2026年高考数学复习系列（全国）专题3.5 导数的综合应用（讲义）（试题版）

专题3.5导数的综合应用（举一反三复习讲义）

【全国通用】

1、导数的综合应用

导数是高中数学的重要内容，导数的综合应用是高考必考的重点、热点

内容，从近几年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有：导数中的不等式

命题规律恒（能）成立问题、利用导数证明不等式、导数中的函数零点（方程根）问

题等，这些问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、

分析填空、解答题中都有考查，但主要以解答题为主，而在解答题中进行考查时

试题综合性强，难度较大，需要灵活求解，二轮复习时要加强对这方面内容

的训练.

考点2023年2024年2025年

高考真题

新课标I卷：第19题，新课标I卷：第18题，全国一卷：第19题，

统计导数的综合12分17分17分

应用新课标Ⅱ卷：第22题，新课标Ⅱ卷：第11题，全国二卷：第18题，

12分6分17分

全国甲卷（文数）：全国甲卷（文数）：

第20题，12分第20题，12分

全国甲卷（理数）：全国甲卷（理数）：

第21题，12分第21题，12分

全国乙卷（文数）：

第8题，4分

预测在2026年全国卷高考数学中，导数的综合应用的相关问题的考情

2026年将继续维持稳定态势。预测在选择题、填空题中考查概率较低，主要考查函

数零点、不等式恒（能）成立问题，难度中档。大概率在解答题中考查，不

命题预测等式恒（能）成立问题、利用导数证明不等式、函数零点（方程根）问题依

旧是考查核心，都有可能考查，此时试题综合性较强，试题难度较大。

知识点1导数中的函数零点问题的解题策略

1．函数零点（个数）问题的的求解方法

(1)构造函数法：构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.

(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多

少个零点.

(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解.

2．导数中的含参函数零点（个数）问题

利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法：

(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.

3．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略

与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊

点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.

知识点2不等式恒（能）成立问题的解题策略

1．不等式恒（能）成立问题的求解方法

解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：

(1)分离参数法解决恒（能）成立问题

①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，

构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题．

②恒成立；

恒成立；

能成立；

能成立.

(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题

分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分

类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内

的函数值不满足题意即可.

2．双变量的恒（能）成立问题的求解方法

“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换

有：

对于某一区间I，

(1).

(2).

(3).

知识点3导数中的不等式证明的解题策略

1．导数中的不等式证明的解题策略

(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的

函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，

b)上单调递减即可.

(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．

2．移项构造函数证明不等式

待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导教

研究其单调性等相关函数性质证明不等式.

3．分拆函数法证明不等式

(1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递

的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)

恒成立.

(2)等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，与lnx要分离，常构造与lnx，与的积、

商形式.便于求导后找到极值点.

4．放缩后构造函数证明不等式

某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式，

等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行

放缩，然后再构造函数进行证明.

知识点4导数中的双变量问题的解题策略

1．转化为同源函数解决双变量问题

此类问题一般是给出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同

的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.

2．整体代换解决双变量问题

(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x1，x2的式子.

(2)与极值点x1，x2有关的双变量问题：一般是根据x1，x2是方程f'(x)=0的两个根，确定x1，x2的关系,再通

过消元转化为只含有x1或x2的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为x1，x2的齐次式，然后转化

为关于的函数，把看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.

3．构造函数解决双变量问题的答题模板

第一步：分析题意，探究两变量的关系；

第二步：合二为一，变为单变量不等式；

第三步：构造函数；

第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题；

第五步：反思回顾解题过程，规范解题步骤.

知识点5导数在解决实际问题中的应用

1．导数在解决实际问题中的应用

(1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需

要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再

选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.

(2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等

式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.

(3)利用导数解决实际问题的一般步骤

【题型1导数中的函数零点（方程根）问题】

【例1】（2025·湖南郴州·模拟预测）已知，若有两个零点，则实数m的取值

��

范围为（）��=�e−ln��≥0��

A．B．C．D．

1111

22

0,�0,ee,+∞e,+∞

【变式1-1】（2025·安徽·模拟预测）函数的零点个数为（）

��

A．0B．1��C=．�2e−e−1D．3

【变式】（贵州六盘水模拟预测）已知函数

1-22025··�.

e2�+1

�

(1)求函数在处的切线方程；��=

(2)函数���=1有两个零点，求实数的取值范围.

