第14讲 数据的分析-尖子班

第14讲数据的分析

平均数

中位数和众数

数据的分析

统计图的选择

数据的离散程度

知识点1平均数

1.平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总人数就得到这组数据的平均数;

2.加权平均数：在•组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数

乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数.

【典例】

（2020春•潮南区期末）某单位招考技术人员，考试分笔试和面试两部分，笔试成绩与面试

成绩按6：4记入总成绩，若小李笔试成绩为80分,面试成绩为90分,则他的总成绩为（）

A.84分B.85分C.86分D.87分

【随堂练习】

1.（2020•海门市校级模拟）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数

据75输入为15,那么所求出的平均数与实际平均数的差是（）

A.2.5B.2C.1D.-2

2.（2020•思明区校级二模）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减

少污染，保护环境.为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意

识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设il了“垃圾分类知

识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试.根据测试成绩分

布情况，他们将全部测试成绩分成A、B、C、。四组，绘制了如下统计图表：

“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表

组别分初分频数

A60VxW7038

B704W8072

C80<rW9060

D90<.v<100m

依据以上统计信息解答下列问题:

（1）求得m=,f!=；

（2）为了增强大家对垃圾分类的了解，学校组织每个班级学习相关知识，经过一段时间

的学习后，再次对原来抽取的这曲同学进行问卷测试，发现A组的同学平均成绩提高15

分，8组的同学平均成绩提高10分，C组的同学平均成绩提高5分，。组的同学平均成

绩没有变化，请估计学习后这些同学的平均成绩提高多少分？若把测试成绩超过85分定

为优秀，这些同学再次测试的平均成绩是否达到优秀，为什么？

3.（2020•丰泽区校级模拟）某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为

10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩

余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了新款面包

最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：

日需求量1518212427

频数108732

（1）若该店新款面包出炉的个数均为20个，H需求量为15个，求新款面包的日利润；

（2）试以这30天内新款面包日利润的平均数作为决策依据，说明这款面包日均出炉个

数定为20个还是21个？

4.（2020春•麦积区期末）学期末，某班评选一名优秀学生干部，下表是班长、学习委员

和团支部书记的得分情况:

班长学习委员团支部书记

思想表现242826

学习成绩262624

工作能力282426

假设在评选优秀干部时，思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的.重要比为3：3：4,

通过计算说明谁应当选为优秀学生干部.

知识点2中位数与众数

中位数：将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则处于最中间位置的那个数

据就是该组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则处于最中间位置的两个数据的平均数就

是该组数据的中位数。一组数据的中位数是唯一的。

众数：一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

【典例】

1.一组数据：1,2,1,0,2,小若它们.的众数为1,则这组数据的平均数为

2.在“爱满扬州”慈善一日捐款活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取

了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成下面的统计图.

愕生/人

2（“--------r-i

]4卜I

8

6

2

O

510152025捐款/元

第11题图

（1）这5。名同学捐款的众数为元，中位数为元；

（2）求这50名同学捐款的平均数；

（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数

【方法总结】1.中位数也是反映一组数据的集中趋势的量，有时我们更关注的是该组数据的

中位数，因为中位数不受极端值的影响。求中位数第一步必须按照顺序进行排列

2.一组数据中的众数可能不止•个，众数是反映•组数据的“多数水平”的数据代表

【随堂练习】

1.（2020•浙江自主招生）已知汨，X2,X3,X4,X5为正整数，任取四个数求和，只能得到

44,45,46,47这样四个结果，则这5个数的众数是—.

2.（2020春•孟村县期末）数据5,4,4,3,4,3,2,3,5,3的平均数为小众数为。,

中位数为c,则。、b、c的大小关系是.

3.（2020♦武昌区模拟）某次数学测验中，五位同学的分数分别是89,91,105,105,110,

议组数据的中位数是—.

