高一数学寒假讲义第十六讲 向量在几何和物理中的应用举例（解析版）

第十六讲向量在几何和物理中的应用举例【知识梳理】一、向量在几何中的应用1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”.①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.③把运算结果“翻译”成几何关系.2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.3.平面向量及三角形的“四心”.设为所在平面上一点,内角所对的边分别为，①O为的外心；②O为的重心；③O为的垂心(三角形三边高的交点)；④O为的内心二、向量在物理中的应用（1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.（2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.（3）动量是向量的数乘运算.（4）功是力与位移的数量积.用向量解决物理问题的一般步骤（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.题型01证明线段垂直【解题思路】（1）基底法：利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用数量积的运算律算出值0;（2）坐标法：建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入数量积的坐标公式算出0【例1】已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论.【详解】易知，可得，即，且，所以可得的形状是直角三角形.故选：B【例2】在中，分别为边上的点，且.设.

(1)用表示；(2)用向量的方法证明：.【答案】(1).(2)证明见解析【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可求解；（2）由（1）得，根据平面向量的数量积运算即可证明.【详解】（1）因为，.（2）由且，得，所以.【变式1-1】如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.【答案】证明见解析【分析】以为基底，表示，，结合向量的运算可知，进而证得结论.【详解】因为，所以，即，故.【点睛】关键点点睛：本题考查向量的应用，证明垂直，解题的关键是以为基底，表示，，结合向量的运算可知，利用向量的数量积即可得证.【变式1-2】在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．(1)求重心E的坐标；(2)用向量法证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标；（2）求出F的坐标，证明即可．【详解】（1）如图，∵，，，∴，则由重心坐标公式，得；（2）．易知的外心F在y轴上，可设为．由，得，∴，即．∴．∴，∴，即．【变式1-3】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

(1)求的余弦值．(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在．【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解；（2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．则．由于就是的夹角．

的余弦值为．（2）设．．由题得．①当点在上时，设，；②当点在上时，设，，舍去．综上，存在．题型02求夹角问题【解题思路】（1）基底法：利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式求解;（2）坐标法：建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入【例3】如图，在平面直角坐标系中，O是原点.已知点，.试求的度数.【答案】【分析】求出，根据数量积的定义可求解.【详解】由，得，.其中，故.所以.故答案为：.【例4】如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点

(1)若，求AE的长；(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求．【答案】(1)1(2)【分析】（1）设，由可得，即可得答案；（2）由图可知，由向量夹角公式可得答案.【详解】（1）由题，可得.则.设，则.因，则.则，故AE的长为1；（2）若E为AB的中点，则，，又.由图可知.【变式2-1】已知的三个顶点分别为,求的大小．【答案】120°【分析】由向量的数量积求夹角即可.【详解】由条件可得：，所以，所以，所以.【变式2-2】如图，在中，是边的中点，与交于点.(1)求和的长度；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度；（2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值.【详解】（1）是高，，在Rt中，，所以.是中线，，，（2），.另解：过D作交于，是的中点，是的中点，是的中位线，是的中位线，，.【变式2-3】在长方形中，，，为线段的中点，为线段上一点（不含端点），利用向量知识判断当点在什么位置时，．【答案】当为线段的一个三等分点（靠近点）时【分析】以，为基底，表示向量，，利用向量夹角公式求，列方程确定点的位置.【详解】设，，取为基底，且，，，为向量与的夹角．∵为线段上一点，∴可设，∴，而．∴，，，∴，所以或，又，所以，∴当为线段的一个三等分点（靠近点）时，．题型03求线段长度【解题思路】（1）基底法：利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式求解;（2）坐标法：建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入模的坐标公式【例5】用向量的方法证明：梯形的中位线等于两底和的一半．【答案】证明见解析【分析】利用向量加法法则，结合梯形的特征用两底边所表示向量表示出中位线所表示向量，即可证结论.【详解】如下图，梯形ABCD中，且为中位线，则，，又，所以，又同向，所以所以梯形的中位线等于两底和的一半.

【例6】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：.【答案】证明见解析【分析】以点B为原点建立平面直角坐标系，设，利用可得，由可得，继而可证明，即得证【详解】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设设，，，，则，，所以，所以.所以，.因为E，D，F共线，所以，所以化简得.因为，所以.所以.【变式3-1】如图，已知中，，，，点是的内切圆圆心（即三条内角平分线的交点），直线与交于点.

(1)设，求和的值；(2)求线段的长.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）根据数量积的运算律求出，即可求出，连结，根据角平分线的性质求出.【详解】（1）由于是的平分线，所以，因此，从而，由平面向量基本定理可得，.（2）由（1）可知.由题意，，.由得，即，所以.因此，即，又，，所以，连结，则是的平分线，因此，从而.

