第3课时平行四边形的判定课件沪科版八年级数学下册

19.2

平行四边形第3课时

平行四边形的判定第19章四边形学习目标1.平行四边形判定方法的探究.

(重点)2.平行四边形判定方法的理解和灵活应用.(难点)平行四边形的性质边平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等角平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补平行四边形的对角线互相平分对角线学习了平行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形.第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示.

小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢?活动1：将线段

AB

按下图中所给的方向和距离平移成线段

A'B'，连接

AA'，BB'.得到四边形

ABB'A'，它一定是平行四边形吗?为什么?平行四边形的判定定理1ABA'B'1如图，在四边形ABCD

中，AB∥DC，且

AB=DC。求证：四边形

ABCD

为平行四边形。证明：连接

AC.∵AB//DC，∴∠BAC=∠DCA.在

△ABC

和

△CDA中，∴△ABC≌△CDA.∴∠ACB=∠CAD.∴AD//BC.因此，四边形

ABCD

是平行四边形.AB=CD，∠BAC=∠DCA，CA=AC，ABDC一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.∵

AB

=

CD，AB∥CD，∴

四边形

ABCD

是平行四边形.几何语言：平行四边形判定定理1BDCA常用符号“”表示“平行且相等”，“AB

CD”读作“AB

平行且等于CD”.∥∥归纳总结例1如图，在平行四边形

ABCD中，已知

AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，求证：四边形

AFCE是平行四边形．

证明：在

□ABCD中，∠B=∠D，AB=CD，∠DAB=∠BCD.∵

AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，∴∠BAE=∠DCF

=∠DAB=∠BCD.

∴△ABE≌△CDF(ASA).典例精析例1如图，在平行四边形

ABCD中，已知

AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，求证：四边形

AFCE是平行四边形．

∴BE=DF.则由

BC=DA可得

CE

=AF.

又∵CE∥AF，∴四边形

AFCE是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)活动2：用两根长

30

cm

的木条和两根长

20

cm

的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流.20cm30cm

猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.活动2如图，过点

A

画两条线段

AB，

AD，以点

B

为圆心、

AD

长为半径画弧，再以点

D

为圆心、

AB

长为半径画弧，两弧相交于点

C，连接

BC，DC.这样画出的四边形

ABCD

的两组对边分别相等，它是平行四边形吗?为什么?BDCA平行四边形的判定定理22已知：四边形

ABCD中，AB=CD，AD=CB.求证：四边形ABCD是平行四边形.ABCD连接

BD．在

△ABD和

△CDB中，AB=CD，

BD=DB，AD=CB，∴△ABD≌△CDB(SSS).∴∠1=∠3，∠2=∠4.∴

AB∥CD，AD∥CB.∴

四边形

ABCD是平行四边形.证明：1423两组对边分别相等的四边形是平行四边形.∵

AB

=

CD，AD

=

BC，∴

四边形

ABCD

是平行四边形.几何语言：平行四边形判定定理2BDCA归纳总结例2如图，在平行四边形

ABCD中，E，F分别是边

BC和

AD上的两点，且

AF=CE.求证：四边形

AECF为平行四边形.BACDFE证明：易得

△ABE≌△CDF(SAS).∴AE=CF.

又∵

AF=CE，∴四边形

ABCD是平行四边形.（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）平行四边形的判定定理3活动3

如图，作两条直线

l1，l2交于点

O，在直线

l1上截取OA=OC，在直线

l2上截取

OB=OD，连接AB，BC，CD，DA.这样画出的四边形

ABCD

的对角线互相平分，它是平行四边形吗?为什么?BDCAO

l1l22已知：四边形

ABCD中，OA=OC，OB=OD.求证：四边形

ABCD是平行四边形.证明：在△AOB和

△COD中，OA=OC，(已知)OB=OD，(已知)∠AOB=∠COD，(对顶角相等)∴

△AOB≌△COD(SAS).∴AB=CD，∠ABO

=∠CDO.∴

AB∥CD.∴

四边形

ABCD是平行四边形.ACBOD对角线互相平分的四边形是平行四边形.∵

OA

=

OC，OB=

OD，∴

四边形

ABCD

是平行四边形.几何语言：平行四边形判定定理3ACBOD归纳总结1.请你判断下列四边形中哪些是平行四边形：⑷ADCB110°70°110°⑶⑴ABCDO5㎝5㎝4㎝4㎝4.8㎝BADC4.8㎝7.6㎝7.6㎝ABCD120°60°⑵5cm5cm(((((√√√√练一练例3

如图，点

E，F

是

□

ABCD

的对角线

AC

上两点，且

AE=CF.求证：四边形

BEDF

是平行四边形证明：连接

BD

交

AC

于点

O.∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.∵AE=CF，∴OE=OA-AE=OC-

CF=OF.

∴四边形

BEDF

是平行四边形.思考：还有其他证法吗?例4

已知：如图，直线

l1，l2，l3互相平行，直线

l4和

l5分别交直线

l1，l2，l3于点

A，B，C

和点

A1，B1，C1，且

AB=BC.求证：A1B1=B1C1

.证明：过点

B1

作

l6∥l4，分别交直线

l1，l3于点

E，F.

∴四边形

ABB1E和四边形

BCFB1

都是平行四边形.∴EB1=AB，B1F=BC.∵AB=BC，∴EB1=B1F.ABCA1

B1

C1

EFl1

l2

l3

l4

l5

l6

又∵l1∥l3，∴∠A1EB1=∠B1FC1.平行线等分线段定理:

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.ABCA1

B1

C1

EFl1

l2

l3

l4

l5

l6

∴△A1B1E≌△C1B1F.∴A1B1=B1C1.∠A1EB1=∠C1FB1，EB1=FB1，∠A1B1E=∠C1B1F，在△A1B1E和△C1B1F中，延伸

前面的例题中，将直线

l

向左平移，使点

A1，A

重合，你能发现什么规律?推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.ABCA1

B1

C1

EFl1

l2

l3

l4

l5

l6

思考：我们可以从对角的关系出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？ABCD

你能根据平行四边形的定义证明它们吗？已知：四边形

ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形

ABCD是平行四边形.ABCD且∠A=∠C，∠B=∠D，∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，∴2∠A+2∠B=360°，即∠A+∠B=180°.∴

AD∥BC.∴

四边形

ABCD是平行四边形.同理得AB∥CD，证明：判定方法：两组对角分别相等的四边形是平行四边形1.能判定四边形

ABCD是平行四边形的条件：∠A:∠B:∠C:∠D的值为（

）A.1:2:3:4

B.1:4:2:3

C.1:2:2:1

D.3:2:3:2D2.如图所示，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若

△ABC的周长为

24，则

PD+PE+PF=

.

AFBDCEP

83.已知

AD∥BC

，要使这个四边形

ABCD为平行四边形，需要增加条件__________________.

AD=BC或

AB∥CD

4.已知：如图，E，F分别是平行四边形

ABCD

的边

AD，BC的中点.求证：BE=DF.DFECBA证明：∵

四边形

ABCD是平行四边形，∴

AD∥BC，AD=BC.∵

E，F分别是

AD，BC的中点，∴

ED=BF，即

ED

BF.∥=∴

四边形

EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∴

BE=DF（平行四边形的对边分别相等）.5.已知：如图，在四边形

ABCD中，AB∥CD，E是

BC的中点，直线

AE交

DC的延长线于点

F．试判断四边形

ABFC的形状，并证明你的结论．解：四边形

ABFC是平行四边形.证明如下：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CF