第三章线性规划的应用及计算机求解

3.线性规划的应用及计算机求解

迄今为止，线性规划可以说是最成功的定量分析工具之•。特别是随着信息技术的开展，线性规划在

国民经济的各行各业中,特别是在金融，企业管理，市场销售，人力资源，和生产管理等领域获得广泛应用。实

践证明，利用线性规划分配资源可为企业和社会节约大量财富。在本章中，我们将要研究常见的资源配置

问题并说明如何利用线性规划工具求解最优配置问题。对于那些愿意将工作完成更好的个人或机构，为满

足某一特定目标而对有限资源进行分配是一件非常重要的工作。

3.1线性规划在制造业中的应用:制定生产方案

在制造行业中，利用线性规划制订企业的生产方案是非常普遍现象。详细的生产方案包括决定生产那

些规格的产品以及对应于每种产品的数量，同时生产方案•方面应当考虑市场需求和有效地满足企业现

有的原材料，人力，材料供给，和设名加工能力等约束条件，另一方面应当考虑产品之间的关系。线性规划能

够根据管理者的目标在各种可行的生产方案中挑选出一个最优的方案，比方说，寻求利润最大的生产方

案。

首都汽车制造厂生产五种不同档次轿车，而生产轿车的关键原材料或部件，以及熟练技术工人的工时

都是有限的，工厂经营者需要决定每款轿车的产量，使得总利润最大。为了建立线性规划模型，我们首先定

义决策变量如下：

X,=豪华型轿车的产量

X)=高档轿车的产量

x3=中档轿车的产量

x4=经济型轿车的产量

x5=微型豪华轿车的产量

2

每辆轿车的车身都必须使用用同一种混合材料制造,其库存总量是50,000mo装配任何一款轿车都用

到两种根底配件:配件A和配件B，而工厂现有库存量分别是10,000件和25,000件。装配线上的工人必

须接受过专业训练，工厂技术工人的总工时为2,000小时。我们假设其他在轿车生产过程中的其他辅助材

料，零配件,像轮胎，皮革，塑料成品等可以随叫随到，不受限制,还假设其他工种工人的工时数不受限制。

每款轿车的单车利润是单车销售收入减单车生产本钱，假设各款轿车的单车利润分别为人民币

58,43,25,17，和28万元，所以下述目标函数反响了生产方案的总利润：

在资源使用方面，每辆豪华型轿车的车身需用去25〃/混合材料，高档轿车，中档轿车，经济型轿车，和

微型豪华轿车的单车用料分别为15,1(),5,和1，所以，混合材料构成的约束条件为：

25X,+15X2+1OX3+5X4+X5<50,00)(混合材料库存上限)

在每款轿车组装过程中，都必须用到配件A和配件其具为使用数量参见表3.1:

表3.1:配件A和8的消耗量

汽车型号配件A配件8

豪华型轿车2852

高档轿车2448

中档轿车1840

经济型轿车1260

微型豪华轿车575______________

所以，配件A和8的总量约束构成了以下两个约束条件:

28X,+24X,+18X3+12X4+5X5<10,000（配件A库存上限）

52X,+48X2+40X3+60X4+75X5<25,003（配件8库存上限）

用于豪华型轿车，高档轿车，中档轿车，经济型轿车，和微型豪华轿车上的装配工时分别为

1.5,1.25,1,0.75，和1.5小时,下述约束条件成立:

