成对数据的统计分析 第9课时小结

第八章小结

（2课时，单元教学设计）

樊涛（安徽省淮南第二中学）

1单元内容与内容解析

1.1内容

第一课时：回顾本章所学习的基本知识，即成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、

2X2列联表与独立性检验.

第二课时：结合典型案例，梳理解决成对数据统计问题的基本方法，了解统计研究问题

的思路和特点.

1.2内容解析

本章在必修课程统计内容的基础上，通过成对数据研究两个随机变量之间的关系，内

容包括成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2X2列联表与独立性检验.在必修课

程中，学生学习过一曲样本数据的直观表示方法和统计特征的刻画方法，例如直方图、均值、

方差、取值规律、分位数等，并根据样本数据的统计特征估计总体的统计特征，这些方法主

要适用于解决单个变量的统计问题，本章在必修课程基础之上，以样本估计总体为核心思想,

结合典型案例，利用成对样本数据的统计相关性研究两个变量之间的统计相关性，采用的方

法是先直观描述后定量刻画，具体研究了数值变量和分类变量这两种变量.

对于两个数值变量，通过典型案例，引入变量之间相关关系的概念，并介绍成对样本数

据的散点图，根据成对样本数据的散点图直观推断变量之间的相关关系，让学生感受到研究

此类问题的必要性.而后，通过对散点图无法定量刻画成对样本数据相关程度的分析，引入

样本相关系数的概念，样本相关系数不仅可以反映成对样本数据相关的正负性，而且可以定

量地刻画成对样本数据线性相关的密切程度，同时让学生感受引入样本相关系数的必要

性.接下来，利用一元线性回归模型刻画两个数值变显的相关关系，并利用估计得到的经验

回归方程进行预测.根据先建立模型再估计模型参数的顺序，在一次函数模型的基础上，通

过引入随机误差项，建立一元线性回归模型刻画两个数值变量之间的相关关系，再利用最

小二乘法估计一元线性回归模型中的参数，得到经验回归方程，进而根据解释变量的取值预

测响应变量的取值，通过“儿子身高与父亲身高的关系”这个案例，完整呈现了从直观寻找

与散点整体接近的直线，到用Q=£Xy「bXj-a）?定量刻画整体接近的程度，最后得到参

1

数估计的数学化过程，在过程中让学生体会最小二乘法的思想，积累数据分析的经验.在此

基础上结合具体案例，利用回归方程进行预测，并对结果进行合理解释，了解模型参数的统

计含义，最终利用残差分析的方法对模型进行评价和改进.此外，教材还介绍了非线性回归

模型和决定系数R2,以及如何利用决定系数片评价不同模型.

对于两个分类变量的独立性，先基于2X2列联表直观推断两个分类变量的独立性,再分

别根据普查数据和抽样数据，运用比率和条件概率两种方法判断两个分类变量的独立性，通

过比率判断比较符合直观，而通过条件概率判断，则是为了后续通过抽样数据推断分类变量

的独立性作思想方法上的铺垫.最后，用假设检验的思想推断两个分类变量的独立性，即独

立性检验.通过度量推断犯错误的可能性大小体现引入独立性检验的必要性，并通过％2统计

量的构造过程，让学生体会统计的思想方法，积累数据分析的经验.这样，利用炉统计量

的近似分布和小概率原理，就可以根据％2的观测值对分类变量的独立性作出科学的推断.

本章的数学思想方法主要包括概率与统计、数形结合、函数与方程.数形结合的思想方

法主要运用于对数据的直观描述，如能否通过散点图分析成对样本数据的相关性，能否利用

散点图与经验回归直线的关系理解最小二乘法的原理，能否利用残差图分析回归模型，能否

利用等高堆积条形图推断两个分类变量的独立性等.而函数与方程的思想方法则主要体现在

一元线性回归模型的建立.此外，要引导学生借助信息技术进行本章的学习，如利用技术画

散点图、残差图、堆积条形图、计算经验回归力程、画回归直线、算为2统计量的观测值等.

本章主要培养学生五个方面的关键能力：数据分析能力、数学建模能力、推理论证能力、

运算求解能力和直观想象能力.在本单元的学习过程中，学生将进一步感悟根据实际情况进

行科学决策的必要性和可能性，体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的

差异，从而积累数据分析的经验，培养数据分析、数学建模、逻辑推理、直观想象、运算求

解等素养.

