第42讲实验与动态型问题

第四篇综合与实践第十章数学问题探究第42讲实验与动态型问题实验操作型问题是指通过实验操作如测量、作图、剪拼，需要动手操作、实验观察、猜想和验证类问题.动态型问题是指以三角形、四边形、圆等几何图形或函数图象为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行猜想、归纳、推理的一类问题.

类型一

剪拼操作类问题例1

如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为（

B

）BA.

B.

C.

D.

【解后感悟】剪拼类题可根据面积不变解题，也可在等腰三角形中用A字形相似列出方程.把数据标到图上也是解题的重要一环.

1.

在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC（∠A＝90°）硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为

8

，最大值为

8＋2

.8

类型二

由点运动产生的问题例2

如图1所示，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点.动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（

C

）A.

（4，2

）B.

（4，4）C.

（4，2

）D.

（4，5）C【解后感悟】解题关键是根据图2确定M点的坐标与正方形的边之间的关系.

2.

如图1所示，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从点D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q.

设点P的运动路程为x，PQ－DQ为y，y与x的函数图象如图2所示，则AD的长为（

B

）A.

B.

C.

D.

B类型三

由线运动产生的问题例3

如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从点O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t

s（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N.

（2）当t＝1时，求点N的坐标.

（3）请直接写出MN的长.（用含t的代数式表示）

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【解后感悟】1.

直接利用勾股定理求解即可.2.

利用待定系数法求得直线AB的表达式，令y＝1求解即可得到点N的坐标.3.

根据题意可得△AMN∽△AOB，利用相似三角形的性质即可求解.4.

根据二次函数最值求解即可.

3.

在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（2，－1），B（1，0），将线段AB平移后，点A的对应点A'的坐标为（2，1），则点B的对应点B'的坐标为

（1，2）

.（1，2）

类型四

由图形运动产生的问题例4

一副三角尺分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE.

作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1所示.（1）求证：BM＝EN.

（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P.

①当α＝30°时，如图3所示，求证：四边形CNPM为正方形.【答案】（2）证明：①∵∠D＝30°，CN⊥DF，∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°－30°＝60°，∵α＝∠ACD＝30°，∴∠ACN＝90°，∵BM⊥AC，∴∠PMC＝∠BMC＝90°，∴四边形PMCN为矩形，∵BM＝EN，即BM＝CN，而BM＝CM，∴CM＝CN，∴四边形PMCN是正方形；②

当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系.

【解后感悟】α取值不同，考查的问题也有所不同，在第（2）①小题中主要运用30°的条件证明正方形，是特殊值的计算证明问题；第②小题中则要证明α在取值范围内一般性问题.线段的数量关系，要自行构图，同时结合猜想和做题经验进行解题.

【实验操作题】

图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个