平面向量的应用课件-高一下学期数学北师大版

§6平面向量的应用第二章平面向量及其应用人教A版数学必修第二册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析知识测评05高考模拟课标要点01必备知识解读02知识点1

余弦定理及余弦定理的变形1

余弦定理

2

余弦定理的变形

典例详解

3

A

知识点2

正弦定理1

正弦定理

2

正弦定理的推广

3

正弦定理的常见变形

典例详解

A

A

.

.知识点3

用余弦定理、正弦定理解三角形

在三角形的三条边和三个角这6个元素中，如果已知3个（至少含一边长），那么由余弦定理和正弦定理，就可以求得其他3个元素.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程称为解三角形．#1基本情形一般解法情形1已知两个角的大小和一条边的边长，如，，

（1）由

,求

；（2）利用正弦定理求,

.基本情形一般解法情形2已知两条边的边长及其夹角的大小，如，，

（1）利用余弦定理求

；（2）利用余弦定理求角（或），或利用正弦定理求，

中的较小角（因为较小角一定是锐角）；（3）利用三角形内角和定理求第三个角.情形3已知三条边的边长（1）利用余弦定理求任一角;（2）利用余弦定理求第二个角,或利用正弦定理求其余两角中的较小角;（3）利用三角形内角和定理求第三个角.续表基本情形一般解法情形4已知两条边的边长和其中一边对角的大小，如，，

____________________

（1）利用正弦定理，经讨论求

；（2）由

，求

；（3）利用余弦定理或正弦定理求

.____________________根据余弦定理，列出关于

的一元二次方程，解方程求

，然后应用正弦定理或余弦定理及三角形内角和定理求其余两角.续表特别提醒

1.情形1与所学的判定三角形的全等的“角角边”“角边角”相对应，情形2与“边角边”相对应，情形3与“边边边”相对应，因此前三种情形的解三角形问题都是唯一解.情形4的解三角形问题可能有两解、一解或无解三种情况，解题时，应注意判断三角形解的个数.

2.已知三角形三边长的比,利用余弦定理可以唯一确定这个三角形三个内角的大小.

3.若已知的三个元素中没有边长，即只已知三个角的大小，则无法求其边长，所求三角形是不确定的.#1.4典例详解

【想一想丨问题质疑】在解三角形的过程中，求角时，若既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，这两种方法有什么利弊呢？

知识点4

解三角形实际应用问题的常见类型及解法1

测量高度问题

类型图示测量数据解法底部可达,

利用直角三角形的边角关系求解,则

.类型图示测量数据解法底部不可达

,

,

在直角三角形中,

,在直角三角形中,

,由

，得

.续表类型图示测量数据解法底部不可达,

,

,

在中,

,则在

中,

.续表2

测量距离问题

类型图示测量数据解法,

两点间不可通又不可视但都可达,,

在

中，由余弦定理可得

.,

两点间可视但不可达,,

在

中，由正弦定理可得

,则

.类型图示测量数据解法,

两点都不可达,

,

,

,

在

中，由正弦定理可得

，在

中，由正弦定理可得

，在

中，由余弦定理可得

.续表3

测量角度问题

测量角度问题主要有①海上、空中的追及与拦截问题，此类问题涉及方向角等概念;②建筑物、山峰等问题，会涉及俯角、仰角等概念.

解决此类问题，需要根据题意画出图形，构建解三角形模型，利用正、余弦定理求出待求量.典例详解图2-6-2

A

图2-6-3

ABC图2-6-4

重难拓展知识点5

勾股定理与余弦定理的关系

典例详解

CA.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

.

.知识点6

三角形解的个数的确定

1

代数方法

.

.

2

几何方法

为锐角条件

图形解的个数无解一解两解一解

为钝角或直角条件

图形解的个数一解无解续表典例详解

CA.一解

B.两解

C.无解

D.解的个数不确定

D

知识点7

三角形面积公式1

三角形面积公式图2-6-1

2

三角形的其他面积公式

.

