甘肃兰州第一中学2025-2026学年第二学期高一3月月考数学试题(含解析)

兰州一中2025-2026-2学期3月月考试题高一数学说明:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第I卷(选择题)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.)1.下列调查中最适合采用全面调查(普查)的是()A.了解兰州白兰瓜的甜度情况B.了解某品牌新能源汽车电池的续航能力C.了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况D.对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查2.已知A−1,−1,A.1B.3C.-1D.-23.已知向量a=1,0,b=1,A.2B.1C.-2D.-14.某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位:​∘C)的数据,绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则根据该折线图,A.最高气温的极差范围25B.10月的最高气温不低于5月的最高气温C.最低气温低于0∘C的月份有D.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月5.已知x1,x2,⋯,xn的平均数为3,标准差为A.平均数为15,标准差为10B.平均数为15,标准差为50C.平均数为17,标准差为10D.平均数为17,标准差为506.如图,已知在△ABC中,P为AC的中点,AB=4AF,CB=4CQ,PQ与CF相交于点A.12B.23C.37.帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小，单位:m/s)，则该时刻的真风为()级数名称风速大小(单位:m/s)2轻风1.6~3.33微风3.4~5.44和风5.5~7.95劲风8.0~10.7A.轻风B.微风C.和风D.劲风8.已知A3,0,B0,1,C−1,2A.4B.10+4C.3二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.)9.对于平面向量a,b,A.若向量a与b不相等，则aB.若a>b,则向量C.若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.若向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c也共线10.为了了解苗圃中树苗的生长情况,林业部门从一个苗圃中的10000棵树苗中随机抽取了y棵,按照树苗的高度X cm进行了分组,并绘制了如图所示的频率分布直方图,已知高度在[80,90)A.aB.这y棵树苗高度的中位数的估计值为114C.在这10000棵树苗中,高度在100 cm以下的约有2000D.若采用按比例分层抽样的方法从这y棵树苗中抽取40棵,则高度在[110,120)11.定义平面向量的“Rickie变换”,记作“ℜ”.对任意平面向量v=x,y,规定变换后的向量ℜv=−2y,2x,对向量v连续进行n次变换所得的向量记作ℜnA.若a//b,则一定存在λ,使得B.若λ,μ>0C.若a=b=1,则D.若存在两素数p,qp>q>0第II卷(非选择题)三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)12.样本数据1,3,7,10,14,19,21,25,35,67的第70百分位数为_____.13.已知O为正六边形ABCDEF的中心，且AB=8，则14.若向量a=k,3,b=1,4,c=2四、解答题(本大题共5小题,共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.已知A−2,4,(1)求c；(2)若c=ma+nb，求实数m(3)若M为线段BC靠近点B的三等分点，求点M的坐标.16.某校有3名百米短跑运动员甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的时间(单位:s)的数据如下表:第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次时间/s1212.41212.51211.812.211.511.612(1)计算甲这10次百米短跑的时间的平均数与方差;(2)经过计算，乙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12,0.08，丙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12.4,0.08,若要从甲、乙、丙三人中选一人代表学校参加市区的百米短跑比赛，请判断该选择谁，说明你的理由.17.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,(1)求频率分布直方图中a的值；(2)求样本成绩的第75百分位数和平均数(3)已知落在[50,60)的平均成绩是56，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为65，方差是4，18.