正弦定理课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3.2正弦定理6.4.3平面向量的应用余弦定理及其推论：利用余弦定理可以解决的问题：1、已知两边和夹角求第三边。2、已知三边求三角。c2=a2+b2-2abcosCa2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosB复习：我们知道:三角形中:大角对大边,大边对大角.那么三角形中,一个角与它的对边长度是否存在更精确的定量关系?课题引入:AcbaCBCBAabc先考察Rt△ABC此结论在斜三角形ABC中也成立吗?ABCabc作AD⊥BC,垂足为D.ABCabcDD法一(利用向量)在任意三角形中BCAcab法二(利用三角形面积)(其中R为△ABC外接圆半径)D作ΔABC的外接圆,得直径BD=2R,连AD,易得∠D=∠C.ABCcba在RtΔBAD中,c=BDsinD=2RsinC.

同理可证法三(利用圆周角相等)证明：过A作单位向量垂直于∴asinC=csinA.

BCA则两边同乘以单位向量

法一(利用单位向量)正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理的变式：R:外接圆的半径

利用正弦定理,可以解决如下有关三角形的问题:①已知三角形的两角和任一边,求三角形的其它边与角;②已知三角形的两边和其中一边的对角,求三角形的其它边与角.

1．(多选)有关正弦定理的叙述正确的是 (

)A．正弦定理只适用于锐角三角形B．正弦定理不适用于钝角三角形C．在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值D．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c解析：正弦定理适用于任意三角形，故A、B均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故C正确；由比例性质和正弦定理可推知D正确．答案：CD题型一已知两角及一边解三角形AAS型题型二已知两边及其中一边的对角解三角形题型二已知两边及其中一边的对角解三角形SSA型1．已知任意两角和一边，解三角形的步骤(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．2．已知两边及其中一边的对角，解三角形的步骤(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角；(2)用三角形内角和定理求出第三个角；(3)根据正弦定理求出第三条边．

题型三求三角形面积关于已知两边(a,b)和其中一边的对角(A),解三角形的讨论(解的个数):Ⅰ.当A为锐角时:aACba>b,B一解.a<bsinA时,sinB>1,B无解;a=bsinA时,sinB=1,B一解;bsinA<a<b,sinB<1,B两解;a≥b时,B一解;BaBaaBBⅡ.当A为直角或钝角时:a≤b时,A≤B，B无解;探究：总结:(1)所求角为小边对角，必为一解(2)所求角为大边对角，已知角必须锐角，解的个数算了再说.SSA型根据下列条件,判断三角形解的个数

(1)b=13，a=26，A=30°.练习:(2)b=26，a=13，A=30°.所求B为锐角,一解所求B为大边对角sinB=1,

(3)b=20，a=13，A=30°.二解(4)b=30，a=13，A=30°.无解(5)b=10，a=13，A=120°.钝角A对边为大边,一解(6)b=20，a=13，A=120°.B>A,钝角A对边为小边,无解一解所求B为大边对角sinB<1,

sinB>1,

总结:(1)所求角为小边对角，必为一解(1)当b≤a时，探究:已知a，b，A，求B时解的个数情况.求B只有一解.(2)当b>

a时，①若A≥90°，求B无解；②若A<

90°，(2)所求角为大边对角，已知角必须锐角，解的个数算了再说.用正弦定理判定(SSA)解的个数:先求另一对角正弦值是否在(0,1)内,再看它是大角还是小角.[典例]

在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，则△ABC的形状是 (

)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形说明:在ΔABC中,(1)若cos2A=cos2B,则ΔABC是等腰三角形;(2)若sin2A=sin2B,则ΔABC是等腰三角形或直角三角形.

通过边角转化判断三角形形状的方法(1)化边为角．利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；(2)化角为边．利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．

利用正、余弦定理解三角形的注意点正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．

正弦定理：利用正弦定理可以解决的问题：1、已知三角形的任意两角与一边，解三角形