2026年高考数学复习系列（全国）专题2.5 幂函数与指、对数函数（讲义）（解析版）

专题2.5幂函数与指、对数函数（举一反三复习讲义）

【全国通用】

1、幂函数与指、对数函数

幂函数、指数函数与对数函数是高中三类常见的重要函数，在历年的高

考中都占据着重要的地位，是高考常考的重点、热点内容.从近几年的高考

命题规律情况来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质

为依托，结合指、对数的运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性

分析

质解决具体的问题，包括比较指对幂数的大小、指数与对数的应用、解不等

式等热点题型.在复习过程中要掌握相关知识，能对常见的指数型函数、对

数型函数进行灵活处理.

高考真题考点2023年2024年2025年

统计幂函数与I卷：第4题，5分新课标I卷：第6题，5全国一卷：第8题，5

指、对数函全国甲卷（文数）：第分分

数11题，5分天津卷：第2题，5分北京卷：第4题，4分

北京卷：第4题，4分天津卷：第5题，5分北京卷：第9题，4分

北京卷：第7题，4分天津卷：第7题，5分

上海卷：第14题，4分

预测在2026年全国卷高考数学中，对幂函数与指、对数函数的考查仍

2026年为必考重点，考情较为稳定。题型主要以单选题或填空题的形式考查，分值

占比固定。命题形式主要以指对幂数比较大小、指数与对数的应用、指数函

命题预测数与对数函数的图象与性质等考查方向为主，难度不大。

知识点1幂函数及其解题策略

1．幂函数的解析式

幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.

2．幂函数的图象与性质

在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+∞)上，幂函数

中指数越大，函数图象越远离x轴.

3．比较幂值的大小

在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂

函数的图象和性质是解题的关键.

知识点2指数、对数运算的解题策略

1．指数幂运算的一般原则

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底

数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

2．对数运算的常用技巧

(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然

后用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、

商、幂再运算.

(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意

互化.

知识点3指数函数与对数函数的常见问题及解题思路

1．比较指数式的大小

比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；

(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.

2．指数方程(不等式)的求解思路

指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.

3．指数型函数的解题策略

涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单

调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

4．对数函数图象的识别及应用

(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低

点等)排除不符合要求的选项.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

5．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：

一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是

由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

【题型1指数的运算】

【例1】（2025·河南新乡·二模）（）

83+5

5

A．16B．2=C．32D．

【答案】A82162

【解题思路】应用指数幂运算的性质化简求值.

【解答过程】由.

3+533+5

823−53+54

55

故选：A.2=2=2=2=16

【变式1-1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（）

����

A．B．9C．��2⋅4=D4．132�+�

9

222

【答案】C

【解题思路】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可.

����11

2⋅4=42�+�=1

【解答过程】由，则，即，则，

�����2�2��11

2⋅4=42⋅2=2�+2�=2��2�+�=1

所以，

11��5��59

2�+�=2�+�2�+�=�+�+2≥2�⋅�+2=2

当且仅当，即时等号成立，

��3

�=��=�=2

所以的最小值是.

9

2�+�2

故选：C.

【变式1-2】（2025·辽宁葫芦岛·一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录

方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力

1

10

10

4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（）

A．B．C．D．

1010

811

10108

101010

【答案】A10

【解题思路】由题意结合指数幂的运算法则计算即可得.

【解答过程】由题意可得，视力4.9的视标边长约为：

91cm.

910

1−1010

10

故10选×：A1.0=10×10=10=10

【变式1-3】（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（）

�2�−1

A．B．�,�C．ee=1�D�．

1111

16248

【答案】D

【解题思路】由指数运算可得，再由二次函数可得的最大值.

【解答过程】因为�，+所2以�=1，即��，

�2�−1�+2�−10

故ee=1e，即=e，当�+且2仅�当=1时等号成立，

121111

��=�1−2�=−2�−4+8≤8��≤8�=4

故的最大值为，

1

��8

故选：D.

【题型2对数的运算】

【例2】（2025·浙江金华·一模）已知，则（）

115

log9�+log27�=3�=

A．3B．9C．27D．81

【答案】C

【解题思路】利用换底公式转化，进行求解即可.

【解答过程】，

1155

log9�+log27�=log�9+log�27=log�3=3

所以，则，解得

5.

355535

故选：�C=.3�=3=27�=27

【变式2-1】（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，

印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发

现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇

地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（）倍．（精确到1．参考数据：lg�=4.8+1.5�

）lg87.5≈1.942,lg88.5≈

1.94A7,．lg879.5≈1.952,lgB9．0.858≈1.957C．89D．90

【答案】C

【解题思路】设印尼地震的能量，震级，四川地震的能量，震级，利用对数计算

�1

�1�1=6.3�2�2=5.0lg�2

的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案.

