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文档简介
专题2.4函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性(举一反三专项训练)
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】...................................................................................................1
【题型2根据函数的单调性求参数】.......................................................................................................................3
【题型3函数的最值问题】.......................................................................................................................................5
【题型4函数的奇偶性及其应用】...........................................................................................................................7
【题型5利用函数的性质比较大小、解不等式】...................................................................................................9
【题型6函数的周期性】.........................................................................................................................................11
【题型7函数的对称性】.........................................................................................................................................13
【题型8函数的图象问题】.....................................................................................................................................14
【题型9原函数与导函数的单调性、奇偶性】.....................................................................................................17
第二部分分层突破
A组基础跟踪练
B组培优提升练
【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】
1.(25-26高一上·河南驻马店·期中)函数的单调递增区间是()
2
A.B.��C.=3�−5�−2D.
551
−∞, 66,+∞−∞,−32,+∞
【答案】D
【解题思路】先求出函数的定义域,再根据复合函数的单调性求解即可.
【解答过程】由,解得或,
21
�=3�−5�−2≥0�≤−3�≥2
所以函数的定义域为,
1
(−∞,−3]∪[2,+∞)
因为在上单调递减,在上单调递增,
1
又因为�(−∞,为−单3)调递增函数,(2,+∞)
�=�
所以函数的单调递增区间是.
故选:D.�=�(�)2,+∞
2.(2025·湖南永州·模拟预测)下列函数中既是奇函数又是增函数的为()
A.B.
3|�|
���
C.�=−D.�=2
13
��=−���=�
【答案】D
【解题思路】逐项判断函数的奇偶性和单调性即可.
【解答过程】对于A:函数为奇函数,在上单调递减,不符合;
3
对于B:函数为�偶�函数=−,�不符合;−∞,+∞
|�|
�
对于C:函数�=2为奇函数,在和分别单调递增,但在整个定义域上不具有单调性,
1
不符合;��=−�−∞,00,+∞
对于D:函数为奇函数,在上单调递增,符合题意.
3
故选:D.��=�−∞,+∞
3.(25-26高一上·广东深圳·期中)已知函数,则函数的单调增区间是()
A.和�B.�=�−23−���
C.−∞,2和.53,+∞D.−∞,2.5
【答案】A2,2.53,+∞2,2.5
【解题思路】讨论x的取值范围,化简,结合二次函数的单调性,即可确定答案.
【解答过程】由于函数��,
当时,��=�−23−�,
2
由于�≤3�(�)=(�−2图)(象3的−对�)称=−轴�为+5�,−则6函数在上单调递增,
255
当�(�)时=,−�+5�−6�=2,−∞,2
2
由于�>3�(�)=(�−图2象)(�的−对3称)=轴�为−5�,+则6函数在上单调递增,
25
�(�)=�−5�+6�=23,+∞
故函数的单调增区间是和.
故选:A�.�=�−23−�−∞,2.53,+∞
4.(25-26高一上·江西·期中)已知是定义域为的减函数,则是()
A.定义域为的增函数��B.定义0域,+为∞的增函数�4−�
C.定义域为0,+∞的减函数D.定义域为−∞,4的减函数
0,+∞−∞,4
【答案】B
【解题思路】先根据的定义域求出的定义域,再通过复合函数单调性判断其单调性.
【解答过程】因为�(的�)定义域为�(4,−所�)以的定义域为,
令,则�(�),[0,+∞)�(4−�)(−∞,4]
�=4−是�一次函�(4数−,�在)=定�义(�域)上是减函数;
�已=知4−�是定义域为的减(函−数∞,,4所]以在定义域上是减函数,
根据复��合函数“同增异0减,+”的∞单调性原则,�(�)为减函数[,0,+∞为)减函数,两者单调性相同,因此
在定义域上是增函数.�=4−��(�)�(4−�)
故选:B.(−∞,4]
【题型2根据函数的单调性求参数】
5.(2025·河北保定·二模)若函数在上单调,则的取值范围是()
�
A.�(�)=2B−.�[1,2]�
C.(0,2]D.[4,+∞)
【答案】(C−∞,2]∪[4,+∞)(0,2]∪[4,+∞)
【解题思路】根据指数函数的单调性可知.对的取值范围进行分类讨论去绝对值,结合指数
��
函数的单调性即可求解.�=22∈[2,4]�
【解答过程】当时,根据指数函数在上单调递增,可知.
