向量的数量积课件-高一下学期数学人教A版(3)-1

人教A版2019必修第一册第6章平面向量及其应用6.2

平面向量的运算

学习目标学科素养1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义、性质、运算律，理解其几何意义.（重点）（难点）数学运算数学运算、逻辑推理6.2.4

向量的数量积

复习导入4.向量形式的三角形不等式：1.向量加法三角形法则:特点:首尾相连，连首尾特点:

起点相同，连对角2.向量加法平行四边形法则:特点:

共起点，连终点，

指向被减3.向量减法三角形法则:AOB5.向量的线性运算：向量的加法、向量的减法、向量的数乘运算.复习导入

-1乘任何向量得到这个向量的相反向量.

注意：复习导入

复习导入9.三点共线：探究新知向量的加法、减法和数乘运算，我们把这些运算统称为向量的线性运算.

问题1：我们是如何研究这些运算的呢？背景定义性质应用

问题2：向量及其线性运算有明确的物理背景，在所学的物理知识中，哪个概念可以作为“向量乘法（两向量相乘）”的物理背景呢？探究新知

功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功,其中是F与s的夹角.

追问1：在功的定义中涉及哪些要素呢？力、位移、夹角探究新知向量夹角的定义B0A探究新知

功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功,其中是F与s的夹角.

追问1：在功的定义中涉及哪些要素呢？力、位移、夹角向量数量积：探究新知平面向量数量积定义

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(也叫内积)，记作，即

【规定】零向量与任一向量的数量积为0【注意】

“·”不能省略，也不能写成“×”思考：对比向量的线性运算，数量积的运算结果有什么不同？追问2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？课堂小结例1已知解：例2解：

由

，得∵

∴

.知三求一探究新知问题3：对于任意两个向量，如图，如何得到一个向量向另一个向量的投影向量？图2设

是两个非零向量，

，过

的起点A和终点B，分别作

所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到

，我们称这种变换为向量

向向量

投影，

叫做向量

在向量

上的投影向量．A0B图1A1

我们可以在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量探究新知探究新知

探究

如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，那么

与，，θ之间有怎样的关系？

显然与

共线，于是所以当θ为锐角时，与

方向相同，当θ=0时，λ=，当θ为直角时，λ=，探究新知所以当θ为钝角时，与

方向相反，当θ=

时，λ=，所以综上可知，对任意的都有:探究新知探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？问题6：给出了数量积的定义后，接下来要研究什么？你认为可以如何开展研究？追问1：你认为应该怎样入手研究几何性质？你能得出哪些几何性质？探究新知追问2：回顾上面研究性质的过程，你能说说研究一种向量运算的几何性质时所采用的思想方法吗？数量积的性质问题7：请你带着下面的问题，对本节课进行总结(1)你能归纳课我们是如何研究向量的数量积运算的吗?(2)你认为定义向量的数量积时,应注意哪些问题?(3)你认为我们可以利用投影向量解决怎样的问题?(4)向量数量积的性质要研究的问题是什么?我们是如何发现数量积的几何性质的?课堂小结平面向量的运算线性运算加、减法运算数乘运算数量积运算封闭性运算非封闭性运算背景定义性质应用研究路径知识技能思想方法数形结合——类比归纳课堂小结复习导入1.向量的夹角

已知两个非零向量

，O是平面上的任意一点，作

则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量

与

的夹角．2.平面向量数量积的定义

已知两个非零向量

与

，它们的夹角为θ，把数量叫做向量

与

的数量积(或内积)，记作

，即

特别地，

.

问题1：我们知道数的乘法有交换律，结合律，分配律，那么向量的数量积是否也满足类似的运算律呢？

问题2：同学们，能否类比数的乘法的运算律，写出向量的数量积的运算律？探究新知对向量

和实数λ，有：猜想问题3：同学们，我们知道这三种运算律在数的乘法中都是成立的，那么对于向量的数量积来说都是成立的吗？同学们可以利用数量积的定义进行证明吗？证明：探究新知探究新知

追问：我们一起来研究一下（3）该怎么证明，我们可以通过作图的方法结合我们上一节课学习的投影向量来证明（3）。探究新知

问题4：根据向量的数量积的定义我们发现（2）在数量积中是不成立的，那么如果我们怎么改变（2）结合律会成立呢？

追问：我们可以进行证明吗？对向量

和实数λ，有：探究新知例1我们知道，对任意，恒有对任意向量，是否也有下面类似的结论？证明：探究新知解:(1)例2

已知,

与

的夹角60°，（1）求；（2）求.解:(2)探究新知例3

已知,且

与

不共线.当k为何值时，向量

与

互相垂直？解:与互相垂直的充要条件是课堂小结1.知识点