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文档简介

高校数学线性代数考点剖析

矩阵的相像对角化是考研的重要考点，该部分内容既

可以出大题，也可以出小题。所以同学们必需学会如

何推断一个矩阵可对角化，现把该部分的学问点总结

如下：

一般方阵的相像对角化理论

这里要求驾驭一般矩阵相像对角化的条件，会推

断给定的矩阵是否可以相像对角化，另外还要会矩阵

相像对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。事

实上，矩阵相像对角化之后还有一些应用，主要体现

在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方塞上，这些应用

在历年真题中都有不同的体现。

1推断方阵是否可相像对角化的条件

(1)充要条件:An可相像对角化的充要条件是：

An有n个线性无关的特征向量；

(2)充要条件的另一种形式：An可相像对角化

的充要条件是：An的k重特征值满意；

(3)充分条件:假如An的n个特征值两两不同，

那么An肯定可以相像对角化；

(4)充分条件：假如An是实对称矩阵，那么

An肯定可以相像对角化。

分析方阵是否可以相像对角化，关键是看线性无

关的特征向量的个数，而求特征向量之前，必需先求

出特征值。

2求方阵的特征值

(1)详细矩阵的特征值

这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利

用行列式的'性质在行列式中制造出两个0,然后利用

行列式的绽开定理计算；

(2)抽象矩阵的特征值

抽象矩阵的特征值，往往要依据题中条件构造特

征值的定义式来求，敏捷性较大。

•实对称矩阵的相像对角化理论

其实质还是矩阵的相像对角化问题，与一般方阵

不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求大家除了

驾驭实对称矩阵的正交相像对角化外，还要驾驭实对

称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会

经常用到这些考点的。

这块的学问出题比较敏捷，可干脆出题，即给定

一个实对称矩阵A,让求正交阵使得该矩阵正交相像

于对角阵；也可以依据矩阵A的特征值、特征向量来

确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A；另外由于实对

称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还

可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向

量，从而确定出矩阵A。

最重要的是，驾驭了实对称矩阵的正交相像对角

化就相当于解决了实二次型的标准化问题。

1驾驭实对称矩阵的特征值和特征向量的性质

（1）不同特征值的特征向量肯定正交

（2）k重特征值肯定满意

由性质（2）可知，实对称矩阵肯定可以相像对

角化；且有（1）可知，实对称矩阵肯定可以正交相

像对角化。

2会求把对称矩阵正交相像化的正交矩阵

娴熟驾驭施密特正交化的公式；特殊留意的是:

只须要对同一个特征值求出的基础解系进行正交化,

不同特征值对应的特征向量肯定正交（当然除非你计

算出错了会发觉不正交）。

3实对称矩阵的特殊考点

实对称矩阵肯定可以相像对角化，利用这特性质

可以得到许多结论，比如：

(1)实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数

这个结论只对实对称矩阵成立，不要错误地运用。

(2)两个实对称矩阵，假如特征值相同，肯定

相像

同样地，对于一般

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