..

.典例详解

C

1

B

题型解析03题型1

利用正、余弦定理解三角形1

已知两角及任意一边

B

已知三角形的两角及任意一边解三角形的步骤第一步

先由三角形内角和定理求出第三个角；第二步

由正弦定理求另外两边.【变式题】

C

2

已知两边及其夹角

.

.3

已知三角形的三边（或三边关系）

B

【变式题】

C

4

已知两边和其中一边的对角

例23

［教材改编P120

T2］已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.

.

.已知两边和其中一边的对角解三角形的一般步骤题型2

利用正、余弦定理实现边角互化1

通过边角互化解三角形

A

.

..

.

4

边角互化是利用正、余弦定理解三角形的重要途径.一般地，当条件式含有角的余弦或角的正弦齐次式时，可用余弦定理或正弦定理化角为边；当条件式含有边的二次式或条件式的等号两边为齐次式时，可利用余弦定理或正弦定理化边为角.通过边角互化，可使边角关系具体化.【变式题】

B

2

判断三角形形状

DA.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

【变式题】

ABC

题型3

正、余弦定理在几何图形中的应用

图2-6-5

.

.正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡,即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.题型4

三角形的面积问题

A

【变式题】

A

题型5

正、余弦定理与向量的综合考查

D

图2-6-6

题型6

解三角形在实际生活中的应用1

测量高度问题

图2-6-7

.

..

..

.测量高度问题的解题思路此类问题所涉及的数学模型通常有平面图形与立体图形.视被测量高度为三角形的一边长，利用三角形中的几何关系计算即得，有时还需要构造方程求解.2

测量距离问题图2-6-8

测量距离问题的解题思路测量距离问题是指两点间的距离不可直接测量，需要选择合适的辅助测量点，将问题转化为求某个三角形的边长问题，解题中要恰当地利用正、余弦定理将已知元素逐步转移到包含所求量的三角形中，进而求解.3

测量角度问题

图2-6-9图2-6-10

测量角度问题的解题思路首先应明确题设中各夹角（如方位角、方向角、仰角、俯角、坡角等）的含义，再依据题意画出相应的示意图，构造解三角形模型，将实际问题化归为解三角形问题，利用正、余弦定理依次解三角形求解.解题过程中同样要重视方程思想的运用.题型7

向量在平面几何中的应用1

垂直问题图2-6-11

图2-6-12

2

平行（或共线）问题

图2-6-13

3

线段相等问题

图2-6-14

.

.4

线段长度与夹角问题图2-6-15

利用向量解决平面几何问题的两种方法（1）基底法：选取适当的基（基中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算;（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算.一般地，坐标易表示或易建立平面直角坐标系的题目适合用坐标法.题型8

向量在物理中的应用

图2-6-16

图2-6-17

图2-6-18利用向量解决物理问题的步骤核心素养聚焦考情揭秘正、余弦定理在解三角形中主要突出方程思想，即利用正、余弦定理，三角形内蕴不等式和内角和定理度量三角形的三个边与三个角以及其他伴随要素.在高考中，主要考查正、余弦定理在解三角形中的简单应用或者渗透函数思想考查三角形中的运动与变化，更是新高考结构不良试题的好载体.各种题型都会出现，以中等难度试题为主.核心素养：数学运算（求角、求边长、求面积等），直观想象（画出图形，依据图形构建等式），数学建模（借助正弦定理解实际问题）.考向1

正、余弦定理的简单应用

A

C

C

2

考向2

三角形的面积问题

.

.

考向3

解三角形的实际应用题图2-6-19

BA.346

B.373

C.446

D.473图2-6-20

高考新题型专练

BC

BC图2-6-21

知识测评04建议时间：30分钟

AA.9

B.12

C.15

D.20

B

DA.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

图2-6-1

C

图2-6-25.新考法

学科综合

(2025·广东省广州奥林匹克中学月考)滕王阁，始建于唐朝