如图,在梯形ABCD中,AB//CD,且AB=2CD(1)试用a和b表示AC；(2)若点P满足AP=34a+λb，且B，D，(3)若AD=2，AB=4，∠DAB=60∘，且点E是线段19.如图,设Ox,Oy是平面内相交成θ角的两条数轴,θ∈0∘,180∘,e1,e2分别是与x轴、y轴同方向的单位向量.系Oxy中的斜坐标.(1)若a=1,2,(2)若θ=60∘，a=1,2，b=−1(3)若a=1,1,b1.D切开白兰瓜具有破坏性,故A不符合题意;测试续航能力通常需要将电池完全放电,具有破坏性,故B不符合题意;兰州市中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故C不符合题意；航空母舰中的每个零件的质量都至关重要,因此需要对其进行全面检查,故D符合题意.2.A依题意,AB=x+1,4,AC=所以x=故选:A3.D因为向量a=1,0,因为a⊥a+λb,所以a⋅a+λ所以λ=−4.CA选项,最高气温最低的月为1月,最高气温最高的月为9月,观察图象可知,最高气温的极差范围25,30B选项,通过观察折线图可知,10月的最高气温不低于5月的最高气温,B选项正确.C选项,最低气温低于0∘C的月份有3个,D选项,通过观察折线图可知,月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月,D选项正确.故选:C5.C设x1,x2,x3,⋯,xn的平均数为即x=所以5x15==55x15==25s2故选:C.6.D∵AB则CF=又C,E,F又P为AC的中点,∴CP=12CA,又CB又P,E,Q由平面向量基本定理知,3m4=n2m4=1−即λ=310,μ故选:D.7.A由题意及图得,视风风速对应的向量为:n=视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,船速方向和船行风速的向量方向相反,设真风风速对应的向量为n1，船行风速对应的向量为n2∴n=n1+∴nn1∴由表得,真风风速为轻风,故选:A.8.D设Px,y,则AP=x可得x−32+y则OB+OC+OP=即OB+OC+OP表示Px,而由两点间距离公式得点1,−3到圆心3,0得到OB+OC+OP的最大值为13+19.ABD对于A,当向量a与b互为相反向量时,两向量的模长相等,故该命题不正确;对于B,向量的模长有大小关系,但向量之间无大小关系,该命题不正确;对于C,由于零向量与任意向量共线,向量a与b不共线,则a与b都是非零向量,该命题正确;对于D,a与b共线,b与c共线时,a与c也共线,当b=故选:ABD.10.BC对于A,0.005+0.015+a+0.025+a+0.01+0.005×10=1,解得a=0.020,高度在[80,90)内树苗的频率为0.005×[110,120)因为0.4<0.5<0.4+0.25则0.4+x−110×所以这y棵树苗高度的中位数的估计值为114，故B正确；对于C,高度在100 cm以下的树苗的频率为0.005在这10000棵树苗中,高度在100 cm以下的约有0.2×10000=2000对于D,高度在[110,120)故若采用按比例分层抽样的方法从这y棵树苗中抽取40棵,则高度在[110,120)内的有40×0.25故选:BC.11.ACD对A:设a=由a//b,则存在λ∈R则ℛb=−2λy,故ℛb=λℛa对B:取a=则λa故ℜλ此时ℜλa+μ对C:设a=则ℛa故a+b则a+=cos+sin=5当且仅当α−β故a+ℛa⋅b+ℛb对D:设a=x,y,当n=当n=4k+2k当n=4k+3k当n=4k+4k若q≠21.p=4k1+则ℛp2.p=4k1+则ℛp3.p=4k1+则ℛp4.p=4k1+则ℛp故q≠2若q=2,则ℛ1.p=4k+1k2.p=4k+3k即q=2综上:若存在两素数p,qp>q>0,使得ℜpa⋅12.23因为10×所以10个数的第70百分位数为21+故答案为:2313.-32由正六边形性质可知,△ABO为正三角形,且DE所以AO,所以AO⋅故答案为:-3214.−∞,−由a=k,3,又2a−3b与则2a−3b⋅c<0当2a−3b与c反向共线时,2k−3综上所述，k的取值范围是−∞,−9故答案为:−∞,−915.1(2)m(3)(1,-2)(1)因为C−3,−4，A−2,4，所以(2)因为A−2,4,B所以a=5,−5,因为c=ma+nb,所以可得(3)因为线段BC的三等分点为M(点M靠近点B)，所以BM=13BC=−2,−1得到x−3=−2y+1=−1,解得x16.(1)甲这10次百米短跑的时间的平均数为12方差为12=(2)因为百米短跑的时间越短，成绩越好，所以从数据的平均水平看,甲与乙的成绩更好.因为方差越大,数据的波动越大,方差越小,数据的波动越小,所以从数据的波动情况看,甲的成绩波动最大,乙和丙的波动水平相当,所以应该选乙参加市区的百米短跑比赛.17.1(2)第75百分位数为84,平均数为74(3)z(1)由每组小矩形的面积之和为1得,0.05+0.1+0.2+(2)成绩落在[40,80)落在[40,90)显然第75百分位数m∈80,90解得m=84，所以第75平均数约为0.005×(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为成绩在[60,70)故z=s所以两组市民成绩的总平均数是62,总方差是23.18.(1)AC(2)λ(3)−(1)因为DC=AC−AD，AB=CB所以CB−CA=2AC(2)因为B,D,P三点共线，所以因为DC=AC−AD,又AP=所以AP=所以−λ2=k3(3)因为点E