湖南省普通高中学2023-2024学年高考压轴卷数学试卷含解析

湖南省普通高中学2023-2024学年高考压轴卷数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(x)=sin如+/(x£R,3>0)的最小正周期为不，为了得到函数g(x)=cos5的图象，只要将

>=/卜)的图象()

A.向左平移£个单位长度B.向右平移J个单位长度

O8

c.向左平移四个单位K度D.向右平移;个单位K度

44

2.已知a满足sina=-，则cos）

3

7777

B.D.

189189

3.在AA8C中，“cosAccos4”是"sinA>sin3”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.设0«工工2〃，且Jl-sin2x=sinx-cosx，贝！J（）

c7■,，7乃八兀，，5冗

A.0W工K"B.一WxW—C.—WxW—

444422

5.下列函数中，在区间（0,+3。）上单调递减的是（）

_Jy=2'y=loglx1

A.vB.C.D.y=——

）一1/2x

6./+b?=1是。sine+bcosOWl恒成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

rr7T

7.已知函数/(x)=sin(2x—：)的图象向左平移回。>0)个单位后得到函数g*)=sin(2x+—)的图象，则夕的最小

44

值为()

3457r

B.—

8

8.胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔

高，恰好为祖冲之发现的密率常。兀.设胡夫金字塔的高为/?,假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单

条灯带，则需要灯带的总长度约为

„小J7+I6、，

A.（4KIB.（2兀I-------）h

4

C.（8/+4以2+1）力D.（271+收兀，+16）"

9.甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四

人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）

A.甲B.乙丙D.T

10.复数W7的虚部是（）

1+21

A.iB.-i

11.设〃?=In2,〃=lg2,贝！］（

A.m—n>irui>m+nB.m—n>m+n>iTU}

C.m+n>irui>m—nD.m-\-n>m—n>inn

12.已知函数/a）=氤K?则函数/"AD的图象大致为（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是.

①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；

②支出最高值与支出最低值的比是6:1；

③第三季度平均收入为50万元；

④利润最高的月份是2月份.

14.已知集合人={1,4},8={。-5,7}.若/^8={4},则实数”的值是.

rr

15.已知向量a=(cos5°,sin50),/?=(cos65°,sin65°),贝!)2a+〃=.

16.已知/(x)=sin[q(x+l)—百cosl^a+l)],贝iJ/(l)+/(2)+/(3)+-+/(2020)=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知抛物线卬：)，2=2〃*〃>0)上一点。。,2)到焦点尸的距离为2,

(1)求।的值与抛物线W的方程；

(2)抛物线上第一象限内的动点4在点。右侧，抛物线上第四象限内的动点4,满足尸，求直线43的斜率

范围.

18.(12分)椭圆C：4+4=1(<?>/?>0)的离心率为』I,它的四个顶点构成的四边形面积为2夜.

a~b~2

(1)求椭圆。的方程；

(2)设P是直线％=/上任意一点，过点夕作圆/+,2=/的两条切线，切点分别为加，N,求证：直线/WN恒

过一个定点.

19.(12分)已知数列{〃4},其前〃项和为S“，满足q=2,S”=力皿“+管*,其中几.2,“N*，4，

x

⑴若2=0,〃=4,包=。向一2。〃(neN)，求证：数列{〃』是等比数列;

⑵若数列仅〃}是等比数列，求/L〃的值；

3

⑶若名=3,且4I〃=2,求证；数列{%}是等差数列.

/2r—1

20.（12分）已知集合A---1,集合B=数k+a2}.

Vx+1

（1）求集合A;

（2）若B=求实数。的取值范围.

21.（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取

了100件产品作为样本，检测一项质量指标值.该项指标值落在［20,40）内的产品视为合格品，否则为不合格品.

甲生产线样本的软率分布图

乙生产线样本的频数分布表

质量指标[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]合计

频数2184814162100

（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产

的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率;

（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的2x2列联表，并

判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析

保留哪条生产线较好?

甲生产线乙生产线合计

合格品

不合格品

合计

n(ad-bc)2

附：犬=,n=a+b+c+d・

(〃+b)(c4-d)(〃+c)(b+d)

P(K?Nk°)0.1500.1000.0500.0250.0100.005

即2.0722.7063.8415.0246.6357.879

22.(10分)已知函数/(x)=xlnx.

