微专题六等腰三角形问题中的分类讨论思想

第五章图形的轴对称微专题六等腰三角形问题中的分类讨论思想类型1

当顶角或底角不确定时，分类讨论1.

等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是

⁠.2.

如果等腰三角形的两个内角的度数之比为1∶4，那么这个三角形三个内角

各是多少度？解：分两种情况讨论：①当底角和顶角的度数之比为1∶4时，设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，根据题意，得x＋x＋4x＝180°，解得x＝30°，则4x＝4×30°＝120°.所以三角形三个内角分别为120°，30°，30°.20°或80°②当顶角和底角的度数之比为1∶4时，设顶角的度数为y，则底角的度数为4y.根据题意，得y＋4y＋4y＝180°，解得y＝20°，则4y＝4×20°＝80°.所以三角形三个内角分别为20°，80°，80°.综上所述，三角形三个内角的度数分别为120°，30°，30°或20°，80°，

80°.类型2

当底和腰不确定时，分类讨论3.

如果等腰三角形的两边长分别是5

cm和9

cm，那么它的周长是

⁠

⁠.4.

（2025·光明区期中）如果等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么该三

角形的周长是

⁠.5.

若x，y满足｜x－4｜＋（y－8）2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三

角形的周长为

⁠.19cm或23cm1720类型3

当等腰三角形没有明确是锐角等腰三角形还是钝角等腰三角形时，

分类讨论6.

等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为40°，则该等腰三角形的

顶角的度数为

⁠.解析：①如图1，当∠BAC是钝角时，由题意知AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝40°，所以∠BAC＝∠EAD＝360°－90°－90°－40°＝140°.140°或40°②如图2，当∠A是锐角时，由题意知AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝40°，所以∠DHE＝140°，所以∠A＝360°－90°－90°－140°＝40°.综上，该等腰三角形顶角的度数为140°或40°.7.

在△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线与AC所在的直线相交所得

的锐角为40°，求底角∠B的度数.解：此题分两种情况讨论：①如图1，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝

50°.因为AB＝AC，所以∠B＝（180°－50°）÷2＝65°.②如图2，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则

∠DAE＝50°，所以∠BAC＝130°.因为AB＝AC，所以∠B＝（180°－130°）÷2＝25°.故∠B的度数为65°或25°.8.

等腰三角形ABC的底边BC长为5

cm，一腰上的中线BD把其分为周长差

为3

cm的两部分，求腰长.解：因为BD为AC边上的中线，所以AD＝CD.

分两种情况讨论：①当（AB＋AD）－（BC＋CD）＝3

cm时，AB－BC＝3

cm.因为BC＝5

cm，所以AB＝5＋3＝8（cm）.②当（BC＋CD）－（AB＋AD）＝3

cm时，BC－AB＝3

cm.因为BC＝5

cm，所以AB＝5－3＝2（cm）.但是当AB＝2

cm时，三边长为2

cm，2

cm，5

cm，而2＋2＜5，不合题意，舍去.故腰长为8

cm.类型4

点的位置不确定引起的分类讨论9.

如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中

点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线

段CA上由C点向A点运动.当点Q的运动速度为

厘米/秒时，能够在

某一时刻使△BPD与△CQP全等.4或610.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC

上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，符合条件的点P共有几个？请画

出图形.解：如图，符合条件的点P共有6个.参考答案1.20°或80°2.

解：分两种情况讨论：①当底角和顶角的度数之比为1∶4时，设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，根据题意，得x＋x＋4x＝180°，解得x＝30°，则4x＝4×30°＝120°.所以三角形三个内角分别为120°，30°，30°.②当顶角和底角的度数之比为1∶4时，设顶角的度数为y，则底角的度数为4y.根据题意，得y＋4y＋4y＝180°，解得y＝20°，则4y＝4×20°＝80°.所以三角形三个内角分别为20°，80°，80°.综上所述，三角形三个内角的度数分别为120°，30°，30°或20°，80°，

80°.3.19

cm或23

cm

4.17

5.20②如图2，当∠A是锐角时，由题意知AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝40°，所以∠DHE＝140°，所以∠A＝360°－90°－90°－140°＝40°.综上，该等腰三角形顶角的度数为140°或40°.6.140°或40°

解析：①如图1，当∠BAC是钝角时，由题意知AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝40°，所以∠BAC＝∠EAD＝360°－90°－90°－40°＝140°.

7.

解：此题分两种情况讨论：①如图1，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝

50°.因为AB＝AC，所以∠B＝（180°－50°）÷2＝65°.②如图2，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则

∠DAE＝50°，所以∠BAC＝130°.因为AB＝AC，所以∠B＝（180°－130°）÷2＝25°.故∠B的度数为65°或25°.8.

解：因为BD为AC边上的中线，所以AD＝CD.

分两种情况讨论：①当（AB＋AD）－（BC＋CD）＝3

cm时，AB－BC＝3

cm.因为BC＝5

cm，所以AB＝5＋3＝8（cm）.②当（BC＋CD）－（AB＋AD）＝3

cm