L5X1+1.25X2+X3+0.75X4+L5X§52,000（装配工时上限）

从上面四个约束,即线性规划的约束条件仅适用于导致生产瓶颈的那些有限资源，也就是说，并不是所

有生产要素都必须反响在线性规划的约束条件中。

再考虑工厂的销售情况，由于工厂已经获得200辆中档轿主和100辆经济型轿车的订单，所以这两款

车的产量必须满足：

X3之200（中档轿车需求量）

X」>100（经济轿车需求曷）

历史订单数据说明，高档轿车与豪华轿车通常一起接到订单，平均来说,在收到2辆高档轿车定单的同

时至少会收到1辆豪华型轿车的订单，所以，这两款车的产量存在下述关系：

2X,<X2（高档轿车与豪华轿车定单数量关系）

历史订单数据还说明，微型豪华轿车的订单数量不会超过其他四款轿车订单总量的一半，即：

X5<0.5（X,+X?+X3+X。（微型豪华轿车与其他轿车定单数量关系）

最后，所有轿车的产量必须是大于等于零,所以：

我们给出汽车生产方案完整的线性规划模型：

为了利用计算机求解汽车生产问题，有必要将线性规划的约束条件整理成标准格式。其根本要求如

下：

（1）约束条件中的所有决策变量都必须出现在不等式的左端。所以约束条件:2X|WX2应表示为：

（2）约束条件中的决策变量顺序应与其定义顺序相一致。比方说，在所有约束条件中，变量X1都必须

先于变量X2，就是根据它们的定义顺序。

（3）每个决策变量都有属于刍己的系数。比方，约束条件：

应当改写为：

（4）如果断策变量在约束条件中不出现，那么给它们补系数00例如，约束：2X1-X2«0可被表示

为：

而约束:X3>200可被表示为：

那么，线性规划问题（3.1）的标准格式如下:

假设对标准最大化线性规划问题（3.2）的约束条件引入辅助变量，那么“J将不等式约束条件转化成

笔式约束条件。为了便于区分，通常称线性规划问题的决策变量X1,X2，X3，X4，Xs为主变量，对于小于

等于（0形式的约束条件，可以通过引进松弛变量将其转换为等式约束，比方对下述约束：

引进松弛变量,X6,其经济含义为混合材料现存的库存数量。将X6增加到上式左端后，那么获得等式约束

条件：

它的经济含意是已消耗混合材料数量,25X1+15X2+10X3+5X4+X5,加尚未使用数量乂6,等于总

库存量50,000〃/。

而对于大于等于住）类型的约束条件，那么可引进剩余变量将其转换为等式约束条件，考虑问题

（3.2）中约束:

引进剩余变量X］。,其经济含义为中档轿车现存的产量。将增加到上式左端后,那么获得等式约束条

件：

它的经济含意是中档轿车的产量X,减去剩余产量Xi。等于订邑量20（）辆。

因为松弛变量和剩余变量都具有经济含意，它们必须大于等于零，即*6N0和X1020。

当一个线性规划问题只有二个决策变量时，我们可以通过几何方法求解,当线性规划问题的变量多于

二个以上时,我们一般是利用单纯形法进行迭代求解。在第二章中，我们介绍了如何设计单纯表格,利用手

工进行求解的过程（从初始基可行解开始，确定主元素，以及利用高斯消元法完成迭代），但是随着决策变量

和约束条件的增多，手工计算就难以完成大型线性规划问题的求解工作。如果将单纯形法编制成计算机软

件,通过计算机求解就可以解决大型线性规划问题。随着信息技术的不断进步，求解线性规划问题的计算

机软件也日趋丰富和多样化。为了方便大家对于求解线性规划问题工具的使用,在本书中我们主要介绍如

何将电子表格作为求解工具。

利用丘rce/电子表格求解线性规划问题，如汽车生产问题（3.2）,我们可以按照以下三个步骤进行：

步骤1把线性规划问题（3.2）的目标函数和约束条件的各项系数转换到标准表格中,参见表3.2;

步骤2把标准表格转换为Exce/电子表格；

步骤3利用Ew"的规划求解（在工具菜单下）求解线性规划。

3.2.1标准表格

根据制订汽车生产方案的线性规划问题（3.2）,我们首先将目标函数和约束条件的系数填充到标准

表格中，参见表3.2。

表3.2:汽车生产问题的标准表格______________________________________________________

决策变量~"~~右端项

A1A243A4A5

目标函数5843251728='P~

混合材料库存量25151051<

50,000

配件A库存量282418125<

10,000

配件B库存量5248406075<

25,000

总装配工时1.52.510.751.5<

2,000

中档轿车需求量00010>200

经济轿车需求量00010>100

高档车与豪华车2-1000<0

定单数量

微型豪华车与其-0.5-0.5-0.5—0.51<0

他轿车定单数量

可以看出，标准表格3.2包含了汽车生产问题（3.2）的根本特征。标准表格3.2的第•行是标题和决策

变最，第二行是决策变量在目标函数中的系数，第三到十行分别是决策变量在约束条件的系数.