��
当时�,∈[1,2],所以�=2R,在2∈上[2,单4]调递增;
���
当�∈−∞,时2,2−�≥0�(�)=2−�=2,−�在�(�)上[1,不2]单调;
�
��−2,�∈1,log2�
�∈2,4�(�)=2−�=��(�)[1,2]
当时,,所以2−�,�∈log2�,2,在上单调递减.
���
综上�,∈4,+∞2−�≤0.�(�)=2−�=�−2�(�)[1,2]
故选:C�.∈−∞,2∪4,+∞
6.(2025·山东济宁·二模)若函数2在上单调递减,则实数的取值范围是()
1�−��
A.B.��=2C.1,+∞D.�
【答案】A�≤2�≥2�≤1�≥1
【解题思路】是由与复合而成,先分析外层函数单调性,再根据复合函
2
1�−��1�2
�(�)=(2)�=(2)�=�−��
数单调性确定内层函数单调性,进而求出的取值范围.
�
【解答过程】是由与复合而成,
2
1�−��1�2
�(�)=(2)�=(2)�=�−��
在中,,,所以在上单调递减.
1�11�
�=(2)�=2�=(2)R
因为在上单调递减,且外层函数在上单调递减,
2
1�−��1�
�(�)=(2)1,+∞�=(2)R
根据复合函数“同增异减”的原则,可知内层函数在上单调递增.
2
对于二次函数,其图象开口向上,对�称=轴�为−��1,+∞.
2−��
二次函数在对称�=轴�右侧−单��调递增,要使在�=−2上×1单=调2递增,
2
则对称轴需满足,解得.�=�−��1,+∞
�
2≤1�≤2
故选:A.
,
7.(2025·河北·模拟预测)若函数,在上单调递增,则m的取
,
log3�+2−2<�≤1
��=�−2,+∞
值范围是()�+��>1
A.B.C.D.
【答案】C−∞,1−1,10,10,+∞
【解题思路】根据分段函数的性质结合已知条件对函数进行分段讨论,当,根据对数函数性质得
出函数单调性和最大值,当,对函数求导,结合函数单调递增,列出−2关<于�≤的1不等式①并得出在
上的最小值,再利用�>1时的最小值不小于时的最大值,�列出关于的不等式�②�,合
并1,求+出∞m的取值范围.�>1−2<�≤1�
【解答过程】若,,因为底数,对数函数为单调递增函数,
在上−的2最<大�值≤为1��=log3�+2.3>1��
3
若��−,2,1,求�导1得=log2+1,=1
��
'2
�>1��=�+���=1−�
要使单调递增,则需满足①对所有恒成立,解得,
�
'22
因为��,则,所以��,=1−�≥0�>1�≤�
2
若�>在1�>上1单调递�增,≤则1②,解得,
所以��−2,+.∞1+�≥1�≥0
故选:0C≤.�≤1
8.(2025·河北·模拟预测)已知函数在上单调,则实数的取值范围为()
1
2
��=log2�−��+30,2�
A.B.
C.−∞,0D.−∞,0∪2,+∞
【答案】A−∞,2∪22,+∞0,2∪2,22
【解题思路】根据对数函数的性质可得不等式在上恒成立,利用分离参数法和基本不等
2
式可得.再结合复合函数的单调性及二�次−函�数�+的3性>质1即可求0,2解实数的取值范围.
【解答过�程<】2由2题意可知,在上恒成立,�
2
所以在lo上g2恒�成−立�,�+3>00,2
2
�−��+3>10,2
即在上恒成立.
2
�<�+�0,2
又由基本不等式可得,当且仅当时,取得等号,
22
��
所以.�+≥2�⋅=22�=2
因为函�<数22在上单调,
所以��0,2在上单调,
2
由复合�函�数=单lo调g2性�可−知��+30,2在上单调,
2
所以结合二次函数的性质�=可�得:−��+3或0,2,解得或.
��
2≤02≥2�≤0�≥4
综上所述,实数的取值范围为.
故选:A.��≤0
【题型3函数的最值问题】
.(高三上甘肃白银月考)已知函数,则在区间上的最大值、最小值分别为()
925-26··2
�
��=1+���1,3
A.最大值为1,最小值为B.最大值为,最小值为
191
442
C.最大值为1,最小值为D.最大值为,最小值为
191
343
【答案】B
【解题思路】令,结合对勾函数的性质求出外层函数的最值即可.
【解答过程】函数�=�+1∈2,4,
22
��+1−2�+1+11
��=�+1=�+1=�+1+�+1−2
令,则,
1
由对�=勾�函+数1的∈性2质,4得,函�数�=�在�=�上+单�−调2递增,
故当,即时,��2,,4当,即时,.
