高中数学教学案例3

☆教学基本信息

课题新课标A版必修1第三章3.1.1方程的根与函数室点

作者及

河北省威县第二中学冯慧颖

工作单位

☆指导思想与理论依据

由教师的教向学生的学转化是现代教学观现代教学观要求使用发展的观点看

待学生，着眼于调动学生学习的积极性和主动性，教给学生学习的方法，涪养学

生学习能力，即着眼于培养学生不断学习、不断探索、不断创新的能力，以适应

不断变化的世界；由特殊到一般的认知过程

☆教材分析

函数零点是研究当函数/«）的值为零时，相应的自变量*的取值，反映在函数

图象上，也就是函数图象与X轴的交点横坐标。

由于函数了㈤的值为零即若方程/付-0有解，则函数/（X）存在零点，

且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与x轴的交点横坐标.顺理成章

的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。

零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。如果函数

在区间［当加上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足f（a）-A6X0,

则函数在区间内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单

调性等性质进行判断.定理的逆命题不成立。

方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、

具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推

广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了

类似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。

方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学

习做好准备，而日揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重

要思想方法一一“函数与方程思想”的理论基础.可见，函数零点概念在中学数

学中具有核心地位。

☆学情分析

学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并旦解过“当函

数值为0时，求相应刍变量的值”的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联

系，对二次函数图象与*轴是否相交，也有一些直观的认识与体会。在高中阶段，

已经学习了函数蹴念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质。

以二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，说明方程的

根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难。学生学习的难点是准确理解零点存

在性定理，并针对具体函数（或方程），能求出存在零点（或根）的区间。

教学过程中，通过引导学生通过探究，发现方程的根与函数零点的关系；而

零点存在性定理的教学，则应引导学生观察函数图象与X轴的交点的情况，来研

究函数零点的情况，加深学生对零点存在性定理的理解。

☆教学目标

通过本课教学，要求学生：理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，在

此基础上，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题；理解零点存

在性定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间。

1.能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与，轴

的交点横坐标以及相应函数零点的关系；

2.正确理解函数零点存在性定理.：了解图象连续不断的意义及作用；知道定

理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点只能不止一个；

3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数；

4.能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的

函数；并会判断存在零点的区间（可使用计算器）。

☆教学重点和难点

教学重点：函数零点的概念及零点的求法

教学难点：方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理。

☆教学过程

1.方程的根与相应函数图象的关系

友习总结一元二次方程与相应函数与x轴的交点及其坐标的关系:

一元二次方程根的情况判断:

图象与x轴交点个数:______________________

图象与X轴交点坐标:______________________

意图：回顾二次函数图象与X轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相

应方程关系作准备。

问题一、上述结论对其他函数成立吗？为什么？

画出函数的图象：>:2X-4、，=2'-8、y=1心2）,比较函数图象

与x轴的交点和相应方程的根的关系。

函数了=/0）的图象与x轴交点，即当/卜）=°,该方程有几个根，

的图象与，轴就有儿个交点，且方程的根就是交点的横坐标。

意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。

2.函数零点概念

对于函数y・/（工），把使/㈤”的实数，叫做函数尸的零点。

说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值。

3.方程的根与函数零点的关系

方程/a）■。有实数根<=>函数的图象与x轴有交点

函数八/⑴有零点

以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为

函数问题来求解，同洋，函数问题有时也可转化为方程问题.这正是函数与方程

思想的基础。

4.零点存在性定理

问题二、观察图象（气温变化图）片段，根据该图象片段，将其补充成完整

函数图象，并问：是否有某时刻的温度为0℃?为什么？（假设气温是连续变化

的）

意图：通过类比得出零点存在性定理。

给出零点存在性定理：如果函数J=在区间UN上的图象是连续不断一条

曲线,并且有了⑷，何<0,那么，函数）,/卜）在区间SM内有零点.即存在

一（叫,使得这个c也就是方程/卜）•。的根。

问题三、不是连续函数结论还成立吗？请举例说明。

尸=2+2

结合函数,x的图象说明。

问题四、若/⑷〃b)>0,函数在区间在口H上一定没有零点吗?

问题五、若‘(a)/(b)〈O,函数了■/㈤在区间在口司上只有一个零点吗？可能

有几个？

问题六、/⑹/何"时，增加什么条件可确定函数)=/")在区间在UH上只

有一个零点？

意图：通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理。

5.例题：求函数/O=^x+2x-6的零点的个数。

问题七、能否确定一个区间，使函数在该区间内有零点。

问题八、该函数有几个零点？为什么？

意图：通过例题分析，学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合

函数性质，判断零点个数的方法。

六.目标检测设计

L函数/。)=0+4)。・4)("2)在区间［_5,6］上是否存在零点?若存在，

有几个？

2.利用函数图象判断下列方程有几个根

(1)2xfx-2；=-3.

(2)/T+4=4X。

3.指出下列函数零点所在的大致区间

(1)/(X)=-X3-3X+5.

(2)，(X)=3(X+2乂x-3)(x+4)+，

最后，师生共同小结(略)。

思考题：函数/(力=山1+2］-6的零点在区间口可内有零点，如何求出这个

零点？设计意图：为下一节“二分法”的学习做准备。

教预设学

教师活动设计意图

学环节生行为

学生独

立思考完成

给出几个具体由具体的一元二次方程和二次

解答，观察、

创设情的一元二次方程函数到一般的一元二次方程和二次

思考、总结、

境的根及其相应的函数，既有利于学生掌握知识，又有

概括得出结

二次函数的图像助于学生抽象思维能力的形成

论，并进行

交流

认真理

引导学生仔细

解函数零点让学生观察二次函数在区间端

体会函数零点的

组织探的意义，并点上的函数值之积的特点，引导学生

概念、函数零点的

究(1)根据函数零发现连续函数在某个区间上存在零

意义、函数零点的

点的意义探点的判定方法

求法

索其求法

分析函

数，按提示

探索，完成

引导学生结合解答，并认

函数图像，分析函真思考；结

让学生认识到函数图像及基本

数在区间端点上合函数图

组织探性质在确定函数冬点中的重要作用，

的函数值的符号像，思考、

究(2)提高学生综合运用数学知识解决问

情况，与函数零点讨论、总结、

题的能力

是否存在之间的归纳得出函

关系数零点存在

的条件，并

进行交流、

评析

☆板书设计

方程的根与函数的零

点2.零点的定义

例1

一.复习引导3.零点存在性定理

四.小结

二.新课讲授