(D若函数g(x)=绰-求g。)的极值；

AA

(2)证明：f(x)+\<ex-x2.

(参考数据：In2之0.69ln3«U0Jw4,48«7.39)

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

由/(x)的最小正周期是乃，得。=2,

即/(x)=sin(2x+f)

=cos--f2x+—1

「I4〃

=cos2x---

I4j

=cos2(x-/,

因此它的图象向左平移J个单位可得到g(x)=cos2］的图象.故选A.

O

考点：函数f(x)=Asin(5+e)的图象与性质.

【名师点睛】

三角函数图象变换方法:

法：

步

骤

出出片sin#的图像1画出y=sinx的图像

向左(s>0)或平移修I个中位横坐标变为千索的J倍

向右“<0)

得到厂sin(/Q的图像卜—为到广sin34的图像

横坐标变为旗米的上倍向左“打)成

步向右G<o)平移SJ个单位

第一称，到=sin(8N")的国像

得到广sin(Mr”)的图像3y

(

纵坐标变为原来的八倍一纵坐标变为原来的八倍

步

得到尸Asin(s”)的图像卜―4哪得到产lsin(s*+6的图像

2、A

【解析】

利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.

【详解】

.1

sma二一,

3

(7i、(乃冗.71.V71.乃.

cos—+acos----a=cos—cossin—sin(2cos—cosa+sin—sina

UJUJI44JI44

=f^^cosa222

4cosa+——sincr=-^(coscr-sina)=-j(l-2sina)

22

故选：A.

【点睛】

本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

3、C

【解析】

由余弦函数的单调性找出cos4<cos8的等价条件为A>8,再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出

“cosA<cos夕'是"sinA>sin3”的充分必要条件.

【详解】

余弦函数丁=6为4在区间(0,4)上单调递减，且0<4<不，0<8<不，

由cosAccosB,可得A>3,/.a>b,由正弦定理可得sinA>sinA.

因此，“cosA<cos8”是“sinA>sinA”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力,

属于中等题.

4、C

【解析】

将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sinx..cosx,即可求出工的范围.

【详解】

5/l-sin2x=>/sin2x+cos2x-2sinxcosx

=^/(sinx-cosx)2

=|sinx-cosxl

=sinx-cosx

sinx-cosx.O,即sinx.cosx

噫①21

.-.-M—

44

故选：C

【点睛】

此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sinx,cosx的关系即可求解，属于简单题目.

5、C

【解析】

由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.

【详解】

因为函数v=，,),=2、和>=一，在(°，内)递增，而在递减•

故选：C

【点睛】

本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.

6、A

【解析】

a=cosa

设｛=>4sinO+〃cos0=sinOcosa+cos0sina=sin(0+a)Wl成立；反之，a=Z?=O满足

Z7=sina

asine十权x)s8W1,但。？十〃？工1,故选A.

7、A

【解析】

首先求得平移后的函数g(x)=sin2工+20-?,再根据sin(2工+2s-?)=sin2x+?求。的最小值.

【详解】

根据题意，/(幻的图象向左平移夕个单位后，所得图象对应的函数

TCT7TTT

g(x)=sin2(x+69)----=sin(2x+2°------)=sin(2x+—),

4444

所以2g-三=2k兀十三,kwZ,所以Q=k7r+%,keZ.又。＞0,所以。的最小值为4.

44^44

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.

8、D

【解析】

设胡夫金字塔的底面边长为。，由题可得当二九，所以〃=孚，

2/i2

该金字塔的侧棱长为J//+(争?=M*=局2丁6,

所以需要灯带的总长度约为4x处生还+4x独=(2兀+727716)//,故选D.

42

9、C

【解析】

分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答

案.

【详解】

①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话,

故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；

②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故

乙说谎，年纪最大的也不是乙；

③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，

故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；

④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大

的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年

纪最大的是丙.

综上所述，年纪最大的是丙

故选：C.

【点睛】

本题考直合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理

能力，属于中档题.

10、C

【解析】

5i5/(1-2z)10+5/c.5i

因为丁丁二八，所以丁下的虚部是1，故选c

l+2z(l+2z)(l-2z)5l+2i

11、D

【解析】

由不等式的性质及换底公式即可得解.