4.（2020•乐山）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37,40,39,

37,40,38,40.则这组数据的中位数是

5.（2019秋•渝中区校级期末）某企业为了解饮料自动售卖机的销售情况，对甲、乙两个

城市的饮料自动售卖机进行抽样调查，从两个城市中所有的饮料自动仕:卖机中分别抽取

16台，记录下某一天各自的销售情况（单位：元）如下：

甲：25、45>38、22、10、28、61、18、38、45>78、45、58、32、16、78

乙：48、52、21、25、33、12、42、39、41、42、33、44、33、18、68、72

整理、描述数据：对销售金额进行分组，各组的频数如下：

销售金额X0«2020«4040«6060«80

甲3643

乙26ab

分析数据：两组样本数据的平均数、中位数如表所示:

城市中位数平均数众数

甲C39.845

乙4038.9d

请根据以上信息，回答下列问题:

（1）填空：a=,b=,c=,d=.

（2）两个城市目前共有饮料自动售卖机4000台，估计FI销售金额不低于40元的数量约

为多少台？

（3）根据以上数据，你认为甲、乙哪个城市的饮料自动售卖机销伐情况较好？请说明理

由（一条理由即可）.

知识点3从统计图计算集中趋势

数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图.

要点诠释：

这三种统计图各具特点：

条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；

折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；

扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额.

【典例】

某校分别于2012年、2014年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组合作学习的情况

进行调查（开展情况分为较少、有时、常常、总是四种），绘制成部分统计图如下，请根据

图中信息，解答下列问题：

2014年小组合作的

情况扇形统计图

第5题图

（1）a=%/=%，“总是”对应阴影的圆心角为°；

（2）请你补全条形统计图：

（3）若该校2014年共有1200名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习

的学生右多少名？

（4）相比2012年，2014年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？

【方法总结】

1.解决统计图问题的方法，通常是结合两种统计图，对照统计图中各已知量，分析要

求解的量.一般地，首先求出总量，再由总量及部分中的一个已知项求出另一个未知项，由

此逐一求出所有的未知量，从而由所得结果补全统计图

2.统计图中相关量的计算方法：

（1）条形统计图：一般涉及补图，也就是求未知组的频数，方法如下：

①未知组频数=样本容量-已知组频数之和；

②未知组频数=样本容量x该组所占样本容量的百分比.

（2）扇形统计图：一般涉及求未知组的百分比或其所占扇形圆心角的度数

若求未知组在扇形统计图中圆心角的度数，利用360。、其所占百分比即可.

（3）折线统计图一般涉及求增长量.

（4）用样本估算总体：样本频数=总数x样本频率

【随堂练习】

1.（2019秋•顺德区期末）保护环境人人有责，垃圾分类从我做起.某市环保部门为了解

垃圾分类的实施情况，抽样调杳了部分居民小区一段时间内的生活垃圾分类，对数据进

行抠理后绘制了如下两幅统计图（其中A表示可回收垃圾，"表示厨余垃圾，C表示有

害垃圾，D表示其它垃圾）

4

0(3>

830

630

430

230

020

820

620

420

220

010

810

610

410

210

060

860

640

420

20

。

根据图表解答下列问题

（1）这段时间内产生的“厨余垃圾”有多少吨？

（2）在扇形统计图中"部分所占的百分比是多少？C部分所对应的圆心角度数是多少？

（3）“其它垃圾”的数量是“有害垃圾”数量的多少倍？条形统计图中表现出的直观情

况与此相符吗？为什么？

2.（2019秋•万州区期末）为了加强语文课外阅读，某年级积极组织学生参加课外阅读读

书分享会活动.从年级推荐的四种读物A：《水浒传》、B：《骆驼祥子》、C：《昆虫

记》、D：《朝花夕拾》中选择一本读物每周一与班级同学分享读书体会.读书分享会活

动组随机抽取本年级的部分学生，调查他们这四本读物中最喜爱一本读物，并将调查结

果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：

（1）求被调查的学生人数；

（2）补全条形统计图；

（3）已知该年级有1200名学生，估计全年级最喜爱《水浒传》的学生有多少人？最喜

爱读物的人数条形统计图最喜爱读物的人数扇形统计图.