【解答过程】设印尼地震的能量，震级，四川地震的能量，震级.

因为地震时释放出来的能量E（�单1位：焦耳�）1=与6地.3震里氏震级M之间�的2关系为�2=5.0，

所以，lg�=4.8+1.5�

�2

12121

且lg�=lg�−lg�=1.5�−�=，1.5×1.3=1.95

所以lg88.5≈1.947<1，.95<1.952≈lg89.5

�2

88.5<�1<89.5

根据精确度要求精确到1，所以，

�2

�1≈89

故选：C.

【变式2-2】（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（）

A．B．�C．=lg2�=lg3lgD1．2

2

��2���+2�2�+�

【答案】D

【解题思路】结合对数运算性质即可得解．

【解答过程】由对数运算性质可得，

2

故选：D．lg12=lg3×4=lg3+lg4=lg3+lg2=lg3+2lg2=2�+�

【变式2-3】（25-26高一上·新疆·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江

海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天

365

的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退(步1+”率1都%)是，一年后

365365

是1%；这样，一年1.0后1的进≈步37值.78是34退步值(1的−1%)倍那么当进步的值1是%退步的

“”“”365.“”“”

1.01

365365

0.99

值的0.929倍，≈大0.约02经55过（）天.≈1481

（参考数据：，，

A．9lg101≈2.B00．4135lg99≈1.9956Cl．g22≈50.3010)D．35

【答案】D

【解题思路】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，根据题设可得，求解出，即可求解.

1.01�

�(0.99)=2�

【解答过程】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，

1.01�

�0.99

所以()=，2

lg2lg2lg20.30100.3010

1.011.01101

�=log0.992=lg0.99=lg99=lg101−lg99≈2.0043−1.9956=0.0087≈35

故选：D.

【题型3幂函数的图象与性质】

【例3】（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（）

2�+2

A．1B．-3��=C�．-+42�−2�D0,．+1∞或-3

【答案】A

【解题思路】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解.

�或

【解答过程】由题意可得.

2

�+2�−2=1�=−3�=1

故选：⇒⇒�=1

A.�+2>0�>−2

【变式3-1】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，

2�

则（）��=�+�−1�

�A=．－2B．1C．－2或1D．－1或2

【答案】A

【解题思路】本题可先根据幂函数的定义求出的可能值，再结合幂函数图象与坐标轴无公共点的条件确定

的值.��

【解答过程】因为为幂函数，所以，

2

即�，(�解)得或�+.�−1=1

2

当�+�−时2，=0�=−，2其定�义=域1为，图象与坐标轴无公共点，符合题意；

1

−22

�=−2�(�)=�=�{�∣�≠0}

当时，，其图象与坐标轴有公共点，不合题意.

综上�，=1�.(�)=�

故选：A�.=−2

【变式3-2】（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（）条件．

2

2�+2�−3

A．充要B．必要不充分�=2C�．�既不=充�分−也�不−必1要�D．充分不必要

【答案】D

【解题思路】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果.

【解答过程】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足；

5

当�=2��=为�幂函数可得，解得或，

2

2�+2�−32

故必��要性=不�满足−，�−1��−�−1=1�=2�=−1

所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件.

2

2�+2�−3

故选：�D=.2��=�−�−1�

【变式3-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）关于函数，下列说法错误的是（）

−2

A．函数的定义域为��=�

B．函数的值域为−∞,0∪0,+∞

C．函数在上0,单+调∞递减，在上单调递增

D．函数是偶−函∞,数00,+∞

【答案】C

【解题思路】整理可得，结合二次函数分析定义域、值域以及单调性，即可判断ABC；再根据偶函

1

2

��=�

数的定义判断D.

【解答过程】因为函数，

1

−22

��=�=�

对于选项A：令，解得，

2

所以函数的定�义≠域0为�≠0，故A正确；

��−∞,0∪0,+∞

对于选项B：因为，则，可得，

1

22

�≠0�>0��=�>0

所以函数的值域为，故B正确；

对于选项�C：�因为0在,+∞上单调递减，在上单调递增，

2

所以函数在上�=�单−调∞递,0减，在上单0调,+递∞增，故C错误；

对于选项�D�：因为函0,数+∞的定义域为−∞,0，关于原点对称，

且��，可知函数−∞,为0偶∪函0数,+，∞故D正确；

11

22

�−�=−�=�=����

故选：C.

【题型4指数、对数函数的定义域与值域问题】

【例4】（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（）

�

2−1,�<−2

��=2

A．B．C．�−1,�≥−2D．

33

−1,+∞−1,−4�−1,−4

【答案】A

【解题思路】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域.