3.2.2电子表格格式

然后我们设计表示汽车生产方案的反电子表格。由于反c"表格的行是以数字（1,2,3,…）标识,

列是以字母（A,B,C,…）标识，所以只要选中了表格中的一行和一列,就唯一确定了一个单元格。Excel电

子表格3.3中的相关数据是根据标准表格3.2转换而来，比方说,单元格H5中存放的是混合材料库存量数

据。

表3.3:汽车生产方案的Excel电子表格

为了求解汽车生产问题,需要对Exc"电子表格3.3进行扩展。表3.4是对汽车生产问题在表3.3根

底上的扩充。

表3.4:汽车生产方案的扩充Excel电子表格

我们看到在扩充后的Exce/电子表格3.4中，分别增加了14行和15行似及/列和J列,其中第14行

与第3行完全相同，代表的是决策变量，第15行是决策变量的值，而/列与A列相同列单元格分别计算

目标函数和约束条件的左端项。对于资源约束行来说，./列的单元格计算了各种资源被消耗的量。单元

格J4（目标函数）的计算公式如下：

单元格分次=5,6,…J2（约束条件Z）的计算公式：

表3.4还给出了汽车生产问题的生产方案为：X1=10,X2=20,X3=100,乂4=200,和X5=10

肘/列单元格的计算结果。资源消耗量分别为:3,（）6（）〃/混合材料（单元格J5）.5,61（）件配件A（单元格

J6）,16,230件配件8（单元格J7）,以及330小时装配时间（单元格J8）。此外，由于单元格加是200,单

元格刀0是100,满足市场对中档轿车和经济轿车的最低需求。同样道理，单元格刀1为（）,单元格/2为

-155,它们也没有破坏混合定单约束"11和“12。相对这个可行解的利润是8,420（单元格J4）。

从表3.4我们还可以看出，通过分别将单元格J5到刀2的计算值与汽车生产问题的右端约束项H5

到“12进行比拟，能够判断当前解（615到F15）是否可行。表3.4中J5到J12的值都小于等于“5到

H12的值，所以这个生产方案是汽车生产问题的可行方案。

而对于汽车生产问题的另外一个生产方案：X|=200,X?=200,X3=200,乂4=200,和

%5=200来说，它是不可行方案,参见表3.50

表3.5:汽车生产方案的不可行解

我们注意到,虽然表3.5中的利润是34,200万元,但是该方案需要消耗17,400件配件A（单元格J6）

和55,000件配件B（单元格J7）,而配件A和配件B的库存量分别只有10,000件（单元格〃6）和25,000

件（单元格H7），所以这个生产方案是不可行的。

3.2.3利用EYCR的〈规划求解〉求解线性规划问题最优解

Excel电子表格在其工具栏菜单下有一个<规划求解>模块，利用它可以求线性规划问题的最优解。

我们将使用〈规划求解〉求解汽车生产问题的最优解。如果我们选中工具栏中的〈规划求解〉菜单

条,Exce/就会弹出如下的<规划求解参数>对话框：

表3.6:汽车生产方案的规划求解参数对话框

我们不难看出,<规划求解参数>对话框提供了三个最根本参数设置窗口：目标单元格,可变单元格,

和约束。

目标单元恪是存放R标函数的计算值，位于单元格$J$4,曰于R标函数是求最人值，在〈等于〉选项

中选择最大值。在可变单元格的对话框中输入$廨15:$/$15,它们直接对应汽车生产问题的决策变量。

为了对<规划求解〉添加约束条件，我们首先点击<规划求解参数>对话框中<约束,选项右边的<添

加>按钮，系统就会弹出如表3.7所示的<添加约束>对话框：

表3.7:添加约束对话框

我们可以根据约束条件的不等式方向进行批量输入，如表3.7所示，头四个约束（Etc/电子表格的5

到8行，即:$/$5:$J$8）都是资源约束且都是《符号，它们就可被一次性输入。同样道理，我们可以批量输

入$/$9:$J$10和$JS12，最后，在点击<添加约束〉对话框确实定按钮之后，就回到<规划求

解参数》对话框（表3.6）。

为/对决策变量加上非负限制，我们点击<规划求解参数>对话框右边的<选项>按钮，就会弹出<

规划求解选项>对话框，在对<采用线性模型>和<假定非负>二个选项画勾后，就完成了变量的非负约

束参见表3.8

表3.8:规划求解选项对话框

到目前为止,我们已经完成对汽车生产问题利用Ewe/进行计算所需要的参数设置，点击C规划求解