【变式3-2】如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.【答案】，证明见解析.【分析】由于是对角线上的两点，要判断之间的关系，只需分别判断与之间的关系即可.【详解】设，，，则.由，可设，又，，可设，∵，∴，综上，有，即，由于与不共线，则，解得，∴.同理，，.∴.【变式3-3】如图，在中，.(1)求的长；(2)求的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）确定，，，，计算得到答案.（2），，计算得到答案.【详解】（1）；，，故，.（2），.题型04求几何最值【解题思路】（1）基底法：①利用其底转化向量;②根据向量运算律化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论（2）坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标;②将平面向量的运算坐标化;③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解【例7】已知正六边形边长为2，是正六边形的外接圆的一条动弦，，P为正六边形边上的动点，则的最小值为.【答案】【分析】若是外接圆圆心，是中点，连接，根据，数形结合有、即可求最小值.【详解】若是外接圆圆心，是中点，连接，如下图，

所以，则，故，而，且，所以，当且仅当共线且重合为正六边形一边的中点时等号成立，所以.故答案为：【例8】如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可．【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，则，，，，设，其中，则，，，当时，有最大值6．故选：C．

【变式4-1】如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（

）

A． B． C． D．1【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示，结合二次函数知识，即可求得答案.【详解】由于，如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系，连接,由于，则≌,

而，故，则，则，设，则，，故，当时，有最小值，故选：B．【变式4-2】如图，已知在边长为2的正三角形中，点P，Q，R分别在边，，上，且，则的最大值为.【答案】【分析】根据数量积的运算律以及定义即可求解.【详解】设，则，故，故当，取最大值，由于，所以，故最大值为，故答案为：【变式4-3】如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为．

【答案】【分析】根据向量共线以及数量积的运算律，即可求解.【详解】由得，设，所以，故当时，取最大值，故答案为：题型05三角形“四心”问题【例9】已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据重心的向量表示即可求得点为重心；利用点为重心，即可得，可得结论.【详解】依题意，则是重心，即充分性成立；若是重心时，，可得所以，必要性成立，故选：C.【例10】是所在平面上一点，若，则是的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】B【分析】根据给定等式，利用数量积运算律结合向量减法计算得判断作答.【详解】由得：，即，则有，由，同理可得，因此，，所以是的外心.故选：B【变式5-1】已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（

）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】D【分析】直接利用平面向量的线性运算和三角形重心的定义，即可判断点G是△ABC的重心.【详解】因为，所以.以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示:则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心.故选：D【变式5-2】若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点P满足+λ(λ∈(0，+∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（

）A．外心 B．内心C．重心 D．垂心【答案】C【分析】设的中点为，通过向量的线性运算求得，由此判断出的轨迹经过三角形的重心.【详解】设线段BC的中点为D，则有)，因此由已知得+λ，即=λ，于是=λ，则，因此P点在直线AD上，又AD是△ABC的BC边上的中线，因此点P的轨迹一定经过三角形ABC的重心．故选：C【变式5-3】已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的心.（在重心、内心、外心、垂心中选择）【答案】重心【分析】根据向量平行得到，将变形得到，取的中点，则，从而得到答案.【详解】与向量共线，故，即，则变形为，即，所以，取的中点，则，所以动点M的轨迹必经过的重心.故答案为：重心题型06力的合成【例11】已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（

）．A．N B．5N C．10N D．N【答案】B【分析】作图，根据已知，在直角三角形中，求解即可得出答案.【详解】

如图，，，，，.在中，有，所以，的大小为5N.故选：B.【例12】如图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面对物体的摩擦力．

【答案】见解析【分析】利用，两边同乘，根据数量积定义和三角形诱导公式化简可得.【详解】物体受到三个力：重力（方向竖直向下，大小为mgN），斜面的支持力（方向与斜面垂直向上，大小记为pN），摩擦力（方向与斜面平行向上，大小记为fN）．因为物体静止，所以上述三个力的合力为零，即，则，易知，所以，即，从而．答：斜面对于物体的摩擦力的大小为，方向与斜面平行向上．【变式6-1】马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（

）（参考数据：取重力加速度大小为，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5【答案】C【分析】可设两只胳膊的拉力分别为，，根据即可求出重力的值，进而得出小猴子的体重．【详解】设两只胳膊的拉力分别为，，，，，，解得．小猴子的体重约为．故选：C．【变式6-2】如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为.（注：重力加速度取，精确到0.01N）

【答案】N【分析】根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果.【详解】

如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，因为，所以在上的投影向量为，所以8根绳子拉力的合力为，又因为降落伞匀速下落，所以，必有，所以，，所以故答案为：N【变式6-3】如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．

【答案】【分析】作图，进行力（向量）的分解，即可得出答案.【详解】

设细绳作用力为，则，如图，对力进行分解，可得.根据力的平衡可知，物重G的大小为.题型07速度、位移的合成【例13】在平面内以点O的正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标：(1)向量表示沿北偏东移动了3个单位长度；(2)向量表示沿西北方向移动了4个单位长度；(3)向量表示沿南偏西移动了3个单位长度；(4)向量表示沿东南方向移动了4个单位长度.【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据方位角及向量的模长结合三角函数值求解向量坐标即可.【详解】（1）因为向量表示沿北偏东移动了3个单位长度，所以向量对应坐标系中的角度为且模长为3，所以；（2）因为向量表示沿西北方向移动了4个单位长度，所以向量对应坐标系中的角度为且模长为4，所以；（3）因为向量表示沿南偏西移动了3个单位长度，所以向量对应坐标系中的角度为且模长为3，所以；（4）因为向量表示沿东南方向移动了4个单位长度，所以向量对应坐标系中的角度为且模长为4，所以.【例14】一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少.（

