余弦函数的性质和图像课件-高一下学期数学人教B版

7.3.3余弦函数的性质和图像对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦cosx与之对应，所以y=cosx是一个函数，一般称为余弦函数，余弦函数的图像称为余弦曲线.回答下列问题，并根据问题尝试填写余弦函数性质表格.余弦函数的性质和图像1.正弦函数与余弦函数可以利用什么公式建立起来联系？2.观察建立联系的公式具有什么性质，如何推导出余弦函数的性质？3.借助上述公式如何作出余弦函数图像？4.若用五点作图法作出余弦函数图像，应选取哪些点？定义域

值域

周期

奇偶性

单调性

最值5.观察图像，余弦函数的对称轴、对称中心是什么？定义域值域周期奇偶性对称性对称中心单调性最值R[-1，1]最小正周期2π偶函数直线x=kπ，k∈Z对称在[2kπ-π，2kπ]，k∈Z上是增函数在[2kπ，2kπ+π]，k∈Z上是减函数最大值（2kπ，1），k∈Z最小值（2kπ+π，-1），k∈Z余弦函数的图像性质例1.求函数

的最值.解：因为

，所以

，令

，由余弦函数的性质可知，

在

递增，在

递减，所以

的最大值为1,因为

,所以最小值为.处理余弦函数有关的最值问题的一般方法：(1)求在R上的值域：当余弦在1或-1处取得最值，可直接代入验证，或分情况代入；(2)求定区间上的最值：可先计算

的范围，根据

在所求出的范围内的单调性求最值.(3)若关于余弦的二次式求最值：可用换元法，配方法求最值.求函数

的最大值和最小值.解：方法一：由余弦函数的性质可知

在递增，在

递减，

又因为所以函数的最大值为1，最小值为.

思考：如何利用余弦线计算出该函数的最值？求函数

的最大值和最小值.方法二：作出示意图，其中OP为角

的终边，OP'为角

的终边.区间

内的角的终边只能在直线PP'的右上方，因此当角的余弦线为

时，f(x)取得最大值f(0)=cos0=1;当角的余弦线为

时，f(x)取得最小值例2.判断下列函数的奇偶性.解：（1）把函数y=cosx+2记作f（x）=cosx+2，因为定义域为R，且，所以是偶函数.（2）把函数记作，因为定义域为R，且，所以是奇函数.例3.求函数的周期和其图像的对称轴方程.解：因为所以.令，解得.所以函数的周期为6π，其图像的对称轴方程为.思考：1.如何求形如的对称中心及对称轴方程？2.如何求形如的单调区间？3.类比余弦函数的性质和图像的变换，可以得出余弦型函数具有哪些性质？余弦型函数（其中为常数，且）的性质：（1）定义域为R

（2）值域为[-|A|,|A|]（3）周期为（4）奇偶性：为偶函数，为奇函数.（5）对称轴方程为；对称中心（6）单调区间：单调递增区间；单调递减区间.（7）最值：最大值，最小值.余弦型函数（其中为常数，且）的性质：函数的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是（）A.10B.11

C.12

D.13D解：（1）令，解得，例4.已知函数（1）在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；（2）把该函数的图像向右平移个单位后，图像关于原点对称，求的最小正值.令,由所以该函数的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程为.例4.已知函数（2）把该函数的图像向右平移个单位后，图像关于原点对称，求的最小正值.（2）设该函数向右平移个单位后解析式为y=f(x)，则，因为y=f(x)的图像关于原点(0,0)对称，所以所以，解得.令k=0，得，所以的最小正值是.关于余弦函数的对称性结论：(1)的图像关于x=x0对称或-A.(2)

的图像关于点（x0，0）中心对称

.任务：回答下列问题，回顾本课所学知识.1.余弦函数的性质与图像是什么？2.本节课运用了哪些思想方法探究余弦函数？1