19
�=2�=1��min=2�=4�=3��max=4
故选:B.
10.(25-26高三上·安徽·期中)若,则的最小值是()
A.12B.14��=�+C.�−162+�−4+�−D.62+0�−8��
【答案】A
【解题思路】根据函数解析式作出函数图象,由图象求解.
【解答过程】由,
当时,��=�+�−2+�−4+�−6+�−8,
当�≤0�时�,=−�+2−�+4−�+6−�+8−�=−5�+20,
当0<�≤2时,��=�+2−�+4−�+6−�+8−�=−3�+20,
当2<�≤4时,��=�+�−2+4−�+6−�+8−�=−�+,16
当4<�≤6时,��=�+�−2+�−4+6−�+8−�=�+8,
当6<�时≤,8��=�+�−2+�−4+�−6+8−�=3�,−4
作出�>8的图�象�如=图�所+示�,−2+�−4+�−6+�−8=5�−20
��
即在上单调递减,上单调递增,
所以��当−∞时,4,取最小值4,,+即∞.
故选:A�.=4���4=4+2+0+2+4=12
11.(25-26高一上·北京·期中)已知函数,若函数存在最小值,则实数的
2
−�−�+1,�<0
��=2���
取值范围为()�−2�+�,�≥0
A.B.
C.−2,1D.−2,1
【答案】B−∞,−2∪1,+∞−∞,−2∪1,+∞
【解题思路】首先分析函数在各段的单调性,即可求出的取值范围,结合函数存在最小值得到不等式,
解得即可.��
【解答过程】因为,
2
−�−�+1,�<0
��=2
当时�−,2�所+以�,�≥在0上单调递减,则;
22
当�<0时��=−�−�+1��−∞,,0所以在上��单调>−递�减,+在1上单调递增,
22
所以�≥0��=�−2�,+�=�−1+�−1��0,11,+∞
要使函��数≥�存1在=最�小−值1,则,解得,
2
即实数的�取�值范围为.�−1≤−�+1−2≤�≤1
故选:B�.−2,1
12.(25-26高三上·湖北武汉·月考)已知是上的奇函数,且,若在上单调递
增,且,则在上的最小值是�(�)���=�2−���0,1
A.�1=2��B.�C.D.
【答案】B−1−2−34
【解题思路】分析可知,函数是周期为的周期函数,且该函数的图象关于直线对称,只需求该
函数在上的最小值,结�合�单调性与奇4偶性可得答案.�=1
【解答过−程1】,1因为是上的奇函数,且,则,
所以���,即��=�2−,���=�2−�=−��−2
故函数��+2是周=−期�为�=的�周�期−函2数,��+4=��
又因为��4,所以函数的图象关于直线对称,
要求函数��=在�2上−的�最小值,只需�求�该函数在区间�=上1的最小值,
由对称性,��只需�求该函数在区间上的最小值,−1,3
因为函数是奇函数且在上−单1,1调递增,则该函数在上单调递增,
故函数�在�上单调递0增,1,故−1,0.
故选:B�.�−1,1��min=�−1=−�1=−2
【题型4函数的奇偶性及其应用】
13.(2025·山东·三模)已知为偶函数,则的值为()
2�
�
��=e−1+���
A.B.C.D.
【答案】A1−12−2
【解题思路】利用偶函数的定义可求出的值.
【解答过程】由可得,�故函数的定义域为,
�
e−1≠0�≠0����≠0
因为函数为偶函数,则,
即��,�−�=��
2�2�
−��
−e−1−��=e−1+��
所以对任意的恒成立,
���
2�2�2�2�e2�2�e2�1−e
�−���−����
−2��=e−1+e−1=e−1+ee−1=e−1−e−1=e−1=−2��≠0
故,解得.
故选−2:�A=.−2�=1
14.(2025·广东佛山·一模)设是定义在上的奇函数,当时,,则()
2
A.B.���C.4�>0D.�-4�=3+log��−2=
77
2−2
【答案】D
【解题思路】根据奇函数的性质将转化为即可.
【解答过程】是定义在上的�(奇−函2)数,−�(2)
∵�(�)R.
∴故�选(:−D2).=−�(2)=−(3+log22)=−4
15.(2025·浙江丽水·一模)定义在上的两个函数,恒有,则()
32
A.为奇函数�B.��为,偶�函�数��=��
C.��为奇函数D.��为偶函数
【答案】�B���
【解题思路】借助函数奇偶性定义计算即可得.