参数>对话框（表3.6）右上角的《求解〉按钮,ExcR开始运算。EtcR在完成求解之后,<规划求解结果

>对话框就会出现：

表3.9：规划求解结果对话框

我们看到《规划求解结果〉对话框的提示内容为:“规划求解找到一解，可满足所有的约束及最优状

况”。在选择保存规划求解结果之后，点击〈规划求解结果〉对话框中确实<定>按钮，就返回到扩充后的

Etc”电子表格渗见表3.10。

表3.10:汽车生产问题的最优解

从表3.1（）,我们可以得出汽车生产问题的最生产方案为：

X1=67.54,X?=135.08,X3=200,X4=100，和X$=1339

而利润为:P（max）=16,800.65万元。

如果汽军生产问题（3.2）中的某些数据发生变化，我们也可以利用〈规划求解〉重新计算新的最优

解，比方，工厂混合材料的库存量变成只有5,000m2,我们只需将£比〃电子表格3.9的单元格”5的值

从50,000改为5,000,然后点击<规划求解〉对话框的〈求解〉按钮，就获得新生产方案，参见表3.1lo

表3.11:当混合材料为5,000平方米时，汽车生产方案的最优解

从表3.11中，我们获得混合材料的库存量只有5,000"/时，汽车生产的最优方案：

X|=0,X2=163.88,X3=200,X4=100，和X5=41.78

而利润为:P（max）=14,916.81万元。

到目前为止，我们仅仅是从Excel电子表格（表3.10,表3.11）中获取最优解和最优值。实际上,<规划

求解>还提供丰富多样报告,<规划求解结果>对话框（表3.7）在其〈报告〉选项中提供了三类报告:运行

结果报告，敏感性报告，和极限值报告。这些报告提供了更多更好的有用信息,其中最常用的是运行结果报

告。

为了获得汽车生产方案线性规划问题的运行结果报告,我们首先选中〈规划求解结果〉对话框中<

报告〉下的选项<运行结果报告〉，然后再点击<确认>按钮，就获得如下Excel电子表格,参见表3.12。

表3.12：汽车生产问题的运行结果报告

表3.12是汽车生产问题的运行结果报告,它是由IR标单元格，可变单元格，和约束三个局部:组成.首

先，目标单元格给出了最优目标值，在本例中，目标值是汽车生产问题的利润：

其次,报告的可变单元格局部列出了决策变量的最优解，在本例中，决策变量是每款汽车的生产数量，分别

为：

X1=67.54,X?=135.08,X3=200,X4=100，和=13.39

最后，运行结果报告的约束局部说明了每个约束条件的左端项是否到达右端限制值。如果某个约束条件到

达限制值,对应该约束条件的松弛变量（对于W情况）或剩余变量（对于2情况）的值一定为零，另一方面，未

到达限制值的约束条件，其对应的松弛变量或剩余变量也一定是不等于零。

从表3.12中，我们可以看到混合材料库存约束未到达限制值，也就是说,混合材料库存量尚未用完,

对应该约束条件的松弛变量为:43,771.9（）。而配件A库存约束到达限制值，也就是说，所有配件A都被用

完,对应该约束条件的松弛变量为零。

在本节中，我们将举例说明线性规划在金融，运输，广告预算,人力资源管理，石油提炼，以及食品加工方

面的应用。

3.3.1线性规划在金融行业中的应用:投资组合选择

投资组合管理人利用线性规划工具定量化地确定投资比例。假设中国投资基金正在发行一个固定收

益共同基金，基金经理预测到发行结束之后，可以售出1亿份基金（假设I份基金等于人民币1元）。基金管理

人的首要目标是获取投资收益，第二个目标是通过分散投资控制风险。假设该固定收益基金经理所面临的

企业债券情况如表3.13所列。

表3.13:企业债券根本情况

债券名称当前收益率（％）到期年份等级

A2010非常好

B2019很好

C2006••般

D2007一般

E2011非常好

F2014很好

为了符合分散投资目的，基金管理人决定投资于任何一只债券的资金额不能超过总资金的25%,至

少有一半以上资金投资于长期债券（2009以后），投资在等级为〈一般〉债券上的资金额不能超过总资金

额的30%。

建立线性规划模型的第一步是识别决策变量。在这个问题中，显然投资在每只企业债券上的资金额

为决策变量，那么一共有6个决策变量：