��=��−��

【变式】（河北模拟预测）已知函数是函数的一个极

1-32025··2

�

�32

值点．��=e−��+�−��,�∈�,�=2��

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数��有三个零点，且．

①求实数�的�取值范围；�1,�2,�3�1<�2<�3

②求证：�．

�1+�2+�3>2

【题型2利用导数研究不等式恒成立问题】

【例2】（2025·全国·模拟预测）若对任意，满足�恒成立，则实数的取值范围

−�2�

3

是（）�∈e,+∞eln�−�≥0�

A．B．

2

C．−∞,eD．−∞,e

2

e,+∞e,+∞

【变式2-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若在

1

��=ln�−���+�−�−1��≤00,+∞

上恒成立，则实数m的取值范围为（）

A．B．C．D．

111

2

0,ee,11,ee,1

【变式2-2】（2025·广东汕尾·一模）已知在处有极小值.

1

��=2��−2�+1ln�−��=2

(1)求的值；

�

(2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）.

12

��=��−���≤02,e�e≈2.718

【变式2-3】（2025·青海·模拟预测）已知函数．

(1)若，求曲线在处的切线�方(�程)=；2ln�−��

�=1�=�(�)�=1

(2)讨论的单调性；

(3)若�(�，)恒成立，求的取值范围．

��2

�>0�(�)≤e−��

【题型3利用导数研究能成立问题】

【例3】（2025·四川成都·一模）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（）

�1�

�>0�e+1−�≤�ln��

A．B．C．D．

1

0,1[e,+∞)0,e(0,e]

【变式3-1】（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数

��

的取值范围是（）��=�e−ln�−���0∈���0=1�

A．B．C．D．

1111

−∞,e−e,+∞−e,00,e

【变式】（安徽合肥一模）已知函数

3-22025··�.

e2�−1�2

�−1

(1)求的单调区间；��=,��=�ln�−e−�+��+1

��

(2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.

1

�1∈−2,1�2∈1,+∞��1≤��2�

【变式3-3】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数，．

1+�

��=�−�ln���=−��∈R

(1)若，求函数的最小值；

(2)设函�=数1��，讨论函数的单调区间；

(3)若在区间ℎ�=上�存�在−一�点�，使得ℎ�成立，求的取值范围．

1,e�0��0≤��0�

【题型4利用导数证明不等式】

【例4】（2025·广东·模拟预测）已知函数，.

−�

(1)当时，求曲线在处�的(�切)=线�方�程+；1−(��+1)e�∈�

(2)当�=1时，证明：�=�(�)；�=0

(3)当�≥1时，证明：�(�)≥�.

�≤0�(�)≤�(1−��)

【变式】（陕西汉中一模）（）已知函数，求在上的单调

4-12025··12

2���

区间；��=e−�+1e+2��0,+∞

（2）若，证明：．

12�

�≥e�e≥1+ln2�

【变式4-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数.

π

��=tan�1−2cos�+�,0≤�<2

(1)求的最小值；

(2)证明��：；

(3)若��≤2tan�，求实数的取值范围.

��≥2ln�+1+��+tan��

【变式4-3】（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数，且曲线在处的

2

切线与直线垂直.��=ln�+��−3�+2�=���=2

(1)求的值；2�+3�−3=0

(2)求�的极值；

��

(3)若，且，证明：.

��1=��2=��3�1<�2<�32�3+�2−�1<3

【题型5利用导数研究双变量问题】

【例5】（2025·湖南·模拟预测）已知函数．

1211

�(�)=2�−�+�ln�+32

(1)讨论的单调性；

(2)已知�(�)存在两个极值点，若，且，求的最小值．

3

�(�)�1,�2�1<�2�2≥4��1+��2

【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数，．

ln�

��=��−��>0

(1)若存在零点，求a的取值范围；

(2)若�，�为的零点，且，证明：．

2

�1�2���1<�2��1+�2>2

【变式5-2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中

1

�(�)=ln�−�(�−�)�>0.

(1)讨论的单调性；

�(�)

(2)若函数有两个极值点，，证明：

3

�(�)�1�2(�1<�2)�(�1)+�(�2)+�(�1+�2)>ln2−4.

