福建泉州市剑影实验学校2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学试卷（含答案）

剑影实验学校2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.已知向量OA=2,1,OB=A.1,3B.−1,−2.已知向量a=1,2,b=−2,xA.-1B.1C.4D.-43.向量a,b满足a=2,b=4，向量a与bA.0B.8C.4+44.如图,在四边形ABCD中,DC=2AB,BE=2EC,设A.56a+12b5.在△ABC，已知B=120∘,A.3B.3C.5D.16.记平面向量a=2,3,b=0,1A.713,1413B.147.e1,e2是平面内不共线的两个向量,已知AB=e1−ke2A.3B.-3C.-2D.28.在△ABC中，AB=4,BC2−AC2=16−43ACA.210B.37C.4二、多选题:共3题,每题6分,共18分.(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分.)9.下列命题中正确的有()A.平行向量就是共线向量B.方向相反的向量就是相反向量C.a与b同向，且a>b，则D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件10.下列命题中正确的是()A.若a,b是单位向量,则B.若a//bb≠0,则存在唯一的实数C.若向量a=−1,3,b=3,0D.若向量a和b，满足a=1，b=a11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A.a=3C.△ABC为锐角三角形D.bc的最大值为三、填空题:共3小题，满分15分，每小题5分.12.已知a=1，b=2，a⋅b=−3，则13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c14.在平行四边形ABCD中,∠ABC=2π3,E是AB的中点，F是AD上靠近D的三等分点，BF交CE于点G，若四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明或演算步骤.15.已知平面向量a=(1)若a⊥b，求向量2(2)若a//b，求b(3)若向量c=1,−1，若a+b与b16.在△ABC中，角A,B,C的对应边分别为a(1)求边b的长；(2)求角A大小及△ABC17.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD(1)用a,b表示向量AB(2)若AF⋅EF=2，求18.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b(1)求角A的大小；(2)求b的取值范围；(3)设G是△ABC的重心，求BG19.如图,延长△ABC的边AB至点P，边BC至点Q，边CA至点R，使得线段AP、BQ、CR的长分别为AB、BC、CA的λλ∈N∗,λ≥2倍,我们将(1)当λ=2时,若AB=3,BC(2)若△ABC是边长为2的等边三角形，点M为其“2变换三角形”中线段AP上的动点，求RM−(3)证明:当λ变化时，△ABC的“λ1.A由题意AB=故选:A2.B由a⊥b,可得所以由a⋅b=1×故选:B.3.A因为a=2,b=4,向量a与则a⋅故选:A.4.C因为DC=所以DE=2故选:C.5.A在△ABC中,由余弦定理可得cosB=AB2+BC解得BC=3或故选:A6.C由题意可得a−故向量a−2b在向量a故选:C7.D由已知BD=由A,B,D三点共线,故存在实数λ即e1−ke2=λe1故选:D8.C因为AB=4,BC2则3AB由余弦定理,cosA又A∈0,π则AD+如图,设∠EAC=π6,过D作DE⊥AE,垂足为过B作BF⊥AE,垂足为则AD+故选:C9.AD对于A选项,平行向量就是共线向量,A对;对于B选项,相反向量就是方向相反且长度相等的向量,B错;对于C选项，任何两个向量都不能比较大小，C错；对于D选项，“两个向量平行”推不出“这两个向量相等”，另一方面，“两个向量相等”推的出“这两个向量平行”，所以,两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件,D对.故选:AD.10.BD对于A,单位向量是模长为1的向量,无法确定a,b的方向,故A对于B,由共线定理可知B正确,对于C,a在b方向上投影的数量是acosa,b=由b=a+b=2可得a−b=a11.AB对于A,因为2bcosC2bb2+a2−c22ab+2cc2+a2−b对于B,因为3sin所以3sinA=2sin所以3cosA对于C,∵tanA=2tanA2对于D,∵tanA=−34根据余弦定理可得a2=b2利用基本不等式32当且仅当b=c所以94≥故选:AB.12.5π因a=则cos⟨a又因0≤⟨a,b⟩≤即a与b的夹角为5π613.10由正弦定理asinA=bsin则b2=a2+故答案为:10.14.t=2或如图,设AB=a,AD=∠ABC=2π3F是AD上靠近D的三等分点,则AF=由图知,B,G,F三点共线,故存在λ∈R又E是AB的中点,则BE=由图知,E,G,C三点共线,故存在μ∈R因为BG=AG−AB=−λa+2故AG=58a+由AB⋅AD=49展开得a⋅b=49也即12mn=5m2+4n2,设ABBC=mn=t,则5t2−15.1(2)6(3)18(1)因为a⊥b,所以a⋅b=1×6+3x=0(2)因为a//b，所以x=3×6则b=(3)a+b若a+b与b−c解得x=4,即故a⋅16.1(2)A(1)由正弦定理bsinB=c(2)由余弦定理cosA=b217.(1)AB=(2)2.(1)依题意，AE=AB+BE=ABEF=EC+CF=所以AB=(2)由(1)知，AF=AE由AF⋅EF=2,得a+由菱形ABCD,得AB=AD,则23a−整理得2a⋅b+b2=018.1(2)b(3)23(1)由b−csinA+sinB=b−asinC和正弦定理,可得b−ca+b=b−a(2)由正弦定理，可得b=2因为三角形为锐角三角形,所以0<C<π20<2π3−C<π2,解得(3)设AC的中点为D，因G是△ABC的重心，则BG=由余弦定理，BD故当b=2时，BD取得最小值3，此时BG的最小值为19.(1)因为AB=3,BC=