2026大学初等数论期末统考押题题库及超详细答案

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一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.若整数a、b、c满足a|b且b|c，则下列结论一定成立的是（）A.c|aB.a|cC.b|aD.c|b2.计算gcd(120,72)的结果是（）A.12B.24C.36D.483.欧拉函数φ(100)的值为（）A.40B.50C.60D.704.对于素数p，若整数a不被p整除，则根据费马小定理，a^(p-1)≡（）modpA.0B.1C.aD.-15.若a≡bmodm，c≡dmodm，则下列结论错误的是（）A.a+c≡b+dmodmB.ac≡bdmodmC.a-d≡b-cmodmD.a/c≡b/dmodm6.不定方程2x+4y=5有整数解的情况是（）A.有唯一解B.有无穷多解C.无解D.不确定7.2是否是模7的平方剩余？（）A.是B.否C.不确定D.仅当2和7互素时是8.下列模中，不存在原根的是（）A.16B.7C.9D.59.Z/5Z（模5剩余类环）中可逆元的个数是（）A.2B.3C.4D.510.有限连分数对应的数一定是（）A.无理数B.有理数C.整数D.素数二、填空题（总共10题，每题2分）1.对于任意正整数a、b，lcm(a,b)与gcd(a,b)的关系是lcm(a,b)=________2.若a与m互素，则欧拉定理给出a^φ(m)≡________modm3.不定方程3x+5y=1的一组特解可以是x=________，y=________4.模6的一个完系可以是________5.欧拉函数φ(12)的值为________6.1是否是任意素数模的平方剩余？答：________7.模7的最小原根是________8.连分数[1;2,3]对应的分数形式是________9.若a≡3mod5，则a³≡________mod2510.约数函数d(18)（18的正约数个数）是________三、判断题（总共10题，每题2分）1.若a|b且a|c，则a|(b-c)（）2.gcd(a,b)和lcm(a,b)的乘积等于a与b的乘积（）3.任意整数a都满足a≡0mod1（）4.费马小定理是欧拉定理当m为素数时的特例（）5.不定方程3x+7y=11有整数解（）6.3是模11的平方剩余（）7.模16存在原根（）8.欧拉函数φ(n)是积性函数（）9.连分数的收敛子分母严格递增（）10.若a与m互素，则a在Z/mZ中有逆元（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述欧几里得算法（辗转相除法）求两个正整数最大公约数的步骤，并计算gcd(198,143)。2.什么是欧拉定理？说明其与费马小定理的关系，并计算5^100mod7。3.不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是什么？判断3x+7y=11是否有解，若有写出一组特解。4.简述平方剩余的定义，并判断5是否是模13的平方剩余。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.证明“若a≡bmodm，c≡dmodm，则ac≡bdmodm”，并举例说明其在模运算中的应用。2.讨论模p（p为奇素数）的简化剩余系中，平方剩余和非平方剩余的个数分布，说明理由。3.讨论不定方程x²+y²=z²的正整数解（勾股数）的通式，举例说明。4.讨论“素数p存在原根”的结论意义，以及原根在模p运算中的应用。答案及解析一、单项选择题答案1.B2.B3.A4.B5.D6.C7.A8.A9.C10.B解析：1.整除传递性：a|b→b=ka，b|c→c=lb，故c=lka→a|c。2.辗转相除法：120÷72=1余48；72÷48=1余24；48÷24=2余0，gcd=24。3.φ(100)=φ(2²×5²)=100×(1-1/2)×(1-1/5)=40。4.费马小定理核心结论。5.同余除法需a、c与m互素，否则不成立。6.gcd(2,4)=2不整除5，无解。7.3²=9≡2mod7，故2是平方剩余。8.16=2^4（k≥3）无原根，7、9、5均有。9.与5互素的剩余类为1、2、3、4，共4个。10.有限连分数对应有理数。二、填空题答案1.(a×b)/gcd(a,b)2.13.2，-1（或x=-3,y=2等）4.0,1,2,3,4,55.46.是7.38.10/79.210.6解析：1.最小公倍数与最大公约数的基本关系。2.欧拉定理核心结论。3.3×2+5×(-1)=1，满足方程。4.模6完系包含0到5每个剩余类一次。5.φ(12)=φ(2²×3)=12×(1-1/2)×(1-1/3)=4。6.1=1²，故是任意素数模的平方剩余。7.3^6≡1mod7，周期为φ(7)=6，是最小原根。8.[1;2,3]=1+1/(2+1/3)=10/7。9.3³=27，27mod25=2。10.18的正约数为1、2、3、6、9、18，共6个。三、判断题答案1.√2.√3.√4.√5.√6.×7.×8.√9.√10.√解析：1.整除线性组合性质：a|b,a|c→a|(b-c)。2.基本公式：gcd(a,b)×lcm(a,b)=a×b。3.任意整数除以1余0。4.欧拉定理m为素数时即费马小定理。5.gcd(3,7)=1整除11，有解。6.勒让德符号(3/11)=-1，故3不是平方剩余。7.16=2^4（k≥3）无原根。8.欧拉函数是积性函数（gcd(m,n)=1时φ(mn)=φ(m)φ(n)）。9.连分数收敛子分母依次递增。10.互素时存在逆元ax≡1modm。四、简答题答案1.步骤：对a>b，a÷b得商q1余r1（0≤r1<b）；若r1=0则gcd=b，否则b÷r1得商q2余r2（0≤r2<r1），重复至余数为0，最后非零余数为gcd。计算gcd(198,143)：198÷143=1余55；143÷55=2余33；55÷33=1余22；33÷22=1余11；22÷11=2余0，故gcd=11。2.欧拉定理：若a与m互素，则a^φ(m)≡1modm。费马小定理是m为素数p时的特例（φ(p)=p-1）。计算5^100mod7：φ(7)=6，100=6×16+4，故5^100=(5^6)^16×5^4≡1×625mod7；625÷7=89×7+2，结果为2。3.充要条件：gcd(a,b)|c。判断3x+7y=11：gcd(3,7)=1整除11，有解。特解：7=3×2+1→1=7-3×2→11=11×7-22×3，故x=-22，y=11。4.平方剩余定义：素数p，a不被p整除，若存在x使x²≡amodp，则a是平方剩余。判断5是否是模13的平方剩余：勒让德符号(5/13)=(-1)^[(5-1)(13-1)/4]×(13/5)=1×(3/5)=1×(-1)^[(3-1)(5-1)/4]×(5/3)=1×1×(2/3)=-1，故5不是平方剩余。五、讨论题答案1.证明：ac-bd=c(a-b)+b(c-d)，因a≡bmodm→a-b=km，c≡dmodm→c-d=lm，故ac-bd=m(ck+bl)，即ac≡bdmodm。应用：计算23×45mod7，23≡2，45≡3，得2×3=6mod7；验证23×45=1035，1035÷7=147×7+6，一致。2.模p（奇素数）简化剩余系有p-1个元素。每个平方剩余对应x和p-x两个解（x≠p-x），故平方剩余个数为(p-1)/2，非平方剩余也为(p-1)/2。举例：p=7，平方剩余为1、2、4，共3个，即(7-1)/2=3。3.本原勾股数通式：x=m²-n²，y=2mn，z=m²+n²（m>n>0，gcd(m,n)=1，m、n一奇一偶）；所有解为k倍本原解（k为正整数）。举