本单元是对整章的小结与梳理，是学生对本章所有知识的一次整合与巩固。学生将掌握

成对样本数据的直观表示方法及线性相关统计特征的刻画方法，能够根据成对数据的统计相

关性推断两个变量的相关性，解决统计相关性的简单实际问题；理解一元线性回归分析的方

法，会用一元线性回归模型刻画两个变量之间的相关关系，并进行预测；理解2X2列联表

的统计意义，会运用2X2列联表等知识解决两个变量独立.性检验的简单实际问题.因此本单

元的教学重点是一方面回顾本章所学习的基本知识，即成对数据的统计相关性、一元线性I可

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归模型、2X2列联表与独立性检验，另一方面结合典型案例，梳理解决成对数据统计问题

的基本方法，了解统计研究问题的思路和特点.

2单元目标与目标解析

2.1目标

（1）结合实例，了解样本相关系数的统计含义，会通过样本相关系数比较多组成对数

据的相关性.

（2）结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小

二乘法原理，掌握一元线性1可归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件，会

用一元线性回归模型进行预测，理解残差分析的原理和方法.

（3）结合实例，理解2X2列联表的统计意义，掌握2X2列联表独立性检验及其应用.

（4）掌握以样本估计总体的核心思想，了解统计研究问题的思路和特点，培养数据分

析、逻辑推理、数学运算和数学建模素养.

2.2目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）学生能理解样本相关系数引入的必要性和定义的合理性，能根据样本相关系数推

断两个变量之间相关的正负性，以及线性相关程度的强弱.

（2）学生能理解•元线性回归模型与•次函数模型的联系与区别，能利用最小二乘原

理求一元回归模型参数，会用经验回归方程进行预测.能用残差、残差图和决定系数评价和

改进回归模型.

（3）能依据样本数据编制2X2列联表，能够利用独立性检验的方法对二选一的决策问

题做出推断.

（4）学生能够运用数形结合的思想方法，先合理运用统计图表直观表达样本数据，而

后运用相关知识定量刻画样本数据，能够依据样本数据的规律性和数字特征推测总体的性

质.

3单元教学问题诊断分析

学生虽然学完了成对数据统计分析的内容，但对统计的认识基本上停留在碎片化的就题

论题的表层水平，对统计概念的理解不深入，需要在一两节复习课上以师生相互交流的方式

更深入地认识统计.对知识的梳理与总结，一定要以学生为主体，教师绝不能替代.在帮助

学生构建知识网络结构的同时，更要帮助其构建方法系统.让学生体会“升维”和“降维”

的价值，树立“升维”和“降维”的怠识，掌握“开维”和“降维”的方法.

3

对于两个数值型变量，可以通过散点图的直观观察，大致确定变量间是否存在线性关系，

通过样本相关系数分析线性相关关系的强弱。在此基础上建立一元线性回归模型，用最小二

乘法估计线性回归模型中的参数，得到经验回归方程，并利用残差及利用残差构建的指标对

模型进行评价和改进，使模型不断完善，最后根据模型进行预测，帮助决策.整个过程严谨

而又复杂，学生往往熟练其中的部分环节，而对整个过程不够清晰准确.

根据以上分析，确定本单元的教学难点是：建立本章知识的结构体系，建立知识之间的

联系.结合实例，归纳概括研究两个数值变量和两个分类变量的内容、过程和方法.合理运用

统计知识解决典型的统计案例.

4单元教学支持条件分析

信息技术既是现代统计的组成部分，也是统计学习的有效辅助手段.合理运用利用信息

技术工具实现快速、准确的列表、画图、计算等数据处理，有利于学生集中精力学习统计概

念和方法.

6课时教学设计2

第二课时

6.1教学内容

结合典型案例，梳理解决成对数据统计问题的基本方法，了解统计研究问题的思路和特

点.

6.2教学目标

（1）结合典型案例，梳理解决成对数据即数值变量和分类变量统计问题的基本方法；

（2）借助一些综合性较强的典型案例，让学生自主探究；借助分析典型案例的通性通

法，帮助学生归纳总结解决成对数据统计问题的常用规律、方法和技巧，提升学生的数据分

析、直观想象、推理论证、运算求解和数学建模能力.

6.3教学重难点

教学重点：梳理解决成对数据统计问题的基本方法.

教学难点：通过解决综合性较强的典型案例，提升学生的数据分析、直观想象、推理论

证、运算求解和数学建模能力.

