高中数学讲义微专题98 含新信息问题的求解

微专题98含新信息问题的求解

一、基础知识：

所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，

然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问

题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本

文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧

1、读取“新信息”的步骤

（1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围

（2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系

（3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律

（4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。

2、理解“新信息”的技巧与方法

（1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息

的理解

（2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息

理解的较为透彻。

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律

（4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处，

以及在什么情况下可以使用原概念。

二、典型例题

例1：设P,Q是两个集合，定义集合P—Q={x|x£POrwQ},如果尸={x|log2无<1}，

Q={x\\x-2\<]},则P-Q等于（）

A.{x|O<x<l}B.{x|O<x<l}C.{x|l<x<2}D.{x\2<x<3}

思路：依=且r史Q}可知该集合为在尸中且不属于。中的元素组成，或

者可以理解为夕集合去掉的元素后轲下的集合。先解出P,。中的不等式。P:

log2x<l=>0<x<2,2：|x-2|<l=>l<x<3,所以PC|Q=（1,2）,从而可得：

P-2=（0J]

答案：B

例2：)，=/(%)在(田,48)内有定义。对于给定的正数K，定义函数

人叫KJ(x)〉K

取函数/(力=2+3一/°若对任意的Xt(—8,+8),恒有fk(X)=/(%),则()

A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为1

思路：由所给分式函数/[(M可知，若/(x)WK,则取/(x),如果/(x)>K,就取K,

由这个规则可知，若£,(％)=/(x)恒成立，意味着XZX£(YO,+8),均有/(x)<K恒成立，

从而将问题转化为恒成立问题，即长之/(到小，下而求”R)的最大值：f(x)=\-ex,

可知/(x)在(-oo,0)单调递增，在(0,+oo)单调递减，所以=/(0)=1,从而KN1,

即K的最小值为1

答案：D

例3：设集合S={4，A，4，AJ,在s上定义运算㊉为：4㊉4=4,,其中攵为，+/被4

除的余数，。=0,1,2,3,则满足关系式(X㊉X)㊉儿=4的X(X£S)的个数为()

A.4B.3C.2D.1

思路：本题的关键在于读懂规则，“㊉”运算的结果其实与角标和除以4的余数相关，如果理

解文字叙述较为抽象不如举几个例子，例如：A㊉A，按照要求，(1+3)除以4的余数为0,

所以A㊉43=4。掌握规律后再看所求关系式：要求得X,则需要先解出(X㊉X),籽其视

为一个整体儿，可知A〃+4=4，即(帆+2)除以4的余数为o,可推断帆=2,即

元㊉x=4，不妨设x=A“，即(〃+〃)除以4的余数为2.则〃的值为1,3,所以x=41或

者x=A，共有两个解

答案：c

例4：定义两个平面向量7万的一种运算aBsin，，其中。为ZB的夹角，对于这种

运算，给出以下结论：①a®b=b®a；②=„售方：③

+B2c=（〃③c）+0®c）;④若a=（5,凹）,/?=（冗2，%），则々③〃=|xj272Ml

你认为恒成立的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

思路：本题的新运算a③B=aBsin6即Z4的模长乘以夹角。所以对于结论①,

1)®a=b67sin6?=absinO=a0b对于②，=bsinO,而

（刊®b=Zabsin^=|A|-|<7bsin0,显然当；l<0时等式不成立；对于③，

（4+5）区c=[a+S|•付.sin（a+反c）（其中sin（a+反c）表示a+B,c的夹角），而

。，③c）+（B®c）=卜卜in„+WHsin（〃,c）,显然等式不会恒成立（也可举特殊情况

如Z=-B,左边为0,而右边大于等于0）；对于④，可代入坐标进行运算，为了计算简便考

虑将左边平方，从而sin2=1-cos20,可与。找到联系：

R0Q=|a|2|S|2sinz8第之用（1-cos26）=同用*邛=+：+犬乂后+式）

?2=X-X72

-（XjX2+>V2）（l>2231）*即4③^=以1%-■七yj。综上所述，①④正确

答案：B

例5：如果函数/（X）对任意两个不等实数八与£（。，〃），均有

x\f（x\）+x^f[x2）>x\f（x2）+X2/（X1）»在称函数/（X）为区间（。,b）上的“G”函数，给

出下列命题：

①函数"x）=2x-sinx是H上的“G”函数

Y2+4jfY>()

②函数/(x)='~是R上的“G”函数

x-l,x<0

2rr>1

③函数/("=<一是(一3,6)上的“G”函数

2x+l,x<1

④若函数/（x）=e、一奴一2是R上的“G”函数，则a40

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

思路：本题看似所给不等式复杂，但稍作变形可得：

，所以（x,-x2）［/（x,）-/（x2）］>0即

（王一9）与［/（2）一/（々）］同号，反映出“X）是（。力）上的增函数，从而从单调性的角度

判断四个命题：①：/（x）=2-cosx>0恒成立，所以/（X）是R上的增函数

②③：可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增，通过作图可知②

正确，③不正确

@：若/（x）是“G函数”，则/（x）是R上的增函教，所以/（力=产一々20即aW/恒成

立，因为，£（0,y）,所以可得：a<Ot④正确

综上所述：①②④正确，表有三个命题

答案：C

例6：对于各数互不相等的正数数组（3，，,•••/），其中〃22,〃6N.，如果在〃<9时，有

ip<iq，则称“i°与是该数组的一个''顺序"，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数

组的''顺序数"，例如：数组（2,4,3,1）中有顺序“2,4”，“2,3”，其“顺序数”等于2,若各

数互不相等的正数数组（4,%，/，4，%）的“顺序数”是4,则（%，%，。3M2,4）的“顺序数”