【解答过程】由,则,
323223
则�,又�=�定�义域为�,−故�=�为偶−�函数=,�故�B正=确�;�
由已�−知�得=不�到�与��关系,也�得不�到�是否为,故A、C、D错误.
故选:B.���−���+�−�0
16.(2025·云南·模拟预测)已知是定义域为的偶函数,且为奇函数,则
()��R��+1−1�2+�3+
�4A=.6B.5C.4D.3
【答案】D
【解题思路】根据奇函数与偶函数的性质,可得函数的对称性,可得答案.
【解答过程】由函数为偶函数,则轴为该函数图象的一条对称轴;
由函数�为�奇函数,则原点�为该函数图象的一个对称中心.
��+1−1
由函数的图象先向右平移一个单位,再向上平移一个单位,可得到函数的图象,
则�是�函+数1−1的一个对称中心.��
所以1,直1线�是�函数图象的对称轴,是函数图象的对称中心,
�=2��3,1��
由,则,所以.
2+4
2=3�2+�4=2�2+�3+�4=3
故选:D.
【题型5利用函数的性质比较大小、解不等式】
17.(2025·云南·模拟预测)已知是定义在R上的奇函数,且,若对任意的,,
12
均有成立,则不等式��的解集为()�1=1��∈0,+∞
��1−��2
�1−�2>1��−1+1>�
A.B.
C.0,1∪2,+∞D.−2,0∪2,+∞
【答案】A−∞,−2∪0,1−2,−1∪0,1
【解题思路】根据,设函数,则在上递增,判断
��1−��2
�1−�2>1��=��−���=��−�0,+∞��=
也是是定义在R上的奇函数,可得在上递增,分类讨论列不等式求解即可.
【�解�答−过�程】因为对任意的,�均�有=��−�−成∞立,0,不妨设,
��1−��2
121221
则,所以�,�∈0,+∞�−�>1,�>�>0
令�1−�2<0,则��1−��2<�1在−�2⇒�上�1递−增�,1<��2−�2
因为��=是�定�义−在�R上�的�奇函=数�,�所−以�0,+∞是定义在R上的奇函数,
所以��在上递增,��=��−�
不等式��=��−�化−∞为,0,
因为��−1,所+以1>���−,1即−�−1,>所0以⇒��−1>0,
则�1=1,�即1:−1=0�1=0,所以�−1,=−�1=0
��−1>�1�−1>1
⇒�>2�>2
或�−1>0,即:�−1>0,所以,
��−1>�−1�−1>−1
⇒0<�<10<�<1
所以不等�−式1<0的�解−集1为<0,
故选:A.��−1+1>�0,1∪2,+∞
18.(2025·辽宁本溪·模拟预测)已知定义在上的函数的图象关于直线对称,且在
���−1�=1��−∞,0
上单调递减.设,则()
1
�=�log23,�=�ln3,�=�lg9
A.B.C.D.
【答案】D�<�<��<�<��<�<��<�<�
【解题思路】通过函数的奇偶性和单调性即可判断.
【解答过程】因为的图象关于直线对称,所以的图象关于轴对称,所以为偶函数,
又在上�单�−调1递减,所以在�=1上单调递增��.���
由题��得−∞,0��,0,+∞
1
�=�lg9=�−lg9=�lg9
又,因,则
ln3
2
所以0<lg9<10<ln2<1,log3=ln2>ln3>1
即�lg9<.�ln3<�log23
故选�<:�D<.�
19.(2025·重庆·二模)已知函数是定义在上的偶函数,且在上为增函数,设2,
1−5
��R��−∞,0�=2
,,则,,的大小关系是()
22
35
�=A3.�=−3������B.
C.��>��>��D.��>��>��
【答案】�B�>��>����>��>��
【解题思路】易得函数在上为减函数,再利用指数函数和幂函数的单调性得到
求解.��0,+∞�>�>�>0
【解答过程】因为函数是定义在上的偶函数,且在上为增函数,
所以函数在��上为减函数,R��−∞,0
��0,+∞
又2,,
222222
−5
1555355
所以�=2=2,<则3=−3=��=,3>3=−3=�
故选:�>B.�>�>0��>��>��
20.(2025·河北石家庄·三模)已知是定义在上的奇函数,当、且时,都有
1212
成立,��,则不等�式的�解集�为(∈0,) +∞�≠�
�2��1−�1��2
�1�2�1−�2>0�2025=2025��−�>0
A.B.
−∞, −2025∪2025, +∞−2025, 0∪2025, +∞
C.D.
