环绕油罐建梯子

，正好建在

A点的正上方点

B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2m，高

AB是5m，π取3)?ABABA'B'解：油罐的展开图如图，则

AB'

为梯子的最短距离.AA'

=2×3×2=12，

A'B'=5，根据勾股定理得

即梯子最短需13米.数学思想：立体图形平面图形转化展开B牛奶盒A【变式题】看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿，小明灵光乍现，又拿出了长方体形状的牛奶盒，把小蚂蚁放在了点

A处，并在点

B处滴了一滴蜂蜜，你能帮小明求出蚂蚁找到蜂蜜的最短路程吗？6cm8cm10cmBB18AB2610B3AB12=102+(6+8)2=296，AB22=82+(10+6)2=320，AB32=62+(10+8)2=360，解：由题意知有三种展开方法，

如图.∴AB1＜AB2＜AB3.∴小蚂蚁找到蜂蜜的最短路程为

AB1，长为

.866108由勾股定理得1.从电线杆上离地面

5

m

的

C

处向地面拉一条长为

7

m的钢缆，则地面钢缆

A

到电线杆底部

B

的距离是

(

)A.

24mB.

12

mC.mD.mD3.已知点(2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为____.102.如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒的内部底面直径是

9

cm，内壁高

12

cm，则这支铅笔的长度可能是(

)A.9

cmB.12

cmC.15

cmD.18

cmD4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两棵树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？ABC解：如图，过点

A作

AC⊥BC于点

C.由题意得

AC=8(米)，BC=8-2=6(米)，

答：小鸟至少飞行10米.5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和

B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到

B点去吃可口的食物.这只蚂蚁爬行的最短路程是多少？BAABC解：台阶的展开图如图，连接

AB.在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB2=BC2＋AC2=552＋482=5329=732.∴

AB=73cm.6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108