【变式5-3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，记．

1�

��=ln�−2�+��∈���=2��+�

(1)讨论函数的单调性；

(2)已知�，�对任意，存在，使得，求实数的取值范围；

�

�>0�>0�>0�−��≤���

(3)已知，且，求证：．

2

0<�1<�2��1=��2�1�2>�

【题型6导数中的极值偏移问题】

【例6】（2025·云南·模拟预测）已知函数．

(1)若，求曲线在处的�切�线方=程��；ln��≠0

(2)讨论�=2的单调性�；=���=1

(3)若��，且，证明：．

22

�=2,�1<�2��1+��2+2=�1+�2�1+�2>2

【变式6-1】（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数．

�12

��=e+2�−�

(1)设，求的零点并判断的单调性；

′

(2)若ℎ�=��，且ℎ�，证明：��

（i）��1=�；�2�1<�2

（ii）�1+�2<0．

�1�2

e+e>2

【变式6-2】（2025·上海杨浦·模拟预测）设函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程

�=�����0��=0

在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；

�1+�2

��1�2�1<�0<�22>�0�=���

若，则称函数在上的极值点右偏移．

�1+�2

2<�0�=���

(1)设，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移，并说明理由；

2

(2)设��=且�−1,�，=��=��，�，求证：函数在上的极值点右偏移；

32

(3)设�>0，�≠1��=，�−��−�，+求�证�：当=0,+∞时，函数�=��在�上的极值点左偏移．

−1

�∈���=ln�−���=0,+∞0<�<��=���

【变式6-3】（2025·青海海南·模拟预测）已知函数．

2

(1)讨论函数的单调性．��=ln�−��+ln�,�>0

��

(2)假设存在正实数，满足．

�1�2

e2e2

12121�12�2

（i）求实数的取值�范,�围；�≠���=−��,��=−��

（ii）证明：�．

�1+�2>2

【题型7导数在实际问题中的应用】

【例7】（2025·陕西·模拟预测）将一个体积为的铁球切割成一个正三棱锥的机床零件，则该零件体积的

最大值为（）36π

A．B．C．D．

【变式7-81】2（2025·辽宁辽阳8·一3模）已知球的半径4为2，则在球的内接4圆锥3中，体积最大的圆锥的底面半

径为（）���

A．B．C．D．

221323

【变式7-23】（�2025·上海宝山3�·二模）某分公司经销一3�产品，每件产品的成本3为�5元，且每件产品需向总公司

交2元的管理费，预计每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为（）万件，则每件产

2

�8≤�≤1112−�

品售价为元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元）

【变式7-3】（2025·上海·模拟预测）如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河

的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸

边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3�a�元⊥和�5�a元，问供水站C建在

岸边距离A处km才能使水管费用最省？

【题型8导数中的新定义问题】

【例8】（2025·江苏·三模）已知函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少

存在一个点，使得�=���，,�其中称为函数�,�在闭区间�,�上的

′

“中值点”.则�函0数∈�,���在−区�间�=�上�的0“�中−值�点”的个数�为=（�0）�=���,�

3

A．��=B�．−2�−1,1C．D．

【变式8-01】（2025·江西南昌1·一模）我们约定：若2两个函数的极值点个数3相同，并且图象从左到右看，极大

值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列

�122

��=e−2e�+�−1

给出的函数其图象与的图象“相似”的是（）

A．�=B．��C．D．

2233

【变式8-�2】=（�2025·湖北武汉�·=一−模�）已知函数�的=导�函−数3为�，若�=在−区�间+3上�单调递增，则称

′′

为区间上的凹函数；若在区间上单调递�减�，则称为�区�间上�的�凸函数.已�知函数��

�

′�

���������=e+

.

(�1ln)若�+1在上为凹函数，求实数的取值范围；

(2)已知��2,3，且在�上存在零点，求实数的取值范围.

��=��−1��1,+∞�

【变式8-3】（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，

1212

若对任意的，，都有�=�(�)�∈�成�立=，�则(�称)函�数∈��与∩�=�“具

�

�1�2∈��(�1)−�(�2)≤�(�1)−�(�2)(�>0)�=�(�)�=�(�)

有性质”.

(1)判断�函(�数)，与是否“具有性质”，并说明理由；

�

�(�)=sin��∈(0,2)�(�)=��(1)

(2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点

1

2

，，求�(证�)：=�+2ln�−；2�=�(�)�(1)�=�(�)(0,+∞)

22

1212

(�3)已�知函数�+�，>2，，求证：函数与“具有性质”.

1

�(�)=�ln��∈(0,1)�(�)=��=�(�)�=�(�)�(2)

考点一导数的综合应用

一、单选题

1．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（）

3

A．B．��=�C．+��+2D．�

二、多选−题∞,−2−∞,−3−4,−1−3,0

2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（）

32

A．当时，有三个零点�(�)=2�−3��+1

B．当�>1时，�(�)是的极大值点

C．存在�<a0，b，�使=得0�(为�)曲线的对称轴

D．存在a，使得点�=�为曲线�=�(�)的对称中心

三、解答题1,�(1)�=�(�)

3．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值；

π

�(�)=5cos�−cos5�0,4

（2）给定和，证明：存在使得；

（3）设�∈，(0若,π存)在�∈�使得�∈[�−�,�+�]对c