从整体角度进行数学教学的几点思考

从整体角度进行数学教学的几点思考

高中数学知识体系及其结构已经形成一个较为完整的系统，从高中数学教材改革的指导

思想及其重点，便可看出在数学教学中应注重以问题引导数学知识产生的背景、过程、历史、

思想及文化，最终落实到数学知识的应用这一重要环节。为此，在数学教学中教师要培养学

生从数学的基本思想、基本方法、基本概念的理解与认识，以及对数学的基本态度等方面来

形成对数学的总体认识，进而使学生对数学形成整体的认知结构。

要让学生对数学有一个整体的认知结构，提高学生数学能力、创新意识、理性精神并着

眼于学生的终身发展，教师也就应该从系统和整体的角度来开展数学教学，以下笔者就此结

合教学实践谈几点思考。

一、从整体的角度在数学知识形成过程中寻找联系

如果教师能够从整体数学知识的角度考虑，用联系的眼光来看问题，就会发现在数学基

础知识的形成过程中往往隐含着丰富的教育价值，这正是培养学生的数学观念、提升学生的

数学素质、形成学生数学整体认知结构的一条重要途径。

比如，高中数学新课标教材中“函数奇偶性定义”是这样呈现：先由学生熟悉的日常生

活中对称现象与两个分别关于原点和y轴对称的函数图象引出函数奇偶性概念，再将它们的

图象特征转化成代数特征f(-x)=f(x)与f(一x尸一f(x),从而得到函数奇偶性的定义。这样体

现了化“未知”为“已知”、化“形”为“数”和形数结合的数学思想方法，也符合学生由

熟悉到陌生、由特殊到一般、由直观到抽象的认知规律。

针对这一过程我们还可以从整体的角度进行深入的思考，进一步从如何激发学生的认知

需求提出这样的问题：为什么要研究函数的奇偶性？为什么要学习函数奇偶性的定义？如何

体现高中数学新课标倡导的自主探索、动手实践、合作交流的学习方式？因此，教师“J以在

日常生活中的对称现象的基础上，让学生观察他们熟悉的正比例函数f(x)=kx(krO)、反比

k

例函数f(x)=x(xWO)、缺一次项的二次函数f(x尸ax2+cgWO)的图象，学生会发现这些函

数的图象具有关于原点对称或关于y轴对称共同的特征。教师进而提出问题：具有这种对称

性的函数图象有什么优点？(以激发学生思考的兴趣)由此引导学生分析讨论可以得到：这

些函数图象不仅具有形态对称的美，而且知道它在原点或y轴的•侧的图象就可以画出它另

一侧的图象。

在介绍了函数奇偶性图象特征后，教师可以先让学生判断以下一些函数的奇偶性：①

3一丁一

f(x)=x2,xG[O,+8)；②f(x)=x\③f(x)=x$+2x3+x；④f(x)=-.对于①的函数

图象，学生容易作答；对于②的函数图象，学生利用描点法也不难画出图象后作答；对于③、

④的函数图象，学生会感到难以画出。由此可以说明利用函数的图象特征判断函数的奇偶性

有其局限性，即使有的函数图象能够画出，但还会存在准确性和视觉的可靠性等问题。由此

可以使学生产生认知冲突，从而激发学生在“形”转化为“数”、直观转化为抽象、感性转

化为理性等认知方面的需求，这样进一步去探讨函数奇偶性定义就更符合学生学习的心理需

求。

通过上述过程可以把函数相关的新旧知识有机地联系起来，一方面激发了学生认知需

求，另一方面强化了学生对函数奇偶性的宜观认识，同时为函数奇偶性定义形成作了铺垫，

从而使学生能够自然地掌握用图象法和定义法来判断函数的奇偶性。这样一来就可以从整体

的角度揭示和研究函数的奇偶性，也能够使学生对函数的奇偶性形成一个完整的认知结构。

二、从整体的角度在数学解题教学中寻找联系

从广义的数学知识角度来看，数学的思想方法是在一定范围内具有普遍性、隐性的知识，

是数学知识的精髓和灵魂，是学生形成良好数学认知结构的纽带，是知识形成能力的关键。

教师在数学解题教学中，要注重其中所蕴含的数学思想方法，在探讨数学题型及其解法过程

中引导学生从整体的角度寻求数学知识间的联系，从而通过解题教学使学生形成良好的数学

认知结构，提高数学能力，

m

例如，已知函数丫二优一矛+而5的最大值为M,最小值为m,则M的值为()