【解答过程】当�时�，−∞,−2，−因2,为+函∞数在上单调递增，��

��

所以�<−2，此时��=2−1�=；2−∞,−2

�−21�3

当0<2时，<因2为=函4数��=2在−1∈−上1为,−减4函数，在上为增函数，

2

故�≥−2，即��=�−1在−1,0上的值域为0,+∞.

2

综上��所述≥，�函0数=−1的值�域�为=�−1.−2,+∞−1,+∞

故选：A.��−1,+∞

【变式4-1】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（）

2

��=lg1−�−1

A．的定义域为B．在区间上单调递增

��−1,1��0,1

C．的值域为D．的图象关于原点对称

1

��10,10��

【答案】C

【解题思路】根据真数大于0，化简计算，即可判断A的正误；根据复合函数单调性“同增异减”，可判断B

的正误；根据x的范围，可求得真数的范围，根据对数函数性质，可判断C的正误；根据奇函数的定义，

化简整理，即可判定D的正误，即可得答案.

【解答过程】选项A：由题意，即，

21+�

1−�−1>01−�>0

所以，即，解得，故A正确；

(�+1)(1−�)>0(�+1)(�−1)<0−1<�<1

选项B：令，

2

当时�=，1−�−1单调递减，

所以�∈0,1�在=1−�上单调递增，

2

又当�=−1时+，1函−�数0,1在上单调递增，

�>1�=lg�1,+∞

根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确；

2

�(�)=lg�=lg1−�−10,1

选项C：因为，所以，

则−1，<所�以<1，−1<−�<1

2

0<1−�<21−�>1

则，

2

�=−1+1−�>0

所以值域为，故C错误；

�(�)=lg�R

选项D：因为定义域为关于原点对称，且，

21+�

−1,1��=lg1−�−1=lg1−�

所以，

21−�1+�−11+�

所以�−�为奇=函lg数1+，�−图1象关=于lg原1点+�对=称l，g故1−�D正=确−.lg1−�=−�(�)

故选：�(�C).

【变式】（海南一模）若函数且在区间上的值域为，则（）

4-22025··�

2

A．B．��=�C−．13(�>0�≠1)D．50,40,4�=

【答案】B35

【解题思路】利用指数函数性质计算即可得.

【解答过程】由指数函数的性质知必是单调函数，

又，��

0

因为�0值域=为�−1，=所1以−函1=数0在上单调递增，故，

即[0，,4解]得�，(�又)[0,4]，故.�(4)=4

2

故选�：−B1.=4�=±5�>0�=5

【变式4-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则

�

4−2,�≤1

��=��2,+∞

实数的取值范围是（）1+log��+1,�>1

A�．B．C．D．

33

1,22,21,22,2

【答案】D

【解题思路】根据指数函数性质分析可知的值域为，结合题意可得

�

，结合对数函数性质列式求�解�即可=.4−2�≤1�=2,44,+∞⊆

【�解⊆答过2,+程∞】设的值域分别为，

�

当时，则ℎ�=1+l，og可�得�+1�>1；,��=4−2�≤1�,�

�

因为�≤1的值域为0<2≤2，可知�=2,4，

则��，且2,+∞4,，+可∞得⊆�⊆2,+∞，解得，

3

所以�>实1数的ℎ取�值范∈围1是+log�2,+.∞2≤1+log�2<42<�≤2

3

故选：D.�2,2

【题型5指数、对数函数的图象问题】

【例5】（2025·河南·三模）函数的大致图象是（）

−���

��=2−2�

A．B．

C．D．

【答案】B

【解题思路】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据时函数值的符号排除A，

故可得正确的选项.�>0

【解答过程】的定义域为，排除D；

因为��−∞,0∪0,+∞，所以为偶函数，

�−�−�−���

2−2−�2−2�

图象关�−于�y=轴对称，排除C；=⋅=����

当时，，排除A．

−���−��

�>0��=2−2�=2−2<0

故选：B.

【变式5-1】（25-26高三上·天津东丽·开学考试）函数的图象大致是（）

2

��=�−ln�

A．B．

C．D．

【答案】A

【解题思路】由函数奇偶性及特殊点函数值即可判断.

【解答过程】由，可得定义域为，

2

又��=�−ln�，−∞,0∪0,+∞

22

函数�−为�偶=函数−，�故−排ln除−D�，=�−ln�=�(�)

又，结合图像可排查BC，

故选�3：A=.9−ln3>0

【变式】（辽宁模拟预测）函数的部分图象大致为（）

5-22025··�

9−1

�2

��=3⋅�

A．B．

C．D．

【答案】D

【解题思路】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项.

【解答过程】由，可得的定义域为，

��−�

9−13−3

�22

��=3⋅�=���−∞,0∪0,+∞

且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除项；

−��B

3−3

2

�−�=(−�)=−����

，排除C项；

8

�1=3>0

当时，，排除A项.