X1=投资在第i只企业债券上的资金额（单位:人民币:万元）

其中,i=A,BCD,瓦产。

第二步是明确目标函数。投资目标是确定决策变量=A,及的值，使投资收益到达最

大,根据表3.13第二列，基金的收益率可表示为：

最后一步是找出所有约束条件。我们可以看到，这个问题共有9个约束条件，第一个约束条件是投资

在6只企业债券上的资金额相加之后应等于100.000,000元，接下来的约束条件是投资债券，的金额不能

超过25%的上限;投资于长期债券（2009以后）的金额必须超过50%;以及投资在等级为《一般〉债券上

的资金额不能超过总资金额的30%,,

由于共同基金的初始资金为10,000万元，用于购置债券的资金必须满足：

投资债券i的上限要求：

投资于长期债券（2009以后）的要求：

投资等级的限制：

最后,投资金额不能为负的要求：

最后，我们给出债券投资方案完整的线性规划模型：

我们将债券投资方案的目标函数和约束条件用扩充ExcH电子表格表示，并用〈规划求解〉进行求

解，获得下表3.14。

表3.14：债券投资组合问题

从表3.14中，我们注意到，在最优选择方案中，投资于债券上的金额等于零;虽然债券户的年收益率高

于债券D的年收益率，投资于债券F的金额却大于投资于债券D的金额。

3.3.2线性规划在市场营销中的应用:最正确广告投放方案

企业的市场部门利用线性规划合理规划企业在各种媒体，比方，电视.播送电台，路边广告牌，和杂志等

媒体上的最正确广告投放方案。例如，强力体育用品厂生产网球拍，高尔夫等高档体育用品。工厂的市场

部正在规划本年度广告投放方案，年度广告总预算是1（）（）万元人民币，选择〈群众体育〉，〈体育世界〉和

〈人民体育>3种杂志作为广告投放对象，广告投放形式是相当于杂志页1/4的广告杂志页。历史数据说

明,投放在<体育世界〉的广告次数不能够超过5次，但至少在<群众体育>和<人民体育>杂志上刊登

两次以上。统计数据说明各种杂志的广告效果与投放量和有效顾客群相关。假设3种杂志的根本数据如

表3.15所列。

表3.15:杂志根本信息

〈群众体育〉〈体育世界〉〈人民体育〉

读者数量（百万）1000600400

有效顾客10%15%7%

广告价格（万元）1056

广告效果1009028

为「构造广告投放方案的线性规划模型，首先需要定义决策变量。在本例中，决策变量是投放在每种

杂志中1/4广告页的数量：

X.二投放在〈群众体育〉杂志中1/4广告页的数量

X2二投放在〈体育世界〉杂志中1/4广告页的数量

X3=投放在〈人民体育〉杂志中1/4广告页的数量

然后，确定广告投放方案线性规划模型的目标函数。显然，市场部的目标是取得最大广告效果,根据表

3.15中最后一行，那么，广告投放方案的II标函数为：

最后，确定广告投放方案线性规划模型的约束条件。共有两类约束，一类是广告预算约束却投放量需

要的资金不超过预算资金：

另一类是投放次数约束,投放在〈体育世界〉的广告次数不能够超过5次：

及至少需要在〈群众体育〉和〈人民体育〉杂志上刊登两次以上：

X,>2,X5>2

投放次数不能为负：

最后,我们给出广告投放方案完整的线性规划模型：

我们用扩充Excel电子表格表示广告投放方案（3.4），并用〈规划求解〉进行求解,参见表3.16。

表3.16:广告投放问题的Excd表格

3.3.3线性规划在运输业中的应用:运输调度

大型制造企业所面临的一个典型的运输问题是如何安排从制造中心（通常是工厂）到销售中心（通常是

区域仓库）之间的运量，使得整体运输费用最小。假设首都电器制造厂在国内拥有3个生产工厂和4个区

域仓库，从工厂到仓库的运输或是通过铁路运输或是通过公路运输。每个工厂生产电视机的年产量参见表

3.17o

表3.17:制造工厂根本信息

工厂年产量（百万台）

郑州100

南昌300

深圳200

总产量600

每个仓库的年度需求量,参见表3.18。

表3.18:区域仓库根本信息

仓库年需求量（百万台）

北京150

上海100

广州200

武汉150

总需求量600

表3.19提供了单台电视机从工厂到仓库的运费。为了计算从每个工厂运到每仓库的电视机数量，我们

还设计运输调度表格，参见表3.20。

