高中数学-圆与方程试题含答案

高中数学-圆与方程试题含答案

1,圆(x+2)八2+y=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为0

Ao(x-2)A2+y=5

Box+(y-2)A2=5

Co(x+2)八2+(y+2)八2=5

Dox+(y+2)八2=5

2.若P(2,・1)为圆(x・1)八2+y=25的弦AB的中点，则直线

AB的方程是()

Aox-y-3=0

Bo2x+y-3=0

Cox+y-l=0

Do2x-y-5=0

3.圆x+y-2x-2y+l=l的点到直线x-y=2的距离最大值是()

Ao2

B。1+也

Co1+2<2

D.1+2

4.将直线2x-y+入=0,沿x轴向左平移1个单位，所得直线

与圆xA2+yA2+2x-4y=0相切，则实数人的值为()

Ao-3或7

B。-2或8

Co0或10

Do1或11

5.在坐标平面内，与点A(l,2)距离为1,且与点B(3,l)距

离为2的直线共有()

Ao1条

Bo2条

Co3条

D。4条

6.圆x+y-4x=0在点P(l,3)处的切线方程为()

Aox+3y-2=0

Box+3y-4=0

Cox-3y+4=0

Dox-3y+2=0

二、填空题

1.若经过点P(・l,0)的直线与圆x八2+y八2+4x・2y+3=0相切,

则此直线在y轴上的截距是.

2.由动点P向圆x八2+y八2=1引两条切线PA,PB,切点分别

为A,B,ZAPB=60,则动点P的轨迹方程为.

3.圆心在直线2x・y・7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-

4),B(0,-2),则圆C的方程为.

4.已知圆(x-3)八2+y八2=4和过原点的直线y=kx的交点为

P,Q,则OPQQ的值为.

5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆

x八2+H2-2x-2y+l=0的切线,A,B是切点,C是圆心,那么四

边形PACB面积的最小值是.

三、解答题

1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上,求aA2+bA2-2a-2b+2的最

小值。

2.求以A(-1,2),B(5,-6)为直径两端点的圆的方程。

3.求过点A(l,2)和B(l/0)且与直线x-2y-l=0相切的圆的

方程。

4.已知圆C和y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且被直

线y=x截得的弦长为27,求圆C的方程。

1.若直线$x-y=2$被圆$(x-a)+y=4$所截得的弦长为22,

则实数$a$的值为()

解析：直线与圆相交，可以将直线的$y$解出，代入圆的

方程中得到一个关于$x$的二次方程，解出两个根，这两个根

的差即为弦长。将弦长设为22,解方程得到$a-l$或$a=3$,

故选Ao

2.直线$x-2y-3$与圆$(x-2)+(y+3)=9$交于$E,F$两点，

则$\triangleEOF$($0$是原点)的面积为()

解析：首先求出直线与圆的交点，设交点为$(x_O,y_O)$,

则代入直线方程得到$x_0=2y_0+3$,代入圆的方程得到

$y_0=-3\pm\sqrt{5}$o由于圆心在原点,故$\triangleEOF$是

等腰三角形，底边$EF$的长度为圆心到直线的距离，即

$\frac{|3-0-4|){\sqrt{1A2+2A2}}=\frac{l}{\sqrt{5}}$,因此

$\triangleEOF$的面积为

$\frac{I}{2}\times\frac{1}{\sqrt{5}}\times2\sqrt{5}=l$,故选

Bo

3.直线$1$过点$(-2,)$,$1$与圆$x+y=2x$有两个交点时,

$(-2,)$斜率$k$的取值范围是0

解析：将直线方程$y=k(x+2)$代入圆的方程得到

$xA2+(k-2)x+(k-2)=0$,由于直线与圆有两个交点，故判别式

$\Delta=(k-2)A2-4(k-2)\geq0$,解得$k\in\left(-2,-

\frac{1}{2}\right]\cup[2,\infty)$,故选C。

4.已知圆$C$的半径为2,圆心在$x$轴的正半轴上，直

线$3x+4y+4$与圆$C$相切，则圆$C$的方程为()