【详解】

解：因为m=ln2,n=lg2,则〃八九,且以〃£(0,1),

所以“2+〃>研，m-\-n>m—nt

1111.,10,,

又-----=--7^7=l°g21°—log?e=lo§2—>】og22n=1,

nmIg2In2e

即----->1，贝!|m-n>mn,

mn

即/〃+n>m—n>tm,

故选：D.

【点睛】

本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.

12、A

【解析】

用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为比函数的图像.

【详解】

设gQ)=/QT)=i-2由于8151=:匚1>。，排除B选项；由于且七)=3*卜2)=总，所

lnx-x+1ln-+-2-e'/3-e

22

以以e)>g(e2),排除。选项；由于当xf田时，4。)>0,排除。选项.故A选项正确.

故选：A

【点睛】

本题考直了函数图像的性质，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、®@®

【解析】

通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可.

【详解】

对于①，2至月份的收入的变化率为配国=20,H至12月份的变化率为W=20,故相同，正确.

3-221-11

对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1,正

确.

对于③，第三季度的7,8,9月每个月的收入分别为40万元,50万元,60万元，故第三季度的平均收入为丝上竽曲=50

万元，正确.

对于④，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80・60=20万元，错误.

故答案为①@③.

【点睛】

本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目.

14、9

【解析】

根据集合交集的定义即得.

【详解】

集合。={1,4},B={a-5,7}fAnB={4},

。-5=4,则。的值是9.

故答案为：9

【点睛】

本题考查集合的交集，是基础题.

15、V7

【解析】

求出卜然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算.

【详解】

由题意得，=以^25。+$也25。=1，=^-b=cos265°+sin265°=1»卜]•

—-[/-*\2-T..))

/.ab=cos5°cos650+sin5°sin65°=cos60°=—,：A2a+b]=4ci+4ci-/?+/?=4+4x—+1=7,

2')2

2a+b=V7.

故答案为：x/7.

【点睛】

本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础.本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积

的运算.

16、G

【解析】

化简得/(x)=2singx,利用周期即可求出答案.

【详解】

解：/(A)=sin[—(x+l)]->/3cosf—(x+1)]=2sin—x,

33

・・・函数/(x)的最小正周期为6,

・•・/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

/(D+/(2)+/(3)+...+/(2020)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=£,

故答案为：73.

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质的应用，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)1；y2=4x(2)k、Bw(-8J25)5。,+8)

【解析】

(1)根据点C0,2)到焦点E的距离为2,利用抛物线的定义得/+亨=2,再根据点在抛物线上有2p7=4,列方程

组求解，

(2)设A(幺,〃)(〃>2),3(—,/?)(/?<0),根据攵°八•女FB=-1n。=---=，再由。>2]<0,求得

444一

-4—26<人<一2,当。=—b,即方二一26时，直线斜率不存在；当1工一人时，

b—a_4_4_4(4~/?2)

4(4一〃)

Z7-a2~T+b~16/2-20b-h3，令/⑺;,利用导数求解,

---------।U20/?-护

444-/7-

【详解】

(1)因为点C«,2)到焦点焦的距离为2,

即点C/2)到准线的距离为2,得，叶=2,

又2p/=4,解得〃=2,1=1,

所以抛物线方程为丁=4x

2,2

(2)®.4(—,a)(a>2),B(—,h)(b<0),

44

,,.16b

由攵。八山叩二-1=>〃=匚/

由。>2力<0,则4-从<0,^^7>2=>-4-2x/5</?<-2

^-b

当。=-6即人=-26时，直线斜率不存在；

_b-a_4_4_4(4-Z?2)

当aw_b时，-b2a2~~J+b~16Z?-20/?-Z?3

--------y।<✓

444*

24

4"/”4-80-8Z?-/7

令令幻=--------r,f(A)=4-------------<0,

20/7-Z?3(20%-/)2

所以在(-4-26,-20),(-26,-2)上分别递减

则j)u(0,+8)

【点睛】

本题主要考查抛物线定义及方程的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题，

18、(1)—+/=1；(2)证明见解析.

2.

【解析】

(1)根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；

(2)设点尸(2,%),%(七,必)，由/W_LON,结合斜率公式化简得出2-2%一)/0=0,

2-2x2-y2yo=Ot即八,伍,必)满足2-2工一》0=。，由九的任意性，得出直线MN恒过一个定点

(1,0).