表3.19：单台电视机运费单位:元/台

到仓库

从工厂北京上海广州武汉

郑州197321

南昌1521186

深圳11141522

表3.20:电视机运输调度表

仓库

工厂北京⑴上海（2）广州（3）武汉（4）产量

郑州（1）100

X”X|2X|3X|4

南昌（2）300

X。八X23

深圳（3）200

X31X32X33X34

需求量15010020()15()600

假设以1,2,3分别表示郑州，南昌，和深圳工厂，以1,2,3,4分别表示北京，上海，广州，和武汉仓库，那么决

策变量为

=从工厂i运输电视机到仓库）的数量，

其中:i=1,2,3j=1,2,3,4

我们的目标是确定运输量使总运费最低：

这个运输问题共有两类约束条件。第•类约束是从任何1个工厂运往4个仓库的电视机数量不能够

超过自身产量：

Xn+X12+Xl3+X14<100（郑州生产厂）

X2I+x22+X23+x24<300（南昌生产厂）

+X”+X33+X34w200（深圳生产厂）

另一类约束是从3个工厂运到任何1个仓库的电视机数量不能够超过仓库的需求量：

XH+X21+X314150（北京仓库）

X12+X22+X324100（上海仓库）

Xn+X23+X„<150（广州仓库）

Xi4+X24+X^<\50（武汉仓库）

最后，所以运量必须大于等于0,即：

我们获得最优运输调度方案如下：

C=6,250（it）

我们将在第六章中讨论运输问题的数学模型及求解方法。

3.3.4线性规划在人力资源管理中的应用：人力分配

在人力资源管理中，人事经理利用线性规划方法安排，指派工作，使完成某项工作所需本钱最小。假设首

都剪刀厂共有三位工人，老张，老王，和小李，加工1剪刀需要经过钻具，磨具，和切割3道工序。表3.21提供每

位工人使用各种工具的平均时间。

表3.21:加工剪刀耗时信息

完成一项工作所需时间（分钟）

工人钻具磨具切割

老张51010

老王10515

小李151510

我们称这类问题为指派问题。下面分析如何分配3位工人从事那项工作，使加工1把剪刀所需时间最

少。

我们首先需要确定这个指派问题的决策变量：

X&=1表示工人i从事工作八

X..=0表示工人i不从事工作j

其中:i=1,2,3,/=1,2,3

那么，我们一共有9个决策变量。目标函数为使生产1把剪刀所需时间最少：

第一组约束条件是每位工人只能从事1项工作：

XH+XI2+X13=1（老张）

X21+X22+X23=l（老王）

X31+X32+X33=1（小李）

另一组约束是每项工作只能由1位工人完成：

X11+X21+X51=l（钻具）

X12+X22+X32=1（磨具）

XI3+X3+X33=1（切割）

最后，我们对决策变量加上非负限制：

X〃W=1,2,3"=123

这个指派问题的最优解为：

我们将在第六章中讨论指派问题的数学模型及求解方法。

3.3.5线性规划在石化行业中的应用:液体混合

在石油化工行业，线性规划被广泛应用于解决液体混合问题。石油加工厂的管理者们习惯于使用线性

规划制定生产方案，具体地说,为了计算生产某种汽油的最正确混合方案，工厂的计算机根据当日各种原料

信息动态求解汽油混合的线性规划问题。当某种原料出现短缺，用其他原料替代，或某种原料价格发生变

化时，计算机必须重新计算新的混合方案。

首都石化加工厂生产和销售93,和97号无铅汽油。控制这两种汽油质量的关键是催化剂EL和催化

剂E尸的使用量。假设企业最新收到1,500万升93号无铅汽油和500万升97号无铅汽油订单，下面分析

管理部门如何制订最正确混合方案，从而使利润最大。

表3.22:汽油的催化剂，销售价格和订货信息

催化剂(％)

产品催化剂EL催化剂EP销售价格订货量(万升)

93汽油(1)—20101,500

97汽油(2)30--20500

我们看至IJ(参见表3.22),97号汽油中至少含有30%的催化剂EL,93号汽油中至少含有20%的催

化剂另一方面,生产两种汽油的原料分别为:原料。，原料R，和原料S。表3.23给出了3种原料中

催化剂反和EP的含量情况，以及库存量信息。

表3.23:3种原料中催化剂EL和EP的含量

催化剂(％)本钱(元)库存量(万升)

