2026年中考数学二次函数的图象与性质大题(五大题型)解析版

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)随x的增大而减小；x=-取得最大值即顶点是抛物线的最高点.向下平移个单位得到的.右异)④抛物线与x轴交点个数.题型三．待定系数法求二次函数解析式(2)用待定系数法求二次函数的解析式.为交点式来求解.11一元二次方程即可求得交点横坐标.△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.2将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函件. (3)若对于h-2≤x1≤h+1，-2≤x2≤-1，存在y1<y2，直接写出h的取值范围.(1)根据对称轴进行计算，得=h，再把代入y=-x2+bx即可作答.1)(3)根据h-2≤x1≤h+1，-2≤x2≤-1，存在y1<y2，得出当-2<h-2<-1或者-2<h+1<-1，即可作答.∴抛物线y=-x2+2hx，把(2,0)代入y=-x2+2hx，22(2)由(1)知抛物线y=-x2+2hx，∵A(x11)2)是抛物线y=-x2+2hx上任意两点，∴y1=-(h-1)2+2h(h-1)=h2-1，y2=-(2h)2+2h×2h=0，2-1>0，解得h>1或h<-1；2)是抛物线y=-x2+2hx上任意两点，∵对于h-2≤x1≤h+1，-2≤x2≤-1，存在y1<y2，且∴当-2<h-2<-1时，存在y1<y2，解得0<h<1，解得-4<h<-3，解得-3<h<-2，当-2<h-1<-1时，存在y1<y2，解得-1<h<0， 题目2(2024•鹿城区校级一模)已知二次函数y=-x2+2tx+3.(3)如果A(m-2,n)，C(m,n)两点都在这个二次函数的图象上，直线y=2mx+a与该二次函数交于M1)2)(1)把(1,3)代入解析式求出t=，再根据对称轴公式求出对称轴；(3)A(m-2,n)，C(m,n)两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出m-t=1，再令-x2+2tx+∴对称轴直线为x=-=t=；33∵A(m-2,n)，C(m,n)两点都在这个二次函数的图象上，∴x=t==m-1，∴m-t=1，令-x2+2tx+3=2mx+a，2+2(m-t)x+a-3=0，2是方程x2+2(m-t)x+a-3=0的两个根，∴x1+x2=-=-2(m-t)=-2是定值. 题目3(2024•拱墅区一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-(a+2)x+2经过点A(-2,t)，B(m,p).②当p<t时，直接写出m的取值范围；(1)①当t=0时，点A的坐标为(-2,0)，将其代入函数解析式中解得a=-1，则函数解析式为抛物线的解析式为y=-x2-x+2，再根据求对称轴的公式x=-即可求解；∵抛物线y=ax2-(a+2)x+2经过点A(-2,0)，∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-x2-x+2，∴抛物线的对称轴为直线x=-=-；2=-2，∴抛物线与x轴交于(-2,0)和(1,0)，∵点A(-2,0)，B(m,p)，且p<0，∴点B(m,p)在x轴的下方，∴m<-2或m>1.∵t<0，∴a<-1，44∵抛物线对称轴为直线x=-=+，∵a<-1，a∴-1<1<0，a∴-<∵m<n且5m+5n<-13，∴<-<-，∴点B(m,p)到对称轴的距离大于点C(n,q)到对称轴的距离，关系. 或a<-1.(1)证明b2-4ac>0即可解决问题.(2)将a=-1代入函数解析式，进行证明即可.(3)对a>0和a<0进行分类讨论即可.2-12a，所以4a2-12a=4a(a-3)>0，所以该函数的图象与x轴有两个公共点.(2)将a=-1代入函数解析式得，y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，则当-1<x<0时，，且-1<x1<x2<4，55解得a<-1，故a<-1. (1)求抛物线的顶点(m,0)；0)(2)由y1<y2(2-2mx+m2=(x-m)2.∴抛物线的顶点坐标为(m,0).∴1-2m+m2<9-6m+m2，0)<m>m<m>m2<m>m(-1+1<m>m2,解得0<m<.