故选�→：+D∞.��→+∞

【变式5-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（）

22

�(�)=4−�−4ln4−�

A．B．

C．D．

【答案】A

【解题思路】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定.

【解答过程】由已知，定义域为，且，

所以函数为偶函数�，�−2,2�−�=��

故图象�关�于轴对称，

又��，排除�B，D选项；

当�0=时0，，排除C，故A正确．

故选�→：2A．��>0

【题型6指数、对数函数的单调性问题】

【例6】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（）

2

2�−2�

A．B．ln�C−．ln�=1�(�D)．=�

−∞,0−∞,10,+∞1,+∞

【答案】D

【解题思路】根据给定条件求出，再利用复合函数单调性求出递增区间.

【解答过程】由，�得，解得，函数定义域为R，

2

2�−2�

函数ln在�−ln�=上1单调递ln减�，=在1�=上e单调递增�(，�)=e

2

而函数�=�−在2�R上(−单∞调,1递]增，所以函数[1,的+单∞调)递增区间为.

�

故选：D�.=e�(�)[1,+∞)

【变式6-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值

2

范围是（）�(�)=lg�−��−55,+∞�

A．B．

C．−∞,4D．−∞,4

【答案】B4,+∞4,+∞

【解题思路】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可得

的取值范围.

【�解答过程】由函数在上单调递增，

2

可得�(�)在=lg�−�上�单−调5递增(5,， +∞)

2

�(�)=�−��−5(5, +∞)

且在上恒成立，故需满足�，解得.

2≤5

�(�)>0(5,+∞)�≤4

故选：B.�(5)=25−5�−5≥0

【变式6-2】（2025·山东济宁·二模）若函数2在上单调递减，则实数的取值范围是（）

1�−��

A．B．��=C．21,+∞D．�

【答案】A�≤2�≥2�≤1�≥1

【解题思路】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函

2

1�−��1�2

�(�)=(2)�=(2)�=�−��

数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围.

【解答过程】是由�与复合而成，

2

1�−��1�2

�(�)=(2)�=(2)�=�−��

在中，，，所以在上单调递减.

1�11�

�=(2)�=2�=(2)R

因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减，

2

1�−��1�

�(�)=(2)1,+∞�=(2)R

根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增.

2

对于二次函数，其图象开口向上，对�称=轴�为−��1,+∞.

2−��

�=�−���=−2×1=2

二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增，

2

则对称轴需满足，解得.�=�−��1,+∞

�

2≤1�≤2

故选：A.

【变式6-3】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（）

2

A．B．�C．�=log2�−2�D．

【答案】A2,+∞1,+∞−∞,1−∞,0

【解题思路】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可.

22

【解答过程】解：由已知�=得log2�−2�，解得或，�函=数�的−定2义�域为，

2

因为总为增函数，�要−求2函�数>0�<0�>的2单调递增区间，−∞,0∪2,+∞

2

由同增�=异l减og可2�得即求函数�在(�)=log2(�−2�)上的增区间

2

由二次函数的性质可得�=�−2在�−∞,0∪2,+∞上的增区间为，

2

故函数�=�的单−调2�递增−区∞间,0是∪2,+∞.2,+∞

2

故选：A�(.�)=log2(�−2�)2,+∞

【题型7指对幂数比较大小】

【例7】（2025·湖南·一模）若，，，则、、的大小关系为（）

−0.1

70.12

7

A．B．�=log2�=C7．�=7�D．��

【答案】C�<�<��<�<��<�<��<�<�

【解题思路】利用对数函数、幂函数单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系.

【解答过程】因为函数在上为增函数，所以���，即，

7

�=log7�0,+∞log71<log72<log770<�<1

因为，，

−0.10.1

0.127

�=7�=7=2

函数在上为增函数，所以，即，

0.10

0.10.177

故�=�．0,+∞7>2>2�>�>1

故选�>：�C>.�

【变式】（四川绵阳一模）已知，则（）

7-12025··1

32

3

A．�=2B,．�=log4,�=e

C．�<�<�D．�<�<�

【答案】�A<�<��<�<�

【解题思路】对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断.

【解答过程】因为，

3

323

333

又因为对数函数2=log3在=log3上单=调log递增27，且，

所以�=l，og即3�0,.+∞4=16<27

33

log4<，log27，�由<于�，，且函数在上单调递增，

1

2399

�=e=e�=2=4e≈2.7184=2.25�=�[0,+∞)

所以，即.

9

综合以e上>两个4比较�结>果�，可得.

故选：A.�<�<�

【变式】（河南模拟预测）设1，则的大小关系为（）

7-22025··1