是（）

A.7B.6C.5D.4

思路：本题中对于“顺序”的定义为〃即序数小的项也小。要得到“顺序数”

则需要对数组中的数两两进行比较，再进行统计。在所求数组中可发现（%,%，%，的，《）刚好

是（4M2M3M4，生）进行倒序的排列，所以原先数组的“顺序”在新数组中不成立，而原先数

组不成“顺序”的（即=>%,>4）反而成为所求数组的“顺序”。在五元数组中任意

两个数比较大小，共有C；=10组，在（4，。2M3，4，%）中“顺序”有4个，则非“顺序”有

6个，所以到了（%包，4，叼，4）中，顺序数即为6

答案：B

小炼有话说：本题也可以通过特殊的例子得到答案：例如由（q,a2M3吗吗）的“顺序数”是

4,假设《2Ml<。5，其余各项。2>43>%>。5，则在（6，々4,々3,生，4）

中即可数出顺序数为6

例7：对任意实数。/定义运算*如下则函数

h(a>h)

/(x)=log2(3x-2)*loglx的值域为()

2

/2、

A.[0,+oo)B.(-oo,0]C.Iog2—,0

\3,

思路：本题可将。描述成取中较小的数，即mi"。,。，所以对于

b(a>b)i」

f(x)=log2(3x-2)*log1x,即/(x0)为log2(3x0-2)Jog]x0中较小的数。解不等式

22

3x-2>0

/\2

log2(3x2)>logj^=>x>0=>x>1,则log2(3工一2)vlog1%=-vX<},所

2133

3x-2>-

x

log2(3x-2),x>1

以J\x)=<从而可解得值域为(70,0]

log(x,-<x<1

3

答案：B

小炼有话说：本题也可以利用数形结合的方式，/(x)=log2(3x-2)*log]x的图俅为将

2

y=log2(3x-2),y=log]x的图像画在同一坐标系下，取位于下方的部分，从而作出/(x)

2

的图像，其中丁=1082(3天一2),、二1081%的交点通过计算可得1=1,所以结合图像即可得

2

到/(x)的值域为(-ooj(l)],即(Y0,0]

例8：已知平面上的线段/及点P,仟取/上一点。，线段PQ长度的最小俏称为P到/的距

离，记作d(P,/)

(1)求点尸(1,1)到线段/:%—)，—3=0(3WxW5)的距离d(P,/)

(2)设/是长为2的线段，求点的集合力={P|d(P,/)«lb听表示的图形面积

思路：首先要明确新定义的“距离”，即线段上的点到该点的最小值。此时可做几个具体的图

形来理解定义。勺发现过P作线段/的垂线，若垂足在线段上，则垂线段最短，与传统的定义

相同；若垂足在线段的延长线上，则需找线段上距离夕点最近的，即线段的某个端点。在第

(1)问中，作出图像可得尸在线段/上的垂足位于线段延长线上，所以只需比较尸到丙个端

点的距离即可；在第(2)问中，先作出d(P,/)=l的图形，表示的图形是长为2,宽为2的

正方形和两个半径是1的半圆的组合图形，则。为该图形的内部，再求出面积即可

解：(1)设线段/的端点4(3,乂),6(5,%)，代入直线方程可得：

X=0,%=2.•.4(3,0),B(5,2)

22

|AP|二加一了十小1=6忸p|=J(5-i)+(2-l)=V17

.\J(P,/)=|PA|=A/5

(2)若d(P,/)=l,则P点的轨迹为长。=2,宽b=2的正方形和两个半径一=1的半圆

的组合图形

/.S=2—^r2+。。%+4

2

例9：设卜］表示不超过x的最大整数(in［2］=2,|||=1),对于给定的“EM,定义

。=n釜(n-1号)•••(/?小-[JV1+#1)小+8)、

r，则当九£二,3时，函数/(%)=6的值域为

4

)

.32(32,7284引32唁,28

A.B.4A,—U—,28C.

4MI5」(35

〃1)…(〃-[x]+1)

思路：由定义的式子c：可知分子分母含多少项与［戈］的取值有

x(x-l)---(x-[x]+1)

河分为*2)和［2,3)

关，即分子分母分别为个项的乘积，所以根据［月的定义将上€

一5、8「5、

两段进行考虑。当XE时，［可=1,所以。；=—，所以/(x)在—,2的值域为

，4,券］:当XW［2,3)B丸凶二2,所以C；=产八二二=7_从而/(x)

\JJ_11X—X\\

/(x)ek^lufy,28

在［2,3)单调递减，.•./")28综上所述可得

I>IJ

答案：B

例10：在实数集R中，我们定义的大小关系“〉”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们

这平面向量集合。=Ml3=(x,y),xwR”R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为

“〉”。定义如下：对于任意两个向量。；=(%,凶),％=(%,)，2)，当且仅当“%>马”

或“X=%且X>必”，按上述定义的关系“>”，给出下列四个命题:

①若4=(1,0),.=(0/),6=(0,0),则不>鼻>6

②若q>。2，。2>〃3，则a\>a3

③若则对于任意的。£。，a［+a>a2+a

④对于任意的向量。>0,其中0=(0,0),若q>的,则4吗〉。。?

其中命题正确的序号为

思路：从题意中可发现比较向量的“序”主要比较的是坐标，其中优先比较横坐标，苦横坐

标相等则再比较纵坐标，结合这个规律便可分析各个命题：(为方便说明，任一向量。的横坐

标记为x(a),纵坐标记为y(a)

①：显然x(4)>求2)，所以%(4)=%(可,亚2)>乂可，所以/>0，综上可

得：e}>e2>6

②：由q>a2可知：工(。［)>工(%)或“工(。］)=工(。2)且)'(％)>y(%)”，同理：由外>%

可得：屯)>入伍)或“x(Z)=x(Z