高一数学寒假讲义第九讲 三角函数性质及图象变换（学生版）

第九讲三角函数性质及图象变换【知识梳理】一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质函数图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，．既无最大值，也无最小值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；无对称轴，是中心对称图形但不是轴对称图形.二、图象变换1.对函数,的图象的影响（左加右减）2.()对函数图象的影响3.()对的图象的影响4.以下为的图象经变换得到的图象注意：由到的变换：向左平移eq\f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．题型01解三角不等式及定义域问题【解题思路】用三角函数图象解三角不等式的步骤：①作出相应的正弦函数或余弦函数在上的图象(也可以是上的图象)；②在上或(上)写出适合三角不等式的解集；③根据诱导公式一写出定义域内的解集．【例1】在内函数的定义域是（

）A． B． C． D．【例2】已知集合，，则（

）A．B．C．D．【变式1-1】已知函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B．C． D．【变式1-2】不等式的解集为．【变式1-3】函数的定义域为．题型02三角函数的周期问题和奇偶性【解题思路】三角函数的周期：①对形如或的周期为，对形如的周期为；②对形如或的周期为，对形如的周期为；【例3】下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（

）A． B．C． D．【例4】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3).【变式2-1】下列函数中，最小正周期是且是奇函数的是（

）A． B．C． D．【变式2-2】若，，则.【变式2-3】判断下列函数的奇偶性：(1)(2)题型03求三角函数的单调区间和对称性【解题思路】在求形如的单调区间或对称中心（轴）时，应采用“换元法”整体代换,将“”看作一个整体“”,即通过求的单调区间和对称中心（轴）而求出原函数的单调区间和对称中心（轴）.注意点：①时,一般用诱导公式转化为后求解;②若,则单调性相反.【例5】函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【例6】（多选）函数的图象为M，则下列结论正确的是（

）A．图象M关于直线对称 B．图象M关于点对称C．在区间单增 D．图象M关于点对称【变式3-1】求函数的单调区间．【变式3-2】（多选）下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．【变式3-3】（多选）关于函数，下列选项正确的有（

）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．函数在上单调递增 D．函数在上有三个零点题型04求三角函数的值域(最值)【解题思路】（1）形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值.（2）形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定.（3）分式型的三角函数：分离常数法【例7】（1）函数，的值域为；（2）函数的最大值是.【例8】求下列函数的值域：(1)，；(2)．【变式4-1】已知.(1)若，求在上的值域；(2)若，求的最大值.【变式4-2】已知为钝角，则的最大值为．【变式4-3】求下列函数的最大值、最小值以及达到最大（小）值时x的值的集合：(1)；(2)．题型05三角函数图象的识别【解题思路】识别图象的具体步骤：①判断函数的奇偶性；②根据图象的区别代点，看纵坐标的正负情况；③根据区别求单调性【例9】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的部分图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【例10】函数|在区间（，）内的图象是（

）A． B．C． D．【变式5-1】函数的大致图象为（

）A．

B．

C．

D．

【变式5-2】函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【变式5-3】图象为如图的函数可能是（

）A． B．C． D．题型06根据奇偶性和对称性求参数【解题思路】形如型，①若题意给出对称轴，则将其代入可得，即，②若题意给出对称中心，则将其代入可得，即【例11】若为奇函数，则实数（

）A． B． C． D．【例12】函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（

）A． B． C． D．【变式6-1】已知函数是偶函数，则的值为（

）A． B．1 C．1或 D．【变式6-2】若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式6-3】已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8题型07根据单调性求参数【解题思路】对于已知函数单调区间的某一部分确定参数的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．【例13】已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【例14】若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（

）A．1 B． C．2 D．【变式7-1】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-2】已知函数（，）为奇函数，且在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-3】已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是.题型08根据值域(最值)求参数【解题思路】对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三【例15】已知函数在区间上的值域为，则.【例16】已知函数有最大值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式8-1】已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式8-2】若函数，的值域为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式8-3】（多选）若在上仅有一个最值，且为最大值，则的值可能为（

）A． B．1 C． D．题型09由图象确定正(余)弦函数的解析式【解题思路】(1)如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求.（2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式.【例17】已知函数的一部分图象如图所示，其中，，，则．【例18】（多选）函数部分图象如下图所示，则（

）A． B． C． D．【变式9-1】已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为.(1)求这个函数的解析式，并写出它的单调区间；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【变式9-2】（多选）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是（，，），则（

）

A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的周期为3C．第4秒该质点的位移为 D．当时，位移随着时间的增大而减小【变式9-3】已知函数的部分图象如图，则在上的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型10求图象变换前(后)的解析式【例19】将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（

）A． B．C． D．【例20】已知函数，函数图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，将图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（

）A． B．C． D．【变式10-1】（多选）将函数的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（

）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称【变式10-2】已知函数（，）的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为．【变式10-3】把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，所得图象对应的解析式为．题型11描述图象的变换过程【例21】为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【例22】要得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【变式11-1】已知函数(1)求在区间上的最大值和最小值;(2)指出图象可由的图象经怎样的变换得到？并求在区间上的单调递减区间.【变式11-2】要得到函数的图象，只需将函数的图象经过两次变换，则下列变换方法正确的是（

）A．先将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度B．先将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度C．先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【变式11-3】已知函数的图象，问需要经过怎样的变换得到函数的图象，并且平移路程最短？题型12图象变换及函数性质的综合【例23】将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例24】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原米的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称【变式12-1】（多选）将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为，则关于的图象叙述正确的是（

）A．在有且只有一个零点 B．关于点对称C．在区间上单调递减 D．关于直线对称【变式12-2】（多选）已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递减D．函数在上有个零点【变式12-3】（多选）已知，，给出下列结论：其中正确结论是（）A．若，，且，则B．存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称C．若在上恰有7个零点，则的取值范围为D．若在上单调递增，则的取值范围为课后作业一、单选题1．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度2．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．3．函数在的值域为（）A． B． C． D．4．已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为B．若，则的值为C．函数在区间上单调递减D．函数的图象关于点对称5．把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（）A． B．C． D．6．关于函数，有下列四个命题．甲：；乙：；丙：在上单调递增；丁：对任意，总有．其中恰有一个是假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、多选题7．已知函数恰有5个零点，则的值可能为（

）A．4 B．5 C． D．8．对函数下列说法正确的是（

）A．任取，都有恒成立；B．对于一切恒成立；C．函数有3个零点；D．若关于x的方程有且只有两个不同的实根，则；9．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（

）A．B．C．函数在上单调递减D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为三、填空题10．已知函数，若的最小正周期为，则；若的一个单调递增区间为，一个递减区间为，且，则.11．写出同时满足下列条件的函数的一个解析式.．12．