）A．km/h B．km/hC．km/h D．km/h【答案】B【分析】根据平面向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】如图所示：

，，，设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有所以有，故选：B.【变式7-1】如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．

(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．【答案】(1)答案见解析(2)船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为【分析】（1）直接利用向量加法的平行四边形法则作图即可；（2）利用勾股定理求解船速的实际大小，在求解直角三角形即可得方向.【详解】（1）如图所示，表示船速，表示水速，以为邻边作平行四边形，则表示该船实际航行的速度；

（2）由题意，在中，，则，，所以，所以船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为.【变式7-2】一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移．【答案】飞机从B地到C地的位移：南偏西且距离为km.【分析】由题设有，应用向量数量积的运算律求即可.【详解】如下图，，则，所以km.又，即，结合图易知：在南偏西方位，综上，飞机从B地到C地的位移：南偏西且距离为km.

【变式7-3】一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向.

(1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值；(2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？【答案】(1)，(2)【分析】（1）设游船的实际速度为，由速度合成的，根据求得结果即可；（2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果.【详解】（1）设游船的实际速度为.

由，得，.如图所示速度合成示意图，由，得，.所以的大小为的值为.（2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，由向量数量积运算得：

..在Rt中，，从而.所以.故游船的实际航程为.课后作业一、单选题1．已知的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则点P在（

）A．的内部 B．线段AB上 C．直线BC上 D．的外部【答案】D【分析】由题设可得，结合相等向量的几何意义画图，即可判断点的位置.【详解】由题设，如下图示，四边形是平行四边形，

所以P在的外部.故选：D2．四边形中，，，则四边形的面积（

）A． B．5 C．10 D．20【答案】B【分析】根据条件得到，从而得到，结合向量模长的计算公式，即可求解.【详解】因为，，所以，则，又，，所以四边形的面积，故选：B.3．一个质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成角且，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意可得，则，根据数量积的定义及运算律计算可得.【详解】物体处于平衡状态，，即，．故选：D4．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.【详解】解：建立如图直角坐标系，则,得,所以，故选：D.5．如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】计算出，设与的夹角为，得到，根据，求出答案.【详解】，又，且，所以．设与的夹角为，则．因为，所以．故选：C．6．设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】先设，于是得到点O是的重心，则，再结合三角形面积公式即可求出的面积与的面积，进而得到答案.【详解】不妨设，如图所示，

根据题意则，即点O是的重心，取的中点，连接，则三点共线，且，所以边上的高是边上的高的倍，，即，同理可得：，，所以有，又因为，那么，故的面积与的面积的比值为.故选：A.二、多选题7．如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上（含原点）上滑动，则的值可能是（

）A．1 B．C．2 D．【答案】AC【分析】令，由边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，的坐标，由此可以表示出两个向量，由坐标运算即可求解．【详解】如图令，由于故，，如图，，故，，故，同理可求得，即，，，，故选：AC8．在中，已知，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，下列结论正确的是（

）A． B．C．的余弦值为 D．【答案】BD【分析】画出图形，由同时平方可求；同理由同时平方可求；由，代换成基底向量可求的余弦值；结合重心性质全部代换成可验证选项D.【详解】如图所示：由题可知，分别为中点，则，同时平方得，则，故A错误；又，同时平方得，则，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选：BD9．点O在所在的平面内，则下列结论正确的是（）A．若，则点O为的垂心B．若，则点O为的外心C．若，则1D．若且，则点O是的内心【答案】ACD【分析】由可得出，从而可判断A的正误；可画出图形，取的中点，连接，可得出，从而判断B的正误；可画出图形，设，分别是，的中点，连接，根据条件可得出，从而得出，然后即可判断C的正误；根据条件可得出，从而得出，同理可得出，从而可判断D的正误．【详解】对A：如图所示，，

则，，，，为的垂心，A正确；对B：如图，取的中点，连接，由，则，

，，三点共线，又是的中线，且，为的重心，B错误；对C：如图：，分别是，的中点，

由，，，，，，则，，，则，C正确；对D：如图，

，，，，即为的平分线，同理由得，即为的平分线，为的内心，D正确．故选：ACD三、填空题10．点是三角形内一点，若，则.【答案】【分析】设为的中点，由题意知为的重心，可得，同理，进而得出的值.【详解】设为的中点，由题意知为的重心，则,所以，同理.而，故.故答案为：11．已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是【答案】【分析】作，交于点，可知；利用向量线性运算可得到，根据，