3.（2020春•复兴区期末）我市盘山、黄崖关长城、航母公园三景区是人们节假日游玩的

热点景区.某中学对七年级（1）班学生今年暑假到这三景区游玩的计划做了全面调查，

调查分四个类别，A游三个景区；&游两个景区；C：游一个景区；。：不到这三个景

区游玩.根据调查的结果绘制了不完全的条形统计图和扇形统计图（如图①、图②）如

下，请根据图中所给的信息，解答下列问题：

（1）求七年级（1）班学生人数；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）求扇形统计图中表示“8类别”的圆心角的度数;

（4）若该中学七年级有学生520人，求计划暑假选择A、B、C三个类别出去游玩的学

生有多少人?

4.（2020春•东台市期中）某中学现有在校学生1250人，为了解本校学生的课余活动情况,

采取随机抽样的方法从阅读、运动、娱乐、其它四个方面调查了若干名学生，并将调查

的结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次调查共抽取了多少名学生？

（2）通过计算补全条形图，并求出扇形统计图中“阅读”部分圆心角的度数；

（3）请你估计该中学在课余时间参加“阅读”和“其他”活动的学生一共有多少名？

5.（202（）•常州模拟）初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一.为此某市

教育局对部分学校的九年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为

三个层级，4级：对学习很感兴趣；8级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），

并将调查结果绘制成图①②的统计图（不完整）.请根据图中提供的信息，解答下列问

题：

人数

（I）此次抽样调查中，共调查了名学生;

（2）将图①补充完整;

（3）根据抽样调查结果，请你估计我市近80000名九年级学生中大约有多少名学生学习

态度达标（达标包括A级和3级）？

知识点4数据的离散程度

极差：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们

就把这样的数据叫做极差。一般来说，极差越小则说明数据的波动幅度越小。

方差：各个数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，

记作s2.

标准差：方差的算术平方根叫做一组数据的标准差，记作s

【典例】

1.甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）.根据图中的信息判断，这8次射击中成绩

比较稳定的是（填“甲”或“乙”）

2.某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示:

工种人数每人每月工资/元

电T7000

木工46000

瓦工55000

现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各I名.与调整前相比，该工

程队员工月工资的方差（填“变小”，“不变”或“变大”）

【随堂练习】

1.（202。•河南模拟）某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕以后才发现有

位同学的分数还未登记，只好重新算•次.已知原平均分和原方差分别为7,新平均

分和新方差分别为7；，sR若此同学的得分恰好为％则（）

A1

A,x<x〃B,x='a"

2.（2020•长宁区二模）甲乙两位运动员在•次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同,

甲的方差为1.6；乙的成绩（环）为：7,8,10,6,9,那么这两位运动员中的成绩

较稳定.

综合运用：

L某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折

线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是

2.2017年6月2日，贵阳市生态委发布了《2016年贵阳市环境状况公报》，公报显示，2016

年货阳市生态环境质量进一步提升，小颖根据公报中的部分数据，制成了下面两幅统计图，

请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（I）a=—,b=—；（结果保留整数）

（2）求空气质量等级为“优”在扇形统计图中所占的圆心角的度数；（结果精确到1。）

（3）根据了解，今年1〜5月贵阳市空气质量优良天数为142天，优良率为94%,与2016

年全年的优良率相比，今年前五个月贵阳市空气质量的优良率是提高还是降低了？请对改善

贵阳市空气质量提一条合理化建议

201粹贵阳市空气质量扇形统计图2016年贵阳市空气度量条形统计图

3.八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调杳，

问卷设置了"小说戏剧散文其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了

不完整的频数分布表和扇形统计图.

类别频数（人数）频率

小说0.5

戏剧4

散文100.25

其他6

合计