关键. (2)点M(t-2,m)，N(t+2,n)，P(-t,p)为该抛物线上的三个点，若存在实数t，使得m>n>p，求a的取值范围.3经过点(-2a,3)，2，∴抛物线的对称轴x=-=-a，66∵M(t-2,m)，N(t+2,n)，P(-t,p)在抛物线上，∴t-2<t+2，∴此时p>m>n与题干m>n>p相矛盾，故舍去，∵M(t-2,m)，N(t+2,n)，P(-t,p)在抛物线上，∴t-2<t+2，∴此时m<n与题干m>n>p相矛盾，故舍去；∵M(t-2,m)，N(t+2,n)，P(-t,p)在抛物线上，∴t-2<t+2，.∵m>n>p，∴此时0<-a<t-2，即2-t<a<0，∵M(t-2,m)，N(t+2,n)，P(-t,p)在抛物线上，∴t-2<t<t+2，∴p>m>n与题干m>n>p相矛盾，故舍去，∵M(t-2,m)，N(t+2,n)，P(-t,p)在抛物线上，∴t-2<t<t+2，∴n>m与题干m>n>p相矛盾，故舍去，∵M(t-2,m)，N(t+2,n)，P(-t,p)在抛物线上，∴t-2<t<t+2，∴n>m与题干m>n>p相矛盾，故舍去，答：a的取值范围为2-t<a<0(t>2). (2)已知点P(-1,10)，Q(4,0).772+bx+c，16+4b+c16+4b+c=-5=4=-5=4c=0，②当c=-1时，y=x2+bx-1，当x=-1时，y=1-b-1=-b，综上：b≤-10或b≥-.【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟的关键. x⋯-1025⋯y⋯m3pn⋯88因为二次函数的解析式为y=ax2-4ax+c，所以抛物线的对称轴为直线x=-=2，所以点(-1,m)与(5,n)关于抛物线的对称轴对称，故m=n.所以m=8.将(0,3)和(-1,8)代入函数解析式得，所以二次函数的解析式为y=x2-4x+3.2-4×2+3=-1.所以二次函数解析式为y=ax2-4ax+3.将x=-1代入函数解析式得，所以a的取值范围是a>.质是解题的关键. 题目9(2024•北京模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+(2(2)若y2<y3<y1，求m的取值范围.(1)利用对称轴意义即可求解；992+(2m-6)x+1经过点(-m,y1)，(m(2)当m>0时，可知点(-m,y1)，(m,y2)，(m+2,y3)∵y2<y3<y1，当m<0时，∴m<-m<-m+3，∴y2>y1键. A(-2,-4)和B(3,1)两点.(2)若该抛物线开口向下，且经过C(2m-3,n)，D(7-2m,n)两点，当k-3<x<k+3时，y(1)把A(-2,-4)和B(3,1)代入y=ax2+bx+c，即可求解；【解答】解：(1)把A(-2,-4)和B(3,1)代入y=ax2+bx+c，=1-a=-6a-2;(2)∵抛物线经过C(2m-3,n)，D(7-2m,n)两点，1-a)×(-6)-6a-2≥5，解得：a≥,抛物线不经过点N，2=-，1=-1时，-=-=1，1=-1时，如图②,抛物线与线段MN只有一个交点，若抛物线与线段MN有两个交点，且其中一个交点恰好为点N时，把N(2,5)代入y=ax2+(1-a)x-6a-2+(1-a)×2-6a-2，综上所述：a的取值范围为：a≥或a=-1或a<-. 0)上.(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,-1)，当自变量x的值满足-1≤x≤2时，y随x的增大而围.(2)∵y=ax2+bx+c(a≠0)过(0∴对称轴为直线x=-=-，∴-a+4≤-1∴-≥2，解得a≥-，∴-≤a<0，∵点(m-4,y2)，(m,y2)在抛物线y=ax∴对称轴为直线x==m-2，∴m<6且m-2>=3，∵y2<y1<c，【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二分类讨论的思想进行解答. (2)过点P作PN⊥x轴并交BC于点N，作PM⊥y轴并交抛物线的对称轴于点M，若PM=PN，求m的值.(1)将A，B，C三点坐标代入函数解析式即可解决问题.(2)用m表示出PM和PN，建立关于m的方程即可解决问题.(2)将x=m代入抛物线得表达式得，y=-m2+m+6，所以点P的坐标为(m,-m2+m+6).所以直线BC的函数解析式为y=-2x+6.所以PM=m-.又因为点N坐标为(m,-2m+6)，所以PN=-m2+m+6-(-2m+6)=-m2+3m.因为PM=PN，所以m-=(-m2+3m)，所以m=. 题.