【详解】

cr="+(?_

]a2=2

(1)依题意得7・2。,28=2&,解得,、一。

2[b2=?=1

c_\/2

a2

即椭圆C：y+y2=l；

(2)设点P(2,)，o),N(x2,y2)

其中x：十3'；=2,£十只=2

由PM_LQM,PNLON得上一丛=-1,-h-.Vo.21=-i

%1-2%]x2-2x2

即x：+犬一2%一%%=0,考+员一2%-%%=0

注意到x；+)，；=2,石+£=2

于是2-2%一y)，o=。，2-2x2-y2y()=0

因此,yj,N(4，%)满足2-2%-双=0

由凡的任意性知，x=l,y=0f即直线MN恒过一个定点(1。).

本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.

19、(1)见解析(2)2=1,〃=0(3)见解析

【解析】

试题分析：(1)S.=44I(〃N2),所以2=2%,故数列也｝是等比数列；(2)利用特殊值法，得夕="=1,

1〃

故4=1,〃=0；(3)得4=5,〃=1,所以5.=耳%+。,1，得(〃-1)%*一(〃—2)4-201=0,可证数列｛4｝

是等差数列.

试题解析：

(1)证明：若2=0,〃=4,则当S”=4〃,』(〃N2),

所以a.+i=S向一S〃=4(4—a”—),

即，一2/二2(4J

所以"二2〃i，

又由q=2,q+a2=4q,

得见=%1=6,生-2q=2w0,即4H0,

所以3=2,

故数列料｝是等比数列.

(2)若｛4｝是等比数列，设其公土为4(夕工0),

当九=2时,S2=2Aa2+nax,即q+叼=24/+〃％，得

\+q=2A,q+//,①

当〃=3时，S3=3A,ay+1.ia2,即4+生+%=34%+4。2，得

1+夕+42=3面,②

当〃=4时，S=44%+4。3，即4+%+/+/=4%%+〃/，得

1+4+4?+/=4痴+〃才，③

②-@x9,得1=4/,

③~0xq,得1=4g',

解得q=l,2=1.

代入①式，得4=0.

此时S“=natl(n>2)t

所以4=4=2,{q}是公比为1的等比数列，

故4=1,〃=0.

(3)证明：若生=3,由卬+/=2丸4+管4，得5=6为+24，

31

又4十〃=3，解得义=3，〃=i.

由q=2,4=3,义=5，〃=1,代入Sn=Anan+f.uin_x得。③=4,

所以外,2,%成等差数列，

.nn+\

由Sc“=—a+a“_],得S“+i=——。“+]+ci,

LftLft

clft

两式相减得：an+l=+%一'*

即("1)%+「(〃-2)q一26.=。

所以陷.2一(〃一1)。,用一24=0

相减得：照.一2(〃-1)勺川+(〃-2,“一〃+2aM=0

所以〃(4+2—四+1+4J+2(4+]-24+%)=0

222

所以(2,2—2。向+4J=-一(4川一2〃“+―24T+4-2)

nnyn—\j

(-2尸/、

二……二而刁ii+“

因为/-2%+%=°，所以%+2-2%+]+%=0，

即数列也}是等差数列.

20、(1)A={x\x<-\^x..2}；(2)(-00,-3](J(3,4-00).

【解析】

(D求出函数)，=—1的定义域，即可求出结论；

(2)化简集合8,根据4口4确定集合8的端点位置，建立。的不等量关系，即可求解.

【详解】

2r—1Y—2

(1)由-------1..0,即——..0得XV—1或

X+1X+1

所以集合4={%1%<-1或x..2}.

(2)集合8={x|-掇k+a2]={x\-\-c^ic2-a)f

由4=4得2-av-1或一1一a.2,解得或〃,，一3,

所以实数。的取值范围为(-8,-3]U(3,E).

【点睛】

本题考查集合的运算，集合间的关系求参数，考查函数的定义域，属于基础题.

21、(1)0.0081(2)见解析，保留乙生产线较好.

【解析】

(1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次

独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出K2的观测值即可判断.

【详解】

(1)根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：

0.032x5+0.080x5+0.032x5+0.036x5=0.9.

设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件A,事件4发生的概率为〃，则由样本可估计〃=0.9.

那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件A恰好发生2次,

其概率为：C/p2(l-p)3=0.0081.

(2)2x2列联表：

甲生产线乙生产线合计

合格品9096186

不合格品10414

合计100100200

200x(90x4-96x10)2

K?的观测值2=