解析：设圆$C$的圆心坐标为$(a,0)$,由于圆心在

$x$轴的正半轴上，故$a\geq0$o设切点坐标为$(x_0,y_0)$,

则直线的斜率为$-\frac{3}{4}$,切线的斜率为$\frac{4}{3}$,

故$y_0=\frac{4}{3}(x_0-a)$o将圆的方程代入直线的方程得

到$x_0=\frac{2a+4}{5}$,代入圆的方程得到$a=\frac{2}{5}$,

故圆$C$的方程为$x"+y八2.\frac{4}{5}x=4$,化简得到

$xA2+yA2Afrac{4}{5}x-4=0$,故选D。

5.若过定点$M(・1,)$,且斜率为$k$的直线与圆

$xA2+4x+y-5=0$在第一象限内的部分有交点，贝U$k$的取值

范围是()

解析：将直线方程$y=k(x+l)$代入圆的方程得到

$xA2+(4k-l)x+(k-5)=0$,由于直线与圆在第一象限内有交点，

故判另I式$\Delta=(4k-1)A2-4(k-5)\geq0$,解得$k\in\left(-5,-

\frac{1}{4}\right]\cup[5,\infty)$,故选D。

6.设直线$1$过点$(-2,)$,且与圆$x+y=l$相切,则

$1$的斜率是()

解析：设直线$1$的斜率为$1<$,切点的坐标为

$(x_0,y_0)$,则直线方程为$y=k(x+2)$,圆的方程为$x+y=l$。

由于直线与圆相切，故切点到直线的距离等于圆心到直线的距

离，即$\frac{|k+1-2k-|}{\sqrt{1A2+1A2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$,

解得$k=\pm1$,故选Ao

二、填空题

1.直线$x+2y二$被曲线$x+y-6x-2y・15二$所截得的弦长等

于22.

2.圆$C:x+y+Dx+Ey+F=$的外有一点$P(x,y)$,由点

$P$向圆引切线的长2.

3.对于任意实数$k$,直线$(3k+2)x-ky-2=$与圆$x+y-2x-

2y-2=$的位置关系是

4.动圆$x+y-(4m+2)x・2my+4m+4m+l=$的圆心的轨迹方

程是。

5.$P$为圆$x+y=l$上的动点,则点$P$到直线$3x-4y-

10=$的距离的最小值为.