6.4教学过程设计

6.4.1回顾知识，构建体系

引导语：同学们，上节课，我们共同梳埋了本章所学的内容，并结合自己的学习体会

4

绘制了本章的知识结构图或思维导图，课后同学们相互进行了交流，对自己的作品进一步

完善.下面，我给大家展示其中的部分优秀作品，通过它们，我们来再一次回顾本章所学内

容.

师生活动：展示部分学生按照自己的学习体会作出的本章的知识结构图或思维导图.教

师展示本章知识结构图.师生共同梳理本章的核心内容.

成

«

匕

«

的

・

计

分

所

设计意图：让学生在课前按照自己的理解设计本章的知识结构图或思维导图，通过课堂

交流，从整体上梳理本章的知识体系，建立知识之间的联系，帮助学生构建知识网络，并依

托知识网络回忆成对数据统计问题的研究路径、研究手段和重要思想方法.

6.4.2应用知识，归纳方法

例1为研究妒鱼体重y与身长x的关系，某鱼类研究所得到如下表所示的样本数据.

x/cm30.031.231.133.534.034.734.535.035.136.2

y/g242290340363430450500390450500

x/cm36.236.236.437.237.238.338.538.638.7——

y/g475500500600600700700610650——

5

(1)请画出散点图，并求解鱼体重y与身长x之间的样本相关系数.

(2)建立一元线性回归模型，求出经验回归方程，并预测当妒鱼身长38cm时体重的平均

值是多少？该模型对预报妒鱼的体重有帮助吗？

师生活动：师生对话，学生分析解决问题的思路，教师点评.此外，教师要注重引导学

生思考如何回答模型对预报妒鱼的体重有无帮助的问题，即通过残差分析对模型刻画数据的

效果进行分析，也可以通过残差分析对模型进行改进，根据改进模型做出更符合实际的预测

与决策.

解：(1)依据表中数据，以妒鱼身长为横坐标、体重为纵坐标可作散点图如下：

y/g

通过散点图可以发现妒鱼体重y与身长x呈现线性:E相关关系，下面求样本相关系数:

亍)

r=版J［引，河教/功x0.9477

由r右0.9477可以判断妒角体重y与身长x呈现极强的线性正相关关系.

(2)根据最小二乘法，利用统计软件计算可得经验回犷方程;=47.97x7209.205,

相应的经验回归直线如卜图所示：

6

y/g

可以预测当妒鱼身长38cn）时体重的平均值是：y。613.7g.

对于模型是否有帮助的问题，我们先计算残差，如下表所示:

x/cm3031.231.133.53434.734.53535.136.2

y/g242290340363430450500390450500

e-12.1-2.5-57.334.8-8.25.4-54.279.724.527.3

x/cm36.236.236.437.237.238.338.538.638.7

y/g475500500600600700700610650

e52.327.336.9-24.7-24.7-72.0-62.432.4-2.8

以鲸鱼身长为横坐标，残差为纵坐标，可做残差图如下：

e

100

80•

60•

40.J•

20•

°••・•

.2028免3234363840

-40

-60•e•

-80

观察残差图，可以发现所有残差均匀地分布在以横轴为对称轴地带状区域内，可见经验

回归方程可以较好地刻画妒鱼体重与身长地关系，模型对于预报妒鱼的体重是有帮助的。

探究1：同学们，你能归纳一下如何利用一元线性向归模型解决线性I口I归分析的问题

吗？

7

师生活动：教师引导学生I可顾解答过程，并依照先直观描述数据后定量刻画的原则形成

解决方案，步骤如下：

（1）画散点图直观判断是否线性相关：

（2）求样本相关系数判断线性相关程度：

（3）用最小二乘法求经验回归方程；

（4）画残差图或计算R2进行残差分析，判断模型刻画效果；

（5）依据求得的经验回归方程进行预测，解决问题.

设计意图：通过解决典型案例，提升学生的数据分析、直观想象、推理论证、运算求解

能力.并通过解决问题的经历，概括总结一类问题的解决方案，提升学生数学建模的能力.

例2混凝土的抗压强度x较容易测定，而抗剪强度y不易测定，工程中希望建立一种

能由x推算y的经验公式，下表列出了现有的9对数据.

X141152168182195204223254277

y23.124.227.227.828.731.432.534.836.2

请根据散点图选择不同形式的回归方程，并根据R?值选出最优模型.