11V2显

A.4B.2C.2D.2

在解此题的教学中，若教师仅直接讲述其解法一为：先将函数式两边平方，得到y2

=4+J-x'-2x+3(一3WxWl)后转化为求二次函数在给定区间上的最值;解法二为：由-3

WxWl得0Wx+3W4,设x+3=4cos?B(B£[0,90°]),转化为求三角函数的最值；解法

三为：令u=JG,\=曰三，则「+『=4(1120,720),u+v=y,再用解析法求最值。

这样似乎问题很容易就被解决了，但学生的反应仍是很茫然，感到困惑的地方是老师怎么会

想到这样做。为了避免出现这种现象，教师在解题教学中要重视引导学生在数学知识与数学

思想方法之间，从整体的角度探讨其联系，揭示数学知识的本质，使学生的数学认知结构得

到优化与完善。

为此，教师要进一步揭示上述解题过程中所体现出的化无理式为有理式、化未知为已知

的这种数学化归思想和数形结合思想，使学生领悟解法的本质所在。同时教师还可以从整体

的角度，用联系的眼光看问题，引导学生对上述问题进一步探究。比如，可以启发学生联想

到借助函数的导数，从而得出函数的单调性来求最值；妇果仅是求此函数的最大值，还可以

启发学生借助柯西不等式等。教师还可以进一步提出以下变式问题让学生思考：（1）、如

果把函数改为y=jn万+而5或y=JG+J=时，如何求解呢？（可直接利用其单

调性求解）；（2）、如果把函数改为y=l-x+jn可或y=x+l+J^］时，如何求解呢？（前

省可设t=V^+3>o,转化为关于t的二次函数；后者可直接利用其单调性求解）等等，

这样便可以把求一次无理函数的最值的方法有机地联系成一个整体。

三、从整体的角度在数学探究过程中寻找联系

高中数学新课改倡导培养学生的探究意识和理性精神，为此在数学教学中，教师可以引

导学生对数学学习中感到困惑的问题进行探究。在探究过程中，教师可以指导学生从整体的

角度去注意力找知识间的我系，这样可以丰富学生的认知结构，为形成新的知识网络创造条

件。

比如，高中数学中随机变量的方差概念是初中数学中一组数据的方差概念的拓展，是刻

画随机变量（一组数据）与数学期望（一组数据的平均数）离散程度的量。在此教学中，可

以让学生探究为什么将一组数据xl,X2,XX的方差定义为&i-1而不是

1土豆一

甩I呢？其探究思路可以如下：设f（x）=&I，当x=«i-1=x时，

f（X）3n:&i-1;又设g（X）二甩I,可以证明当①n为奇数时，X为数据

H勺，勺］

xl,X2,X*的中位数，②当n为偶数时，x2”时，都有g（x）取最小值。所以,

12（々-彳）‘--2卜-入。1

用％I来刻画数据xl,X2,XX与平均数X的离散程度最佳，用阀

来刻画数据Xi,X2,…，XX与其中位数X。的离散程度最佳。在探究过程中，教师可以适

当的把数学史上著名的最小二乘法与最小一乘法这一统计学背景给学生介绍一下，以丰富学

生的数学知识和提高探究的兴趣。

19

⑴、函数m卒T最小值为

探究之后，可以让学生完成以下练习：

）A.190B.171C.90D.45

(2)、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到xi,x2,

xx共n个数据。我们规定的所测物理量的“最佳近似值”x是这样一个量：与其它近似值比

较，与各数据差的平方和最小，以此规定，从xl,X2,…，XX推出X=O

学生在上述探究的基础上，就能把看似没有关联的知识有机地联系起来，很容易得到：

2

(】)题中x=l()(l,2,…，19的中位数)时，f(x)min=90;(2)题中x=%(xl+x2+…+x*)

(即数据xl,x2,…，xa的平均数)。

通过上述探究过程，从整体的角度角度联系了函数最值知识与误差理论，深化了学生时

方差概念的理解，拓宽了学生的视野，培养学生的理性精神，使学生学会用联系的眼光看问

题，从整体的角度认识数学概念。这样学生对数学知识的理解便是深刻的，通过知识的正迁

移获得数学知识本质上的东西。

四、从整体的角度在数学与数学外部之间寻找联系

曾有数学教育家认为，数学与其外部的联系对学生来说是更自然和更重要的。数学与其

外部的联系是极为广泛的，主要包括数学与其它学科间的联系和数学与现实生活间的联系。

高中数学新课程也倡导要加强数学与其它学科及生活实际的沟通和联系，使学生从中体会数

学的价值和作用。

在数学教学过程中，教师可以从整体的角度指导学生学会用数学的思维方式去思考、解

决生活实际中的问题，同时能够用生活实际中的现象来诠释数学问题，让学生体会到数学知

识与现实生活的相同性，由此培养学生的联想意识和习惯，培养学生的创新意识和创造能力。

比如，在进行高中数学概率教学时，可以从整体的角度在概率知识与生活实际之间寻找

联系，创设问题情境，从而这样引入新课：

教师：在经济比较发达和文明程度较高的某些大城