公式法第1课时课件北师大版数学八年级下册

第1课时

用平方差公式因式分解

第四章

因式分解3.公式法情境导入壹目录课堂小结肆当堂达标叁新知初探贰情境导入壹如图，在边长为

x

(x＞5)

米的正方形上剪掉一个边长为

5

米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？x

米5

米5米x米(x-

5)米x2

-

52

=(x+

5)(x-

5)情境导入壹3xyy3x(3x

-

y)同理，根据此图形变换，你能得到什么公式？9x2

-

y2

=(3x+

5)(3x-y)新知初探贰新知初探探究一：用平方差公式进行因式分解贰观察下面两个等式，它们有什么共同特征?x2

-

25

=(x+

5)(x-

5)9x2

-

y2

=(3x+

5)(3x-y)(3x)2是两数的平方差的形式想一想：多项式

a2-

b2有什么特点？你能将它分解因式吗？乘法公式因式分解52新知初探贰运算法则：文字说明：

两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的_____的乘积.a2-

b2=(a

+b)(a−

b)和差运用平方差公式因式分解定义总结乘法公式

(a

+b)(a−

b)=a2-

b2

反过来，就得到

新知初探贰√√××下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？√√思考交流(1)x2+y2(2)x2-

y2(3)-x2

-

y2(4)-x2

+

y2(5)x2

-

25y2(6)9m2

-

1

符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成

()2

-

()2

的形式.总结-(x2

+

y2)y2

-

x2x2

-(5y)2(3m)2

-

12新知初探贰典例精析例1

把下列各式因式分解：(1)25－16x2；

(2)9a2－

b2.

解：(1)原式＝52－(4x)2a2

－

b2＝(a

＋

b)(a－

b)＝(5＋4x)(5－4x)解：(2)原式＝(3a)2－(b)2＝(3a＋

b)2(3a－

b)2新知初探贰例2

分解因式：

(1)2x3-8x

(2)9(m＋n)2－(m－n)2；＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝2x(x2－22)(2)原式＝(3m＋3n)2－(m－n)2＝4(m＋2n)(2m＋n)．当多项式的各项含公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解

＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)解：(1)原式＝2x(x2-4)＝2x(x+2)(x-2)新知初探贰公式中的

a，b无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.方法总结新知初探贰1.把下列各式分解因式：(1)5m2a4

－5m2b4；(2)a2－4b2－a－2b.＝(a＋2b)(a－2b－1).＝

5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).解：(1)原式

＝

5m2(a4－b4)＝

5m2(a2＋b2)(a2－b2)

(2)原式

＝

(a2－4b2)－(a＋2b)＝

(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)随堂练习新知初探贰2.已知

x2

-

y2＝－2，x＋y＝1，求

x-

y，x，y的值.∴x-

y＝

-2②.解：∵x2-

y2

＝(x＋y)(x-

y)＝

-2，x＋y＝1①，联立①②组成二元一次方程组，解得新知初探探究二：用平方差公式因式分解的应用贰

如图，在一块边长为acm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长bcm的正方形，求剩余部分的面积。当a=3.6，b=0.8时，剩余部分的面积是多少？新知初探贰解：由题意可得，剩余部分的面积为：a2﹣4×b2＝a2﹣4b2当a＝3.6，b＝0.8时，a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（3.6+2×0.8）（3.6﹣2×0.8）＝10.4，即剩余部分的面积是10.4cm2．新知初探贰随堂练习已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米．求两个正方形的边长．解：设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为(a－24)．

依题可列a2-(a-24)2=960．

运用平方差公式：[a＋(a－24)][a－(a－24)]＝960．24(2a－24)＝960．

解得a＝32．a－24＝32－24＝8．答：它们的边长分别为32厘米，8厘米当堂达标叁当堂达标叁1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(

)A．a2＋(－b)2B．5m2－20mnC．－x2－y2D．－x2＋9D2.把下列各式分解因式：(1)16a2-

9b2

=_________________；(2)

(a+b)2-

(a-

b)2=_____；

(3)9xy3-

36x3y

=_________________；(4)

-a4+16

=_________________

.(4a+3b)(4a-

3b)4ab9xy(y+2x)(y-

2x)(4+a2)(2+a)(2-

a)当堂达标叁3.已知

4m

+

n

=

40，2m

-

3n

=

5，求(m

+

2n)2

-

(3m

-

n)2

的值．原式

=

-40×5

=

-200.解：原式

=

(m

+

2n

+

3m

-

n)(m

+

2n

-

3m

+

n)=

(4m

+

n)(3n

-

2m)=

-(4m

+

n)(2m

-

3n)，当

4m

+

n

=

40，2m

-

3n

=

5

时，当堂达标叁4.如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积．解：根据题意，得6.82－4×1.62＝6.82－(2×1.6)2＝6.82－3.22＝(6.8＋3.2)(6.8－3.2)＝10×3.6＝36(cm2).答：剩余部分的面积为36cm2.当堂达标叁5.(1)992-

