专题4.2 指数函数（知识解读）（含解析）（人教A版2019必修第一册）【考点精练】2022-2023学年高一数学

专题4.2指数函数（知识解读）【学习目标】1.指数函数的概念和性质及其应用.2.指数函数底数a对图象的影响；3.利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小【知识点梳理】知识点1：指数函数的概念1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.2、学习指数函数的定义，注意一下几点（1）定义域为：（2）规定是因为：①若，则（恒等于1）没有研究价值；②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.④只有当或时，即，可以是任意实数.（3）函数解析式形式要求：指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.知识点2：指数函数的图象与性质1、函数的图象和性质如下表：底数图象性质定义域值域定点图象过定点单调性增函数减函数函数值的变化情况当时，当时，当时，当时，当时，当时，对称性函数与的图象关于轴对称2、指数函数的底数对图象的影响函数的图象如图所示：观察图象，我们有如下结论：2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；知识点3：指数函数的定义域与值域1、定义域：（1）指数函数的定义域为（2）的定义域与函数的定义域相同（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.2、值域（1）指数函数的值域为（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.知识点4：指数函数的图象变换已知函数1、平移变换①②③④2、对称变换①②③3、翻折变换①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）【典例分析】【考点1指数函数的判断】【典例1】（2021·北京密云）已知函数是指数函数，则______.【变式1-1】（2021·全国高一课时练习）已知函数和都是指数函数，则______.【变式1-2】（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①；②；③；④；⑤；⑥．【考点2指数函数的解析式与函数值】【典例2】（2021年广东河源）指数函数y＝f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，那么f(4)f(2)等于()A．8B．16C．32D．64【变式2-1】（2021年福建厦门）若函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－3))·ax是指数函数，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值为()A．2B．－2C．－2eq\r(2)D．2eq\r(2)【变式2-2】（2021年河南）．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.【考点3指数函数的值域与定义域】【典例3】（2021·全国高一专题练习）求下列函数的定义域和值域：（1）；（2）；（3）.【变式3-1】（2022·广东中山·高一期末）已知函数的值域是（

）A． B． C． D．【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）函数且的值域是，则实数____.【变式3-3】（2021·河南高一期末（文））函数的最小值为（）A． B．1 C．2 D．【考点4指数型函数图象过定点问题】【典例4-1】（2022·全国·高一）若函数（且）的图像经过定点，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【典例4-2】（2022·全国·高一）指数函数恒过的定点为_______．【变式4-1】（2021·全国高一课时练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为____________.【变式4-2】（2021·上海市建平中学高一期末）对于任意实数，函数（且）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________．【考点5比较大小】【典例5】（2022·云南丽江·高一期末）若，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式5-1】（2021·全国）已知，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【变式5-2】（2021·全国高一专题练习）设，则（）A． B． C． D．【变式5-3】（2021·全国高一专题练习）比较下列各组数的大小：（1）1.52.5和1.53.2；（2）与；（3）1.50.3和0.81.2.【考点六解指数不等式】【典例6】（2022·上海杨浦·高一期末）不等式的解集是_____________.【变式6-1】（2022·北京海淀·二模）不等式的解集为_________．【变式6-2】（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．【变式6-3】（2021·全国高一课时练习）函数f（x）＝，若有f（a）＋f（a－2）＞4，则a的取值范围是________.【考点七指数型函数的单调性】【典例7】（2021·广西高一期中）已知函数，则（）A．是奇函数，且在上是减函数B．是偶函数，且在上是减函数C．是奇函数，且在上是增函数D．是偶函数，且在上是增函数【变式7-1】（2021·全国）若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)【变式7-2】（2021·全国高一课时练习）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【变式7-3】（多选）（2021·全国高一课时练习）已知，则函数为减函数的实数的值可以是（）A． B． C． D．【考点八图像问题】【典例8】（2021·全国·高一课时练习）根据函数的图像，画出下列函数的图像．（1）；