三、解答题

1.求过点$A(2,4)$向圆$x+y=4$所引的切线方程。

解析：设切点坐标为$(x_0,y_0)$,则直线$AA'$的斜率

为$\frac{y_0-4}{x_0-2}$,切线的斜率为$-\frac{x_0+y_0-

4}{x_0-y_0)$,由于直线与切线重合，故有$\frac{y_0-4Hx_0-

2}=-\frac{x_0+y_0-4}{x_0-y_0}$,解得$x_0=\frac{10}{3}$,

$y_0=\frac{2}{3}$,切线的斜率为$-\frac{lONd/Bd-

\fraT15}{2}$,故切线方程为$y-4=-\frac{15}{2}(x-2)$,化简

得到$15x+2y=38$o

2.求直线$2x-y-l$被圆$x+y-2y-l$所截得的弦长。

解析：将直线方程$y=2x-l$代入圆的方程得到$x”+(2-

2y)x+(y-l)=0$,解得$x=\frac{2y-2\pm2\sqrt{2y-l}}{2}$o由

于直线与圆相交,故$2y-l\geq0$,故$y\geq\frac{l}{2}$。

将两个交点的坐标代入欧几里得距离公式得到弦长为

$\sqrt{2(2\sqrt{2y-1})A2}=4\sqrt{2y-l}$,代入

$y=\frac{3}{2}$得到弦长为$2\sqrt{ll}$o

3.已知实数$x,y$满足$x+y=1$,求$xA2+yA2+xy$的取值

范围。

解析：将$x+y=1$代入$xA2+yA2+xy$得到

$xA2+yA2+xy=(x+y)A2-xy=1-xy$,故只需求$xy$的取值范围。

由于$(x+y)八2\geq4xy$,故$xy\leq\frac{1}{4}$,又因为

$xA2+yA2\geq2xy$,故$1-xy=xA2+yA2+xy\geq\frac{5}{4}xy$,

故$xy\leq\frac{4}{9}$。综上可得$1・

xy\in\left[\frac{5}{4},\frac{4}{3}\right]$,故

AA

$x2+y2+xy\in\left[\frac{1}{3},\frac{7}{9}\right]$o

4.已知两圆$xA2+yA2-10x-10y=0$,$xA2+yA2+6x-2y-

40=0$,求(1)它们的公共弦所在直线的方程；(2)公共弦

长。

解析：将两个圆的方程相减得到$(x-2)八2+(y-4)八2=25$,

故第一个圆的圆心坐标为$(2,4)$,半径为5.将两个圆的方程

相加得到$仁-2)八2+。+1)八2=18$,故第二个圆的圆心坐标为

$(2,-1)$,半径为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。由于两个圆相交于两

个交点，故它们有公共弦，公共弦所在直线过两个圆的圆心，

故公共弦所在直线的方程为$y=2x-4$。将公共弦所在直线的

方程代入两个圆的方程得到两个交点的坐标为$(-1,1)$和

AA

$(5,9)$,故公共弦长为$\sqrt{(5-(-1))2+(9-1)2)=4\sqrt{10}$o

1.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0),则圆心坐标为:

A。(a,2)°Bu(-a,2)°C°(a,-2)°D°(-a,-2)

2.若点P在z轴上，且PA=PB,其中A(l,-2,1),B(2,2,2),

则点P的坐标为:

Ao(0,0,0)oBo(0,0,DoCo(0,0,/)。Do(0,0,2)

3.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0),直线l:x-y+3=0,当直

线1被C截得的弦长为23时，则a的值为：

Ao2.BO2-42.C。2-^/3.Do2+小

4.圆(x-l)2+y2=l的圆心到直线y=2的距离为:

Ao45.B。2.Col.Do3

5.直线3x+y-23=0截圆x+y=4得的劣弧所对的圆心角为：

Ao30°oBo45°oCo60°oDo90°

6.圆x+y=l上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是:

Ao6.Bo4.Co5.Do1

7.两圆x+y=9和x+y-8x+6y+9=0的位置关系是：

Ao相离。Bo相交。Co内切。Do外切

二、填空题

1.若B(2,2,2),点P在z轴上，且PA=PB,则

点P的坐标为(2,0,0)。

2.若曲线y=l.x2与直线y=x+b始终有交点，则b的取值范

围是(-1,1);

若有一个交点，则b的取值范围是[/1]；

若有两个交点，则b的取值范围是G8,-l]U[l,+8)。

3.把圆的参数方程｛x=l+2cosO,y=-3+2sin。｝化成普通方程

是(x-l)2+(y+3)2=4.

4.已知圆C的方程为x+y-2y-3=0,过点P(-l,2)的直线1与

圆C交于A,B两点，若使AB最小，则直线1的方程是x-

y+l=O.

5.如果实数x,y满足等式(x-2)+y=3,则y/x的最大值是2/3.

6.过圆x+(y-2)2=4外一点A(2,-2),引圆的两条切线，切点

为T1,T2,则直线T1T2的方程为y=2x・6.

三、解答题

1.由曲线x+y=x+y2围成的图形的面积为1/2.

2.设d=、2/2,则直线x-y+l=O到曲线y=x?的距离最小。

3.过点M(5,2),N(3,2)且圆心在直线y=2x-3上的圆的方程

为(x-3/2)2+(y-5/2F=5/2.

4.平面上有两点A(.1,O),B(1,O),点P在圆周(x-3)2+(y・

4尸二4上，使AP+BP最小的点P的坐标为(3-42,4-42)或

(3+42,4+42)。

1.如果点A(x,y)关于原点P(0,0)对称得到点B(-x,-y),那么

有(-x+2)+(・y)=5/2.

2.设圆心为C(1,O),则AB垂直于CP且斜率为-1,即k=-

1,而AB的斜率为1,因此可列出方程y+l=x-2.

3.圆心在线段AB的垂直平分线y-3上且在直线2x-y-7=0

上，因此圆心为(2,-3),半径为根号5.

4.圆x+y+2x-4y=0的圆心为C(-l,2),半径为根号2,因此

到点P(1,3)的距离为5,即切线方程为(x・2)+3(y-3)=0.