(2)根据ΔAOB∽ΔECD得到CD与OB所以点A的坐标为(0,8)；令y=0得，x=4，所以点B的坐标为(4,0)；所以抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+8.所以ΔAOB∽ΔECD，令点C坐标为(m,-m2+2m+8)，则点D坐标为m2-m，-m2+2m+8( 所以CD=m-(m2-m(=-m2+2m，则m2+2m=解得m=1或3.当m=1时，-m2+2m+8=9；当m=3时，-m2+2m+8=5；【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式函数的图象和性质是解题的关键.(2024•南关区校级二模)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(0,-3)，B(3,0)．点P在抛(4)点M在抛物线y=x2+bx+c上，其横坐标为1-m．过点P作PQ⊥y轴于点Q，(4)分别写出P、Q、M、N的坐标，ΔPQM与ΔPNM的面积相等，所以Q到PM的距离∴b=-2，c=-3，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；2-2x-3=(x-1)2-4，∴当-2<x<3时，-4≤y<5；(3)由题意得，P(m,m2-2m-3)，A(0,-3)，①当m<0时，P、A两点之间部分的最大值为m2-2m-3，最小值为-3，∴m2-2m-3-(-3)=，②当0≤m≤2时，P、A两点之间部分的最大值为-3，最小值为m2-2m-3或-4，∴最小值为m2-2m-3，∴-3-(m2-2m-3)=，③当2<m时，P、A两点之间部分的最大值为m2-2m-3，∴m2-2m-3-(-4)=，(4)由题意得，M(1-m,m2-4)，N(1-m,0)，Q(0,m2-2m-3)，rmk+b=m2-2m-3{(1rmk+b=m2-2m-3解得：k=-1，b=m2-m-3，yPM=-x+m2-m-3，∴Q到yPM=-x+m2-m-3的距离与N到yPM=-x+m2-m-3的距离相等，Q到yPM=-x+m2-m-3的距离=|-m|⋅N到yPM=-x+m2-m-3的距离=|-m2+4|⋅当m<-2时，-m=m2-4，解得：m=-1-当-2≤m≤0时，-m=4-m2，解得：m=1-当0<m≤2时，m=4-m2，解得：m=-1+ ②当m≠0时，函数解析式为y=mx2-(m-2)x-2，令y=0，则有mx2-(m-2)x-2=0，△=(m-2)2-4m×(-2)=m2-4m+4+8m=m2+4m+4=(m+2)2≥0.(2)y=mx2-(m-2)x-2=mx2-mx+2x-2=m(x2-x)+2x-2，当x=0时，y=-2，当m≠0时，函数y=mx2-(m-2)x-2是二次函数， (2)先求出点A和点D坐标，再根据SΔABD=解析求解即可.(2)将y=x2-2x-3配方得顶点式y=(x-1)2-4，在y=x2-2x-3中，当y=x2-2x-3=0时，解得x=-1或x=3，DΔABD=2=2=8. (1)根据题意直接求出二次函数解析式即可；为(m，-m2+3m+4)(-1<m<2)，则点H(m,2m+2)，求出PH，由三角形的面积公式求出关于m的函(3)分k>0和k<0两种情况讨论即可.2+bx+c与抛物线y=-x2+x-1的形状相同，∴a=-1，∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0)和(4,0)，∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-4)=-x2+3x+4；=-x2+3x=-x2+3x+4，yy=-1y=-1=0y∴C(-1,0)，D(2,6)，设点P坐标为(m，-m2+3m+4)(-1<m<2)，∴点H(m,2m+2)，∴PH=-m2+3m+4-(2m+2)=-m2+m+2，ΔPCD=PH×3=(-m2+m+2)=-m-2+，∵-<0，-1<m<2，解得x=-，则-<-1，解得0<k<2；则->4，解得-<k<0； 一直角坐标系中的两条抛物线.x的取值范围.即可.=ax2+(a+b)x+b=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴顶点坐标为(1,-4)；令y1=0解得：x1=-，x2=-1，令y2=0解得：x1=-，x2=-1，(3)∵抛物线y1=ax2+(a+b)x+b上的任意一点P(m,n)均有n的关键. 点C.②若x1+x2=2(x1-x2)，求y1-y2的最小值.