初中数学60个几何模型专题复习：模型25 将军饮马之“两定点一定长”模型

模型25将军饮马之“两定点一定长”模型

模型展现

基础模型

类

异侧两定点一定长同侧两定点一定长

型

A

7、、/，

图

示n

-------乂y-------PV\/Q

4”

点A,B为河岸两侧两定点，m〃n,m,n之点AB为直线1同侧两定点,在直线1上找P,

特

间的距离为5在直线m,n上分别找两点P,Q,Q两点，使得PQ=d.且AP+PQ+QB最小（建景观带

点

使得PQ_Lm,且AP+PQ+QB最小（建桥问题）'可题）

将点A向右平移d个单位长度至点A\作

将点A向下平移d个单位长度至点A1，连

结A，关于直线1的对称点A".连接A"B交直线1于点

接AB交直线n于点Q,过点Q作PQ_Lm

论Q,将点Q向左平移d个单位长度得到点P.此时

交m于点P,此时AP+PQ+QB最小

AP+PQ+QB最小

结论分析

结论：将点A向下平移（1个单位长度至点A',连接A'B交直线n于点Q,过点Q作PQIm交m于点PJ比时A

P+PQ+QB最小

证明：由平移知AP=A'Q.

•••AP+PQ+QB=A'Q+QB+PQ,

•・•PQ为定长d,

:.只需要AQ+QB最小.

VA:B两点之间线段A'B最短，

AAP+QB+PQ的最小值为A'B+d.

结论：将点A向右平移d个单位长度至点A、作A，关于直线1的对称点A“，连接A”B交直线1于点Q,将点

Q向左平移d个单位长度得到点P,此时AP+PQ+QB最小

证明:由平移知AP=AQ,由轴对称的性质知AQ=AQ,即AP=Af,Q,AP+PQ+QB=A"Q+QB+PQ,

VPQ为定长d,

:,只需要A"Q+QB最小.

•IA”,B两点之间线段A"B最短.

AAP+PQ+QB的最小值为A-B+d.

?怎么用

I.找模型

遇到两定点一定长线段考虑到将军饮马一两定点一定长.模型

2.用模型

异测两定点一定长先平移再连接线段；同侧两定点一定长先平移再作对称，最后连接线段，利用三角形的三边

关系及两点之间线段最短来确定最值点位置

满分技法

求两条线段和最小，要建立转化和数形结合思想，将所求线段进行平移、旋转、对称等方法转化到同一直线或

折线上，再根据化折为直、两点之间线段最短、垂线段最短等进行求解.

模型典例

例I模型构造如图，在四边形ABCD中,AB=BC=2,AD=CD,NABC=60。,点M,N在BD上.且MN=1,则AM+C

例1题图

例2如图.在矩形ABCD中.AB=2.BC=4点E为AB的中点,P.Q为AD边上两个动点,且PQ=1,当四边形CP

QE的周长最小时,DP的长为

针对训练

1.如图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC上一点且不与点B,C重合，连接AE交BD于点F.P是边

CD上一点，且DP=2CP,Q为对角线BD上一点，且QF号BD厕AF+PQ的最小值为.

第1题图

2.如图,正方形ABCD的边长为2V5,点E,F在对角线BD上运动，且EF=2,连接AE,AF,则△AEF周长的最小值

第2题图

3.如图,在扇形OAB中,NAOB=90OQA=6点C为0B的中点，过点C作CDXOB交通于点D,点E,F

均为线段0A上的动点，且点F在点E的下方.EF=6，连接ED.FC,则四边形CDEF周长的最小值为

例2题解图

针对训练

1.封亘【解析】如解图，过点P作PE〃BD交CB于点E,VDP-2CP,/.CP:CD-1:3,/.PE:BD-1:3,CE:BC

3

=1:3,/.CE=；,BE=：,・・・PE〃BD,，Z\CPEsZ\CDB,且相似比为1:3,EPQF==QF,・「PE〃BD,

・•・四边形FEPQ为平行四边形,••.QP=FE,・・.AF+PQ=AF+FE2AE,・・.AF+PQ的最小值为AE的长.此时AE=

7ABz+BE?=旧+（丁=竽

第1题解图

2.2+277【解析】如解图作AH〃BD使得AH=EF=2.连接CH交BD于点F,则AE+AF的值最小，即4

AEF的周长最小.连接ACJ；四边形ABCD为正方形,，BD垂直平分AC,・•・点A,C是关于BD的对称点...AF

=CF,VAH=EF,AH//EF,/.四边开乡EFHA是平彳亍四边形,，EA=FH,VAF=CF,.\AE+AF=FH+CF=CH,V正方形ABCD

的边长为2V3,AAC=2%,AH〃EF,ACJLBD.AAC±AH,.\ZCAH=90。,在RtACAH中,CH=

>JAC2-^AH2=J(2在『+22=2近,AE+/IF的最小值为2V7,AAAEF的周长的最小值为2+2®

第2题解困

3.8V3【解析】如解图，作点C关于OA的对称点C：则CU=6,作CD/OA,且CD'=VI连接DD

交OA于点E,在点E的下方截取EF=CD'=V5,连接CF,CF,此时.四边形CDEF是平行四边形，则CF=CF

=四边形CDEF的周长最小，最小值为EF+CD+DD：连接OD,则OA=OB=OD=6「・,OC=\OB=3,.-.CD=

\jOD2_OC?=462-32=3V5作D'M±CD于点M,则CM=C'D'=V3,D'M=CC'=6,/.DM=DC-CM=3V3-V3=

2g,DD1=y/DfM2+DM2=4四,，四边形CDEF周长的最小值为EF+CD+DD'=V34-3>/3+473=873.

第3题解图

4.解：如解图，作点A到河岸的垂线，分别交河岸MN.PQ于点E,G.在AG上取AF=CD.连接FB.FB交PQ

于点D,在。处作到对岸的垂线DC,那么DC就是造桥的位置，比时从凉亭A出发经过桥后到达凉亭B的路

程最短

VAF=CD',AF/7CD,,

:.四边形FD'C'A是平行四边形，

:.AC=FD',

AC+CD'+D'B=FD'+D'B+CD'=FB+C'D;

过点B作BH〃PQ交AG的延长线于点H.由题意可得HB=1600m,AE=800m,GH=400m,EG=CD'=

100m,

.