5.由于两圆相交，因此它们的距离小于它们的半径之和，

即根号2+1=根号5,设切点为T,则OT的长度为根号5,因此

OP*OQ=OT八2=5.

填空题：

1.点P(・l,0)在圆x+y+4x-2y+3=0上,切线方程为x-y+l=0,

因此OP=2.

2.将方程(x・5)八2+(y+6)八2=10化简得x+y-4x+4y-17=0.

3.圆心在y=6上,设圆心为(a,6),则(a-1)八2+16=25,解得

a=3,因此圆心为(3,6),半径为根号20.

4.设圆心为则圆心到直线x.2y+l=0的距离为2t,

因此有3t.2t=7/2,解得t=l或日/5,因此圆心为(3,1)或(・9/5,・

Do

解答题：

1.设点P(a,b),则直线AP的斜率为kl=-b/a,直线BP的

斜率为k2=(b-l)/(a-l),因此直线AB的斜率为k=(k2-

kl)/(l+klk2)=-(a+b-2)/(a-b),则直线AB的方程为y-b=-(a+b-

2)/(a-b)(x-a),将点(1,1)代入得到a+b=2,因此直线AB的方程

为y-l-(x-l),即x+y-2=0.点P到直线x+y-2=0的距离为

d=|a+b・2|/根号2,因此(a+b-2)/根号2的最小值为根号2,即

a+b=2+根号2,所以最小值为根号2/2.

2.设(x-1)八2+(y+2)八2二1•八2,则(x+5)八2+(y-4)八2=r八2,解得

x=-3或x=5,因此P点为(-3,-2)或(5,-6)。由于圆心为(2』)，因

此OP的斜率为・1/3,因此直线OP的方程为3y+x-5=0,设0T

的长度为d,贝U0T八2=OP*OQ=4d八2,因此d二根号(17/4)。设

T点为(x,y),则0T的斜率为(y-l)/(x-2),因此(y・l)/(x-2)=-3/l,

解得T点为(・5,4)或(1,-2),因此P点到圆的切线方程为

3x+y+13=0或x・3y+13=0.

3.设P点在AB上的投影为D,则AD=BD=2,因此三角

形APB是等腰三角形，且角APB=120度。设PC的斜率为k,

由于PC垂直于AB,因此k=-l/k,解得k=根号3或-1<=根号3.

设圆心为0,则0P=0A=根号3,因此三角形0AP是等边三

角形，角AOP=60度,因此角COP=60度-120度/2=30度。设

角CPA为a,贝1Ja+30度=90度，解得a=60度，因此三角形

PAC是等边三角形，且面积为根号3/4.

6.已知三角形的三边长为2、1、3,求其中一个角的大小

为60度。

二、填空题

1.45(x-3)+(y-1)=25,d=5,r=5,rA2-dA2=25,

x八2+y八2+Dx+Ey+F=0

2.相切或相交的条件是2k/(3k+2)+kA2/(3k+2)A2<=2；另

一种方法是直线恒过点(1,3),而(1,3)在圆上。

3.设k=(y+2)/(x+l),则k可以看作圆xA2+yA2=l上的动点

到点(-1,-2)的连线的斜率，而相切时的斜率为-2/3,因此k0=

-2/3.

4.设x=2m+l,y=m,则圆心为(2m+l,m),半径为m,且

xrL则x_2y-l=0的圆心坐标为(2,1)。

5.1/d-r=1/5

三、解答题

1.解:显然x=2为所求切线之一。另设y-4=k(x-2),贝(kx・

y+4-2k=-l/5,而4-2k/3=2,因此k=3/4.代入原方程得3x-

4y+10=0为所求。

2.解：圆心为(0,1),则圆心到直线2x・y・l=0的距离为2/收

半径为245/5,而弦长的一半为Y(30A2-2(2八/5)人2)/2=30心,

因此弦长为60.

3.解：设k=(y+2)/(x+l),则k可以看作圆x八2+y八2=1上的

动点到点(・1,・2)的连线的斜率。当k=2/3时，点(-1,-2)与圆的

切线斜率为-2/3,因此-2/3=(-2⑶(x+l)o

4.解：设切点为(xl,yl),则ATI的方程为xlx+(yl-2)x-

2yl+2