原料催化剂EL催化剂EP

原料-0(1)50022.000

原料R⑵KX)253()500

原料S(3)105041000

因此，管理者需要知道这3种原料的库存量能否满足订货要求，以及这批订单的获利情况。这个汽油

混合问题的决策变量为：

Xg二生产J种汽油需要原料，的数量(万升)淇中"=1,2,3,/=1,2

目标函数是最大化这批订货的总利润。我们首先确定总销售收入，从表3.22看到每升97号汽油的售价是

2()元，每升93号汽油的售价是1()元，那么，总销售收入为：

另一方面，从表3.23中看出，每升原料。的价格是2元，每升原料R的价格是30元，每升原料S的价格是

4元。那么,总本钱可以表示为：

用总销售收入减去总本钱，并且进行合并同类项后，得到总利润目标函数：

本例一共有7个约束条件:其中3个是3种原料的库存量约束,2个是订货量约束，还有2个是催化剂

占汽油的比例限制。我们首先说明库存量约束条件：

第二组约束是每种汽油的产量必须满足订货量：

最后一-组约束条件是每种汽油含催化剂的比例要求，比方说,催化剂EL占97号汽油的比例不能低于

30%o根据表3.23.原料O含有50%的催化剂月心原料R含有100%的催化剂??心原料S含有10%的

催化齐UEL.所以,催化剂EL占97号汽油的最低比例可以表示为：

同样地，原料R含有25%的催化剂EP,原料S含有50%的催化剂EP,催化剂EP占93号汽油的最低

比例可以表示为：

对以上两式进行整理后，有：

用料量不能为负：

最后，我们给出汽油混合问题完整的线性规划模型：

我们用扩充Excel电子表格表示汽油混合问题(3.5)，并用<规划求解>进行求解,参见表3.24。

表3.24：汽油混合问题最优解

从表3.24可以看出,97号汽油是由原料。合成;在满足订单之后,93号汽油的库存量为0,而97号

汽油的库存量为1,000万升。

3.3.6线性规划在食品加工行业中的应用:营养搭配

线性规划在食品加工行业中也具有非常广泛地应用，这一类问题称为营养搭配问题，即通过选择各种

原料在满足根本营养的条件下使生产某种食品的本钱到达最低.

例如,首都压缩食品厂生产各种罐装压缩食品。其中专门为登山爱好者生产的压缩食品。S重1k我,

含有多种营养成分。每件。S给登山爱好者提供1人之内人体所需全部营养,各种营养成分的最低含量如

表3.25的最后一列所示。

表3.25:各种原料含有的萱养成分

每千克原料中各种营养成分含量

营养成分葡萄干花生米仁核桃仁南瓜子奶粉最低含量

卡路里5405,7206,5405,5304.9903.000卡

蛋白质2027015029026056克

铁1030201101010毫克

维他命A23003007009,2001,000亳克

维他命B}

维他命当

尼亚新31701224718亳克

钙6007208305109,120800亳克

胺基酸2.000103009060毫克

价格(千克/元)41

假定各种原料都可随时从本地供给商处获得，没有库存最限制。食品厂管理者希望确定为了生产I件

05需要各种原料的用量。

我们首先定义这个问题的决策变量：

X.=生产H牛OS需要葡萄干的用量

x2=生产1件OS需要花生米仁的用量

x3=生产1件OS需要核桃仁的用量

x4=生产1件QS需要南瓜子的用量

X5=生产1件DS需要奶粉的用量

目标函数是使生产1件DS的总本钱最小：

营养搭配问题的第1个约束条件是I件DS的重量等于所有原料重量之和：

根据I件。S含有各种营养的最低含量，我们有以下9个约束条件：

原料用量必须大于等于零：

最后，我们给出营养搭配问题完整的线性规划模型：

我们用扩充£双包电子表格表示营养搭配问题(3.6),并用〈规划求解〉进行求解,参见表3.26。

表3.26：营养搭配问题最优解

3.4练习

3.1用Exce/电子表格求下面线性规划问题的最优解。

3.2用Ewe/电子表格求线性规划问题：

3.3用ExcR求解下述线性规划问题

ABCDEFGH

3变量符号右端

匹工2当%&

4目标1813251728二Max

5约束1512793<100.000

6约束2201417134<25,000

7约束310100<200

8约束401010<100

9约束5001-10<0

10约束600001<0

3.4用Exce/求解下述线性规划问题

ABCDEFG