(1)用待定系数法即可求解；②y1-y2=(x-4x1+3)-(x-4x2+3)=(x1+x2)(x1-x2)+4(x1-x2)，而x1+x2=2(x1-x2)，得到y1-y2的函即y=a(x-1)(x-3)=a(x2-4x+3)，即x=2=(x1+x2)，+x2=41=y2；②y1-y2=(x-4x1+3)-(x-4x2+3)=(x1+x2)(x1-x2)-4(x1-x2)，∵x1+x2=2(x1-x2)，∴y1-y2=(x1+x2)(x1-x2)+4(x1-x2)=2(x1-x2)(x1-x2)-4(x1-x2)=2(x1-x2-1)2-2≥-2，即y1-y2的最小值为-2. -2,-3)，与y轴交于点C.(2)若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点(含点A与点B)，过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于点E、点F．求线段EF的最大值.(1)设出抛物线解析式的交点式，再把点D坐标代入解析式求出a即可；则E(m,-m2+m+2(，F(m,-m+2(，得出EF=|-(m-2)2+2|，由m的取值范围和二次函数的性质求EF的最大值.2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0)，B(4,0)两点，把D(-2,-3)代入y=a(x-4)(x+1)得，6a=-3，解得a=-，∴抛物线的函数解析式为y=-(x-4)(x+1)=-x2+x+2；∴C(0,2)，解得k=-，∴直线BC的解析式为y=-x+2，设M(m,0)，-1≤m≤4，则E(m,-m2+m+2(，F(m,-m+2(，∴EF=|-m2+m+2-(-m+2(|=|-m2+2m|=|-(m-2)2+2|，当0≤m≤4时，EF=-(m-2)2+2，当-1≤m<0时，EF=(m-2)2-2， 21(2024•碑林区校级模拟)在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2B两点，A(-2,0)，与y轴交于点C(0,2)，点P是抛物线上y轴左侧的一个动点.(2)若点P关于直线BC的对称点P′恰好落在y轴上，求点P的坐标.(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)根据轴对称的性质可知PC=PlC，PB=PlB，建立方程求出P点坐标即可.【解答】解：(1)将A(-2,0)，C(0,2)代入y=-x2+bx+c，∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2；(2)设Pl(0,t)，P(m,-m2+m+2(，∴PC=PlC，PB=PlB，(m-4)2+(-4m2+2m+2(m-4)2+(-4m2+2m+2(=t2+16解得m=-1，∴P(-1,.答本题的关键. (2)若二次函数的顶点P的坐标为(x,y)，求y与x之间的函数关系及y的最大值.2-(k+4)x+3k=0.∵△=b2-4ac=[-(k+4)]2-4×3k=k2-4k+16=(k-2)2+12>0，∴二次函数y=x2-(k+4)x+3k的顶点坐标为,-，整理后得y=-(x-3)2-3.∵顶点的运动轨迹为二次函数y=-(x-3)2-3的图象，且 题目23(2024•峰峰矿区校级二模)如图，已知抛物线L:y=-x(x-3)+n与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点M.点坐标和线段AA′的长；(2)点M关于L:y=-x(x-3)+n的对称轴的对称点的坐标为(3,n)(用含n的代数式表示).(1)①将(1,6)代入L:y=-x(x-3)+n，求出n的值即可确定函数解析式；②根据平移的性质可得y=-x(x-3)+4向上平移2个单位长度后为y=-x(x-3)+6=-(x-2(2)先求M点坐标，再求抛物线的对称轴为直线x=，则M点关于对称轴的对称点为(3,n).则n=4，∴L:y=-x(x-3)+4抛物线L与x轴交于A，B两点，∴将y=0代入L:y=-x(x-3)+4，即-x(x-3)+4=0，2=-1；∴A(-1,0)，B(4,0)；②∵y=-x(x-3)+4向上平移2个单位长度后为y=-x(x-3)+6=-(x-2+，∴M(0,n)，∵抛物线L:y=-x(x-3)+n与y轴交于点M，∵y=-x(x-3)+n=-(x-2+n+，∴点M关于L:y=-x(x-3)+n的对称轴的对称点的坐标为(3,n)，关键. 