师生活动：本例是一个难度较大的问题，教师要引导学生依照先直观描述数据后定量刻

画的原则，依据数据做出散点图，根据散点图观察相关关系，尤其是观察变量的变化趋势，

不仅要发现x增加时，y也增加，更重要的是y没有显现出增加越来越快的趋势，所以，可

以考虑一次函数，指数小于1的幕函数，底大于I的对数函数等函数模型，这是突破本题难

点的关键，也是培养学生数据分析能力、直观想象能力，尤其是数学建模能力的关键之处.

解：（1）以抗压强度x为横坐标，抗剪强度y为纵坐标做出散点图如下：

根据散点图，我们可以选择三种函数模型:

8

(1)y=bx+a;(2)y=a+bVx;(3)y=a+blnx,

(1)如果认为散点是集中在直线y=bx+a附近，那么根据一元线性【可归模型及最小二

乘法，得到经验回归方程为g=0.0979x+10.0176,R2»0.9693.

(2)如果认为散点是集中在曲线y=a+b4附近，令t=JG,对变量x做变换，将x

的样本数据转换成t的数据，那么根据一元线性回归模型及最小二乘法，得到回归方程为

y=2.80681-9.8806,即9=2.80684-9.8806,R2^0.9796.

(3)如果认为散点是集中在曲线y=a+blnx附近，令l=Inx,对变量x做变换，将x

的样本数据转换成t的数据，那么根据•元线性回归模型及最小二乘法，得到回归方程为

y=19.8789t-75.2844,即夕=19.8789Inx-75.2844,R2«0.9847.

画出上述三个经验回归方程的图像，如卜图所不，并比较R2的大小.川以发现，以上三

探究2：同学们，你能归纳下如何解决非线性回归问题吗？

(1)画散点图，观察散点图并与学习过的函数作比较，选取可能适合的函数模型；

(2)变量代换，将非线性回归问题转化为线性回归问题；

(3)写出非线性经验回归方程，并通过决定系数R2来比较不同模型的拟合效果.

设计意图：通过解决典型案例，提升学生的数据分析、直观想象、推理论证、运算求解

能力.并通过解决问题的经历，概括总结一类问题的解决方案，提升学生数学建模的能力.

例3为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家离试验，调查了10。个样本，统

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计结果为：服用药的共有6（）个样本，服用药物但患病的有20个样本，没有服用药物且未患

病的有20个样本.

（1）根据所给样本数据绘制2X2列联表，并推断药物是否有效.

（2）依据小概率值a=0.1的二独立性检验，能否判断药物对禽流感有预防效果？

师生活动：学生分析解答思路，并合作交流完成，展示解答，教师点评.

解：（1）由样本数据可绘制列联表如下：

不得禽流感得禽流感合计

服药402060

不服药202040

合计6040100

接下来可以依据频率计算推断，也可以依据等高堆积条形图直观展示，分别如下:

21

频率计算：服药不得禽流感的频率和得禽流感的频率分别为：一和一；

33

不服药不得禽流感的频率和得禽流感的频率分别为：，和,.

22

等高堆积条形图：

■服药■不服药

据此可以推断，药物有效.

（2）零假设为

Ho：是否服药与是否得禽流感独立，即药物无效

根据列联表中数据计算得

100x(40x20-20x20)2

X2a2.778>2.706=x,

60x40x60x400

由此可以推断Ho不成立，即认为是否服药与是否得禽流感不独立，即药物有效.

探究3：同学们，你能归纳一下如何解决两个分类变量是否独立的问题吗？

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师生活动：师生对话，教师引导学生I可顾解答过程，并依照先直观描述数据后定量刻画

的原则形成解决方案，步骤如下：

（1）先绘制2义2列我表整理数据，再根据频率计算或等高堆积条形图直观反映数据；

（2）基于独立性检验，对两个分类变量是否独立的推断犯错误的概率予以判断.

设计意图：通过解决典型案例，提升学生的数据分析、直观想象、推理论证、运算求解

能力.并通过解决问题的经历，概括总结一类问题的解决方案，提升学生数学建模的能力.

6.4.3归纳小结，反思提升

问题：同学们，本节课你学到了什么？

师生活动：师生共同总结，本节课从知识体系出发，结合典型案例，探求成对数据的统

计问题地研究方法（包括操作