1能被100整除吗？解：(1)

∵992

-

1=(99+1)(99-

1)=100×98，∵n为整数，∴(2n+1)2-

25能被

4整除.(2)n为整数，(2n+1)2

-

25能否被4整除？∴992-

1能被100整除.(2)原式

=(2n+1+5)(2n+1-

5)=(2n+6)(2n-

4)=2(n+3)×2(n-

2)=4(n+3)(n-

2).课堂小结肆课堂小结肆平方差公式分解因式公式a2-

b2=(a+b)(a-

b)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.课后作业基础题：1.课后习题

第1,4,5题。提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第6题第2课时

用完全平方公式因式分解

第四章

因式分解3.公式法情境导入壹目录课堂小结肆当堂达标叁新知初探贰情境导入壹1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？(1)提公因式法(2)平方差公式a2-

b2=(a+b)(a-

b)新知初探贰新知初探探究一：用完全平方公式分解因式贰

你能把下面

4个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？拼出图形为：aabbabababa²b²ab新知初探贰这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2=ababa²ababb²(a+b)2a2+2ab+b2=将上面的等式逆过来写，能得到：新知初探贰

我们把

a²+2ab+b²和

a²-

2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.a2+2ab+b2a2-

2ab+b2观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且符号相同是第一项和第三项底数的积的

±2倍新知初探贰完全平方式：定义总结运算法则：运用完全平方公式因式分解文字说明：

两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的___（或___）的平方.a2±2ab+b2=(a±b)2和差a2+2ab+b2a2-

2ab+b2新知初探贰方法总结完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个数或式的平方和；3.有这两数或式之积的

±2倍.

根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种分解因式的方法叫作公式法.新知初探贰1.下列各式是不是完全平方式？（1）a2-

4a+4；

（2）1+4a²；（3）4b2+4b-

1；

（4）a2+ab+b2；

（5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项；不是（3）4b²与

-1的符号不统一；不是分析：不是是（4）因为

ab不是

a与

b的积的

2倍.随堂练习新知初探典例精析贰()2+2×()×()

+()2分析：例3

把下列完全平方式因式分解：

解：(1)

原式＝(x+7)2.(2)原式＝[(

m+n)－3]2＝(m+n－3)2xx7

(2)(m+n)2-

6(m+n)+9.7分析：()2+2×()×()+()2(1)

x2+14x+492；

m+nm+n33新知初探贰例4

把下列各式因式分解：

(1)3ax2+6axy+3ay2；

(2)－x2－4y2

+4xy.解：(1)原式＝3a(x2

+2xy+y2)＝3a(x+y)2.解析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形，然后再利用公式分解因式.(2)原式＝－(x2

+4y2－4xy)＝－(x2－4xy+4y2)＝－[x2－2·x·2y+(2y)2]＝－(x－2y)2新知初探贰1.因式分解：(1)-3a2x2＋24a2x-

48a2；(2)(a2＋4)2-

16a2.＝(a2＋4＋4a)(a2＋4-

4a)解：(1)原式＝-3a2(x2-

8x＋16)＝-3a2(x-

4)2.(2)原式＝(a2＋4)2-

(4a)2＝(a＋2)2(a-

2)2.有公因式要先提公因式要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解巩固练习新知初探贰2.用简便方法计算：(1)1252

-

50×125

+25²；(2)652×11

-352×11.解：(1)原式

=(125

-

25)²

(2)原式

=(65

+35)(65

-35)×11=10000.=33000.本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算当堂达标叁当堂达标叁1.

下列四个多项式中，能因式分解的是

()A．a2＋1B．a2－6a＋9C．x2＋5yD．x2－5yB2.若关于

x的多项式

x2－8x＋m2是完全平方式，则

m的值为______．±4当堂达标叁3.把下列多项式因式分解.

(1)

x2-

12x+36；

(2)

4(2a+b)2-

4(2a+b)+1；(3)y2+2y+1-

x2.

解：(1)原式=x2-

2·x·6+(6)2=(x-

6)2.(3)原式=

(y+1)²-

x²=(y+1+x)(y+1-

x).(2)原式=[2(2a+b)]²-

2·2(2a+b)·1+(1)²=

(4a+2b-

1)2.当堂达标叁(