点A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C.(1)把A(-1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx-3，用待定系数法求出解析式即可；(2)根据点F是抛物线上第二象限上的点，其横坐标为t，点F坐标为(t,t2-2t-3)，然后用待定系数法求直∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3；∴点F坐标为(t,t2-2t-3)，设直线BF的解析式为y=kx+m，∴直线BF与y轴的交点E的坐标为(0,-3t-3)∵C(0,-3)，∴EC=-3t-3+3=-3t，D解得xD=，把x=代入y=x2-2x-3得y=-3-3=-， 2-5x+6=0，解得，x=2或x=3，设一次函数解析式为y=kx+b，∴一次函数的解析式为y=-2x+6；∵当0≤x≤3时，对于x的每一个值，-2x+b>x2-5x+6，题的关键. 2+bx+4，b+4=0+4b+4=0，∴抛物线L的表达式为y=-x2+3x+4；与L关于原点对称，∴抛物线L/的解析式为y=x2+3x-4；∵SΔABC=2SΔABP，∴SΔABP=5，设点P坐标为(m,m2+3m-4)，解得m=或键. 题目27(2024•安徽模拟)已知抛物线y=-x2+bx+c(b，c是常数)与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0)，与y轴交于点C，连接AC，点P是AC上方抛物线ΔAPD+SΔCEQ的值；(3)如图2，连接PB与AC交于点M，连接AP，BC，当SΔAPM-SΔBCM=2时，求点M的坐标.【分析】(1)把点A(-3,0)和点B(1,0)代入y=-x2+bx+c，解方程组即可；(2)根据(1)中解析式求出点C坐标，然后用待定系数法求出直线AC解析式，再设点P坐标为(t,-t2-2t(3)先求出三角形ABC和三角形PAB的面积，再根据SΔAPM-SΔBCM=SΔPAB-SΔABC=-2t2-4t+6-6=-2t2-4t=2，求出t的值，从而求出点P坐标，再用待定系数法求职直线BP的解析式，然后联立直线PB和AC所组成的方程组，解方程组求出点M坐标.解：把点A和点B代入y=-x2+bx+c得：(2)由(1)可知抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，∴点C(0,3)，设直线AC的表达式为y=kx+n，把点代入y=kx+n得∴直线AC的表达式为y=x+3，∵点P是AC上方抛物线上的一点，∴设点P坐标为(t,-t2-2t+3)，∴点D(t,t+3)，点Q(t+1，-(t+1)2-2(t+1)+3)，点E(t+1,t+4)，∴点A到PD的距离为t+3，点C到QE的距离为-t-1，∴PD=-t2-2t+3-(t+3)=-t2-3t，QE=-(t+1)2-2(t+1)+3-(t+4)=-t2-5t-4，∴OC=3，∵AB=1-(-3)=4，由(2)知，点P坐标为(t,-t2-2t+3)，∴SΔPAB=AB⋅yP=×4×(-t2-2t+3)=-2t2-4t+6，∴SΔAPM-SΔBCM=SΔPAB-SΔABC=-2t2-4t+6-6=-2t2-4t=2，解得t1=t2=-1，此时点P坐标为(-1,4)，设直线BP的表达式为y=px+q，∴直线BP的表达式为y=-2x+2，由(2)知直线AC的表达式为y=x+3，联立直线BP，AC表达式，得-2x+2=x+3，当时，y=x+3=-∴点M的坐标为待定系数法求出函数解析式利用函数的性质解答. :y=ax2-x+c(a≠0)与x轴交于A(三角形的面积公式求出F的坐标.2-x+c，9a-3+c=09a-3+c=0∴抛物线C1的解析式的解析式为y=x2-x-；∵抛物线为C2的解析式为y=-x2-x+=-(x+1)2+2，ΔABF=AB⋅|yF|=6，FF=-3，把y=-3代入y=-x2-x+得，-x2-x+=-3，②分情况讨论，当a-4≤-2≤a-2时，当-2≤a-4≤a-2时，当a-4≤a-2≤-2时，分别得出C2的+4ax+4a-3，∵y=ax2+4ax+4a-3=a(x+2)2-3，∴C2的顶点坐标为(-2,-3)；(2)①设点P的横坐标为m，∴M(m,4am2+am+4a-3)，N(m,am2+4am+4a-3)，∴MN=|4am2+am+4a-3-(am2+4am+4a-3)|=|3am2-3am|，∵MN=6a，2-3am|=6a，解得m=-1或m=2，∴P(-1,0)或(2,0).当x=a-4时，y=a(a-