（2）；

（3）．【变式8-1】（2022·湖南·高一课时练习）在同一直角坐标系内作出函数与的图象.6．（2022·辽宁·高一阶段练习）函数(1)请在下面坐标系中画出函数的图像．【变式8-2】（2021·全国·高一课时练习）完成下列填空，并按要求画出函数的简图，不写画法，请保留画图过程中的痕迹，痕迹用虚线表示，最后成图部分用实线表示.（1）函数的零点是.，利用函数的图象，在直角坐标系（1）中画出函数的图象.（2）函数的定义域是，值域是，是函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.利用的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数的图象.专题4.2指数函数（知识解读）【学习目标】1.指数函数的概念和性质及其应用.2.指数函数底数a对图象的影响；3.利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小【知识点梳理】知识点1：指数函数的概念1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.2、学习指数函数的定义，注意一下几点（1）定义域为：（2）规定是因为：①若，则（恒等于1）没有研究价值；②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.④只有当或时，即，可以是任意实数.（3）函数解析式形式要求：指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.知识点2：指数函数的图象与性质1、函数的图象和性质如下表：底数图象性质定义域值域定点图象过定点单调性增函数减函数函数值的变化情况当时，当时，当时，当时，当时，当时，对称性函数与的图象关于轴对称2、指数函数的底数对图象的影响函数的图象如图所示：观察图象，我们有如下结论：2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；知识点3：指数函数的定义域与值域1、定义域：（1）指数函数的定义域为（2）的定义域与函数的定义域相同（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.2、值域（1）指数函数的值域为（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.知识点4：指数函数的图象变换已知函数1、平移变换①②③④2、对称变换①②③3、翻折变换①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）【典例分析】【考点1指数函数的判断】【典例1】（2021·北京密云）已知函数是指数函数，则______.【答案】2【解答】函数是指数函数，即.故答案为：2.【变式1-1】（2021·全国高一课时练习）已知函数和都是指数函数，则______.【答案】【解答】因为函数是指数函数，所以，由是指数函数，所以，所以，故答案为：.【变式1-2】（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】③【解答】①的系数不是，不是指数函数；②的指数不是自变量，不是指数函数；③是指数函数；④的底数是不是常数，不是指数函数；⑤的指数不是自变量，不是指数函数；⑥是幂函数．故答案为：③【考点2指数函数的解析式与函数值】【典例2】（2021年广东河源）指数函数y＝f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，那么f(4)f(2)等于()A．8B．16C．32D．64【答案】D【解答】由指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，可得a－2＝eq\f(1,4)，解得a＝2，函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64.【变式2-1】（2021年福建厦门）若函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－3))·ax是指数函数，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值为()A．2B．－2C．－2eq\r(2)D．2eq\r(2)【答案】D【解答】因为函数f(x)是指数函数，所以eq\f(1,2)a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝＝2eq\r(2).【变式2-2】（2021年河南）．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.【答案】(eq\r(2))x【解答】由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝eq\r(2)，所以f(x)＝(eq\r(2))x.【考点3指数函数的值域与定义域】【典例3】（2021·全国高一专题练习）求下列函数的定义域和值域：（1）；（2）；（3）.【答案】（1），{y|y＞0且y≠1}；（2），；（3）{x|x≥0，x∈R}，.【解答】(1)∵x应满足x－2≠0，∴x≠2，∴定义域为{x|x≠2，x∈R}.∵，∴，∴的值域为{y|y＞0，且y≠1}.(2)定义域为R.∵|x|≥0，∴，∴此函数的值域为[1，＋∞).(3)由题意知，∴∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}.∵x≥0，∴∴，∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0，1).【变式3-1】（2022·广东中山·高一期末）已知函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：因为,所以所以函数的值域是故选：B【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）函数且的值域是，则实数____.【答案】或【解答】当时，函数且是增函数，值域是，；当时，函数且是减函数，值域是，.综上所述，可得实数或.故答案为：或【变式3-3】（2021·河南高一期末（文））函数的最小值为（）A． B．1 C．2 D．【答案】D【解答】令，则，故原函数化为，当时，可得最小值为．故选：D．【考点4指数型函数图象过定点问题】【典例4-1】（2022·全国·高一）若函数（且）的图像经过定点，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【解答】因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.另解：因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点.故选：B【典例4-2】（2022·全国·高一）指数函数恒过的定点为_______．【答案】【解答】由函数恒过（0，1）点，令解得，此时，则函数恒过点.故答案为：．【变式4-1】（2021·全国高一课时练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为____________.【答案】【解答】时，，所以函数图象恒过定点．故答案为：．【变式4-2】（2021·上海市建平中学高一期末）对于任意实数，函数（且）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________．【答案】【解答】因为函数图像可以通过向左平移个单位得，再将图像上的点向上平移个单位得到，且指数函数（且）恒过定点，所以函数（且）的图像经过定点.故答案为：【考点5比较大小】【典例5】（2022·云南丽江·高一期末）若，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解答】因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递减，且，所以，即，所以，即故选：A【变式5-1】（2021·全国）已知，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】∵，，∴．故选：C．【变式5-2】（2021·全国高一专题练习）设，则（）A． B． C． D．【答案】A【解答】因为函数在上的增函数，且，所以，即又，所以，所以.故选：A.【变式5-3】（2021·全国高一专题练习）比较下列各组数的大小：（1）1.52.5和1.53.2；（2）与；（3）1.50.3和0.81.2.【答案】（1）；（2）；（3）.【解答】(1)∵函数在R上是增函数，2.5＜3.2，∴，(2)作指数函数与的图象(如图)，由图知，(3)由指数函数的性质知，而，∴.【考点六解指数不等式】【典例6】（2022·上海杨浦·高一期末）不等式的解集是_____________.【答案】【解答】由，得，所以，解得，所以不等式的解集为，故答案为：【变式6-1】（2022·北京海淀·二模）不等式的解集为_________．【答案】【解答】由，可得，故解集为.故答案为：.【变式6-2】（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【解答】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，又由函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，因为函数在上单调递减，则，可得实数的取值范围是.故答案为：.【变式6-3】（2021·全国高一课时练习）函数f（x）＝，若有f（a）＋f（a－2）＞4，则a的取值范围是________.【答案】（1，＋∞）【解答】设F（x）＝f（x）－2，则F（x）＝，易知F（x）是奇函数，F（x）＝＝＝1－在R上是增函数，由f（a）＋f（a－2）＞4得F（a）＋F（a－2）＞0，于是可得F（a）＞F（2－a），即a＞2－a，解得a＞1.答案：（1，＋∞）【考点七指数型函数的单调性】【典例7】（2021·广西高一期中）已知函数，则（）A．是奇函数，且在上是减函数B．是偶函数，且在上是减函数C．是奇函数，且在上是增函数D．是偶函数，且在上是增函数【答案】C【解答】，定义域为，为奇函数，故可排除，；又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，在上是增函数，符合题意，可排除；故选：．【变式7-1】（2021·全国）若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)【答案】D【解答】由题意得解得4≤a＜8.故选：D.【变式7-2】（2021·全国高一课时练习）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解答】令，由于函数