海南大学《高等数学A1》（下）模拟试题及答案

科目：《高等数学A1》（下）模拟试题（一）答案

姓名：学号：

学院：专业班级：

成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写）

大题一二三四五六七八总分

得分

阅卷教师：年月日

考试说明：本课程为闭卷考试，可携带。

得分阅卷教师一—、填空题（每题3分，共18分,在以下各小题中画有一处填上答案）

x

1.微分方程/-2/+y=0的通解是y=(G+C2x)e.

2.设a==(1.0.0),c=1c,则4=

2

*2*S2

3.曲面/+2y+3Z=21在点(1,-2,2)的法线方程为—=)出=—

1-46

4.jj(cosxsiny+BtZxz/),=兀,其中D={(x,y)\x2+y2<11.

D

5.j(x+y)2a£=2不，其中D=((x,y)\x2+y2=1}.

L

6.若£un收敛，则limun=____0

S2

得分阅卷教师

二、选择题（每题3分，共18分，选择正确答案的编号，填在各题的括号内）

1.方程）严+），=产的一个特解是（A）；

A）.-e\B）--ex：C）一26V.D）2ex.

22'

2.设直线2=）=三则该直线必定（A）；

01-2'

A）过原点且垂直于x轴；B）过原点且平行于x轴；

C）不过原点但垂直于4轴；D）不过原点且不平行于工轴・

3.函数/（乂），）=商+，在点（0,Q）处,下面说法正确的是（C）；

A）偏导数存在；B）不连续；

C）沿任意方向的方向导数都等于1：D）以上的答案都不对.

4.设/（x）是连续函数，F（t）=^dy^fMdx则尸（2）=（B）；

⑷2/（2）;8）/（2）;0-/（2）;0）0.

5.设曲面+（zNO）,曲面Z为曲面'在第一卦限部分，则（c）；

A）jjxdS=4,xdS;：B）jjydS=4JJ.WS;

E%SS,

C）JJzdS=4jJ.WS;D）|JxyzdS=4xyzdS.

工％sz,

6.设正项级数二可（为＞°）收敛，则下列级数收敛的是（B）：

n=!

A）EM；B）Zq；c）Z丁；D）工a-

'H.17Jf-I'n=l%7n-l

得分阅卷教师三、计算题（每小题8分，共56分，具体步骤或其它方法酌情给分）

1.设/3)为连续函数，且汽幻二炉+上"⑺力，求/3).

解：由条件得

f\x)-f[x}=ex

\/(0)=1

所以

“t)=e-jTd[je”T，r+C

=er(x+C)

由/(0)=1得C=1

f(x)=e\x+\).

2.求过点且垂直于平面x-y+z=l和平面2x+)，+z+l=0的平面方程.

解：所求平面的法向量为

iJk

n=1-11=-2/+j+3k

211

所求平面的方程为-2(x-l)+()，+l)+3(z-l)=0

即2x-y-3z=0

3.已知z=(l+W，求dz和

dx-

4.解

a-z二)，2(1+不，产，

ax

a-zX

ln(l+肛)+v—:-

a3l+x)?

=(1+xy)'ln(l+xy)+——

\+xy

in\4’

dz=>,2(1+-)I。丫+(1+xy)'ln(l+A)，)+—:—dy

\+xy

言—“2.

4.计算jjjzdxdydz,其中。是由曲面z=/+y2及平面z=4所围成的闭区域.

n

/?2<z<4

解复：<0<p<2

0<6><2^

利用柱面坐标计算

nzdxdydz=jjdxdy[[zdz=『呵；即£zpdz=苫万

aDD

或

JJJzdxdydz耳Jzjjzdxdy

QD:

「，64

=JoZ'TCZdZ--37T.

5.计算，*"-丁々*其中乙：/+）,2=|,逆时针方向.

L

解

Jx\ly-3(/+y2\lxdy

LD

二3「rrdr=—^.

JoJo2

6.求级数与弓的和函数，并求£（_1）”小的和.

解：级数的收敛半径为

1/

〃-1/

//74I

x

由于士上1发散，X£（一）"1，收敛，故级数的收敛域为［-1,1）.

n=lan=l〃

令

5(X)=£A

M〃

I

S,(x)=X^，-，=--，

M17

.,J；S'(x)公=£-j-!—dCr=-ln(l-x)|；=-ln(l-x)

S(x)-5(0)=-ln(1-x)

vS(0)=0,「.S(x)=-ln(l-x)Ae[-l,l)

所以

V-=-ln(l-x)xe[-1,1)

之（T）”—^-=-ln(l+g)=In2一In3.

n-l

7.设中（〃j）具有连续偏导数，证明由方程①（5-az,c），-历）=0所诵定的隐函数

z=z(x,y)满足a—+〃F=c.

oxoy

(两个偏导各3分，带入2分)

证明：令F(x,j,z)=(I)(cr-az,cy-bz)则

F；=g；,F；=ND；,F'=一两-心2

dzF；c‘

••瓦__己_则+仅明'

包__陋

dyF；a(D；+/?(D；

dz.dzc〃W+机0,

?.a—+b—=---!-------=c.

dxdy〃①;+ZxP；

得分阅卷教师

五、应用题（8分）

求由曲面z=**)，2和曲面z=12-2/-2),2所围成的立体的体积.

>>，

z=x-+y-.,->.

解:由＜.,=>z=4,.r+y*=4

z=\2-2x2-2y2