人教高二数学变化率问题(1)-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA065学科数学年级高二学期下课题变化率问题（1）教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册(A版)出版社：人民教育出版社出版日期：2019年4月教学人员姓名单位授课教师李翥北京市第五中学指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心教学目标教学目标：（1）经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，认识瞬时速度的本质是平均速度的极限，体会极限思想；（2）通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.教学重点：瞬时速度和极限思想.教学难点：在瞬时速度的计算过程中体会极限思想.教学过程时间教学环节主要师生活动师生问答、共同探究我们之前学习过函数的单调性，知道不同类型函数的增或减的快慢也不同.能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？我们以高台跳水运动员的速度为例来研究.问题1在高台跳水运动中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11．如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间的平均速度近似地描述他的运动状态．追问1：如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？两段时间即0≤t≤0.5和1≤t≤2.平均速度分别是：在研究清楚了平均速度的计算方式以后，我们可以把具体计算的工作交给信息技术工具.同学们可以拿出手边的计算器或计算机，计算刚才两个式子的值.追问2：如何求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度？一般地，我们把某段时间的终止时刻t2对应的函数值减去初始时刻t1对应的函数值，再除以t2－t1的值，就能得到这段时间的平均速度.用符号语言表示就是:.追问3：计算运动员在0≤t≤这段时间的平均速度，你发现了什么？运动员在0≤t≤这段时间的平均速度为：追问4：你认为用0≤t≤这段时间的平均速度，近似描述运动员这段时间的运动状态有什么问题吗？在这段时间，运动员的平均速度为0，但显然，除了在最高点的一瞬间外，运动员一直处于运动状态，每个时刻的瞬时速度都不为0.运动员的平均速度，只关注了这个时间段的整体情况，无法刻画中间时刻的运动过程，因此并不能准确刻画运动员的运动状态.如果需要研究清楚运动员在某时间段的运动状态，我们还需要了解运动员在每一个时刻的速度，也就是瞬时速度.问题2瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系，求运动员在t＝1s时的瞬时速度吗？如果不断缩短时间段的长度，那么平均速度将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度v(t0).为了求运动员在t＝1时的瞬时速度，我们在t＝1之后或之前，任意取一个时刻1＋Δt，其中Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0．当Δt＞0时，1＋Δt在1之后；当Δt＜0时，1＋Δt在1之前．当Δt＞0时，把运动员在时间段［1，1＋Δt］近似看做匀速直线运动，计算时间段［1，1＋Δt］的平均速度，用平均速度近似表示运动员在t＝1时的瞬时速度．当Δt＜0时，在时间段［1＋Δt，1］可作类似处理．于是，得到如下表格：为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔Δt，当Δt无限趋近于0时，无论t从小于1的一边还是大于1的一边无限趋近于1，平均速度都无限趋近于-5.这是一个巧合还是必然结果呢？追问1：给出Δt更多的值，利用信息技术工具计算更多的平均速度的值.当Δt无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？可以看到，无论Δt的正负，只要时间间隔不断变小，无限趋近于0，平均速度都无限趋近于-5.那是不是就能说明t=1时，运动员的瞬时速度就是-5m/s呢?追问2：你认为上述通过列表计算瞬时速度的过程可靠吗？通过前面计算平均速度的值，尽管我们发现“随着时间间隔的不断缩小，平均速度越来越接近于常数-5”，但这种计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征.所以需要从更加理性的角度加以说明.我们可以把刚才的过程进一步梳理：因为h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以运动员在［1，1＋Δt］（或［1＋Δt，1］）这段时间的平均速度为： 可以发现，当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt也无限趋近于0，所以无限趋近于－5．这与前面得到的结论一致．数学中，我们把－5叫做“当Δt无限趋近于0时，的极限”，记为这样，我们就从更理性的角度，解释了刚才通过计算得到的结论.追问3：你能用上述方法，计算当t＝2s时的瞬时速度吗？因为h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以运动员在［2，2＋Δt］（或［2＋Δt，2］）这段时间的平均速度为： 问题3你能推导出任意时刻t0对应的瞬时速度的表达式吗？我们类比刚才的过程，得到如下的一般结果：因为h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以运动员在［t0，t0＋Δt］（或［t0＋Δt，t0］）这段时间的平均速度为： 当时，所以这样我们就把求某一具体时刻瞬时速度的方法推广到了一般情形.我们通过不断缩小时间间隔，用平均速度逼近瞬时速度，也就是说，瞬时速度是平均速度的极限.无限逼近的极限思想，正是微积分学的基础.问题4回顾本节课的探究过程，你学到了什么？从知识角度，我们主要研究了高台跳水运动员起跳后的运动状态的问题.我们先研究了运动员起跳后某一时间段内的平均速度，再不断的将时间间隔缩小，随着时间间隔不断趋近于0，我们分别用计算和极限的方法，求得了瞬时速度，并由此得到任意时刻t0瞬时速度的表达式.通过这个过程，我们认识到瞬时速度是时间间隔趋近于零时，平均速度的极限.从研究方法上看，我们用无限逼近的方法，通过平均速度求得了瞬时速度，这其中蕴含着极限思想.无限逼近的极限思想，正是导数研究中的重要思想方法和基础.此外，我们通过一些具体时刻的瞬时速度，推广得到了任意时刻t0的瞬时速度表达式，这种从特殊到一般的研究方式，是数学研究中的常用方法.希望同学在今后导数的学习中继续体会，自觉运用.课后作业1．某物体从10m高处做自由落体运动，ts时该物