11
−2025, 2025−2025, 2025
【答案】B
【解题思路】对进行变形,得出函数的单调性,再利用函数的单调性和奇偶性解
�2��1−�1��2��
�1�2�1−�2>0��=�
不等式.
【解答过程】由可得��1��2,设函数,,
�2��1−�1��2�1−�2��
则在�1上�2单�1调−�2递增>,0�1−�2>0��=��∈0, +∞
又因�为�0为,+定∞义在上的奇函数,,所以为偶函数,在上单调递减,
�−�
����−�=−�=������−∞,0
而不等式,
��>1�>0
��−�>0⇔
又因为,所�以�<1�<0,
所以不等�2式0的25解=集2为025�2025=�−2.025=1
故选:B.−2025, 0∪2025, +∞
【题型6函数的周期性】
21.(2025·福建泉州·模拟预测)定义在上的奇函数满足,且当时,
,则()R����+2=��0<�≤1��=−
211
�+��2=
A.B.C.D.
1111
2−24−4
【答案】D
【解题思路】根据条件,利用函数的性质,得,再将代入,即可求解.
11112
【解答过程】因为奇函数,又�2,知=−�的2一个周�期=为2�,�=−�+�
所以����+2=�,����=2
11111
�2=�2×3−2=�−2=−�2
又当时,,所以,则,
2
21111111
故选:0D<.�≤1��=−�+��2=−2+2=4�2=−4
22.(2025·福建泉州·模拟预测)已知定义域上的函数满足,且当时,
,则()R����+2=−���∈0,2��=
2
�−A2.��2025=B.C.D.
【答案】B−2−101
【解题思路】求得函数的周期,利用周期函数的性质求解即可.
【解答过程】由��,可得,
所以是周期�为�4+的2周=期−函�数�,��+4=−��+2=��
��
所以.
2
故选:�2B0.25=�4×506+1=�1=1−2×1=−1
23.(2025·全国·模拟预测)已知函数及其导函数的定义域均为,记
′′
是定义在上的奇函数,且�的�一个周期为2�,�则()���=��,�=�2�−1+1
A.2�为的周期�2�+1B.
C.��D.�2025+�−2023=2
【答案】�D−�=���3+�=�3−�
【解题思路】根据函数奇偶性,得到对称性和周期性,逐个计算判断即可.
【解答过程】因为是定义在上的奇函数,
所以�=�(2�−1)+1,�
所以�(−2�−1)+1+�(2�−1),+1=0
所以�(−�关−于1)+�(�−1)对=−称2,且,
又�(�)的一(−个1周,−期1为)2,�(−1)=−1
所以�(2�+1),即,
所以�[2(�+2)+1]=,�所(2以�+1)的周�期(2为�+45,)=所�以(2�A+选1项)错误;
因为�(�+4)=�(�)�(�),
所以�(−�−1)+�(�−1)=−,2
又�(−的�周)+期�为(�4−,2)即=−2,
所以�(�)�(�−,2)=�(�+2)
所以�(−�)+�(�+2)=−2,所以B选项错误;
因为�(−2023)+�(2025)=−,2,
所以�(−�)+�(�+2)=−2,�(�+4)=�(�),
′′′′
即−�(−�)+�(�+2)=,0�(�+4)=�(,�)
所以−�(−�)+�(�+2)=0�,(�+4)=�(�),
所以−�(−�)+�(�−2),=0−�(−�)+�(�,+6)=0
所以C�(选−项�)错=误�(,�D−2选)项正�(确�.+3)=�(3−�)
故选:D.
24.(2025·江苏南通·模拟预测)设是定义在上的函数,对,有
,且,则�(�)()�∀�,�∈��(�+�)−�(�−�)=�(�+
1)�(�−1)�(2)=−2�(�(2025))=
A.2B.-2C.1D.-1
【答案】A
【解题思路】根据给定条件,利用赋值法探讨函数的周期,再求出函数值.
【解答过程】函数,对,有,
取,得�(�)∀�,�∈��,(�而+�)−�(�−,�则)=�(�+,1)�(�−1)
对�=�=,1令�(2,)得−�(0)=�(2)�(0)�(2)=−2�(0)=2,
即∀�∈��=1,�(因�+此1)−�(�−1)=�(�+1)�(0)=2�(�+1),函数周期为4,
令�(�+1)=,−得�(�−1)�(,�+而4)=−�(�+2)=−[−,�则(�)]=�(�)�(�),
所以�=�=0�(1)�(−1)=0�.(�+1)=−�(�−1)�(1)=−�(−1)
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