东华大学概率论与数理统计B考试大纲final(带公式)

概率论与数理统计B

考试大纲

答疑：1月5日下午3：00-4：30。2号学院楼543。

第2章描述统计学

1.样本均值、样本方差、样本标准差的计算；

n

x=Xi/n

*=i

S~n-1-n-1

ft=\T^

2.样本中位数、分位数；

先对数据按从小到大排序。如果即不是整数，则第［的］+1个数据是100庚分位数。如果即

是一个整数，那么100那分位数取第［加和第［w］+1个值的平均值。特别地，中位数是50%

分位数。

3.样本相关系数。

<2_£/1(-一土)(如一0

SXU—r»-1'

到~3T)2£。|(训一刃2

重点例题：例2.3.1,例2.3.7,例2.3.8,例2.6.2。

重点习题：P5ex4,P29ex6,exl2

第3章概率论基础

1.样本空间，事件的并、交、补，文图和德摩根律;

(EUF)c=ECFC,(EF)C=眇U产

2.概率的定义、补事件计算公式、并事件计算公式；

对于任何的互不相交事件序列，P(U?=1E)=PE,)

P(EC}=1-P(E］

〃(七［J")=，⑻+，(卜')-〃(£/')

3.等可能概型的计算，排列和组合；

p(p\_N(E)

/⑷一'NiS)

4.条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式;

P(E\F)=黯，P(EF)=P(F)P(E\F]

P(E)=P(F)P(E\F)+P(FC)P(E\FC]

P(EF)_P(F)P(E\F)

P(F\E)=P(E)~P(F)P(E\F)+P(Ff-)P(E\Fe)

4.事件独立性及其概率的计算。

P(EF)=P(E)P(F]

重点例题：例3.5.4,例3.5.7,例3.7.1,例3.7.2,例3.8.1

重点习题：P53exl2,oxl3,exl8,ex25,ox29,ex31,ex33,cx35,ex47

第4章随机变量与数学期望

1.随机变量的分布函数及其性质：

F(x)=P[X<7}.-(X)<x<oc

2.离散型随机变量的概率质量函数及其性质，有关概率的计算；

离散型随机变量：取值集合有限或者是一个数列必，六：,2,…。

概率质量函数：〃(1?)=P[X=/i},，=L2L”

0<〃的)<1=1

3.连续型随机变量的概率密度函数及其性质，有关概率的计算；

连续型随机变量：随机变量的可能的取值是一个区间。

概率密度函数：对任意一个实数集Bp{xeB}=ff[x}dx有

fM>o,.fX/(/)由:=i，

F(a)=f^f(x)dx^F(x)=f(x)

P(a<X<b)=f(x)dx,Vx6R.P(X==0

4二维随机变量的联合分布函数、联合质量函数、联合密度函数，有关概率的计算;

F(x,y)=P{X<电丫Wy}

p(xi,tjj)—P{X—Xi,Y=y,},z=1.2.•••,j—1.2.•••

Ei£,〃(如为)=1

P{X=Xi}=£,〃(即为)，P[Y=yj}=£网%W)

P{(X,Y)eC}=—(z,y)d哂

.f^,f^f(x,y)dxdy=1

F(a，b)=J，/(•%y)(h'dy,f(x,y)=赢F(*y]

fx(x)=」曹/(瑞u)dg,/、Q)=f(x,y)dx

5.随机变量的独立性，有关概率的计算；

随机变量X与Y独立：P\xeA.YeB)=P\XeA}P{YGB},¥A.B;

分布函数F(x,y)=Fx(x)Fy(y)V①,少

离散型=PxMPY(y))-

连续型f(x,y)=fxMfv(y)^V.7：,y

6.怎样求连续型随机变量函数的密度函数(先求分布函数，再求导)；

Y=g(X)

FY(y)=P(g(X)<y)=fx(x)dx

fy(y)=/&㈤

7.数学期望(离散型，连续型)，函数的数学期望(离散型，连续性)；

离散型E[X]=^^iP{X=Xi}

E[g(X)]=(勺)p(g)

司o(x.丫)]=g(%yj)p(xi,坊)

连续型E团=xf(r)da,

E[g(X)]=

E(g(X.Y)]=fX/X。(汕V)/(①，亦心必

8.数学期望的性质

E\(i\=a,Va€R

E[aX]=aE\X],Va€A

E\X+y]=E\X]+E\Y\E⑻％Xi]=23E居

E\(X-c)2l》E\(X-E\X])2],Vc€R

当]与y独立时，E\,XY\^E[X\叔力

9.方差和它的性质

Var(X)=E\(X-E\X]]2]=E\X2]-(E\X])2

Var(a)=0,Va€A：

Var(aX)=a2Var(X),V。€R;

nn

当X与Y独立，Var(X±Y)=Var(X)+Var(/>Var(£X,)=£Var(X,J

10协方差、相关系数，有关性质;

cov(x.y)=E\(X一E[x])(y-E\Y])]=E\XY]-E\X]E\V

Cov(X.y)=Cov(KX]

Cov(ox.y)=«,cov(x.r;

Cov(X+Z,y)=Cov(X.Y)+Cov(Z.Y)

Var(X+r)=Var(X)+Var(V)+2Cov(X,Y]

Cov(X.y)

Corr(X,Y)=

yyVar(X}Va^)

-1wCorr(X.y)(1

Corr（%»=l或T,当且仅当X和1线性相关，即P（—%加=1（当月0,相关系数为1;当

〃<0,相关系数为-1）

当x与Y独立时，x与Y不相关，即cov（x.y）=COIT（X.Y）=（）.

11.矩母函数，利用矩母函数求各阶矩:

矩

JEYPQ),若x高散

E[Xn]=

若x连续

矩母函数

£*>(%),若X离散

。⑴=E[etx]=

若X连续

利用矩母函数求各阶矩

,（50）-E[X]">1

12.切比雪夫不等式，弱大数定律，概率的频率意义.

切比雪夫不等式

P{|X—川<AVT}》1—吉，VA>>0

弱大数定律：样本均值趋向于总体均值

Xi+…+x„1

P{------------------------n>£）—>0,n—>oc

n

频率趋向于概率

F{|--P（/l）|>e}0.71Toe

重点例题：例4.2.1,例4.2.2,例4.3.1,例4.3.3,例4.3.4,例4.4.1,例4.5.2,例

4.5.7,例4.6.1,例4.7.1。

重点习题：P86exl,ex4,ex6,ex9.exlO,exl2,ex13,ex27,ex43,ex44,ex46,ex53,

ex56

第五章特殊随机变量

1伯努利实验和伯努利分布，数学期望和方差；

伯努利（Bernoulli）试验：在一次试验中，其结果可以归为一成功''和一失败''两类。

Xi01E[X]=p

Pi1-ppVar(X)=p(l-p)

2.二项分布：应用背景，概率质量函数，单调性，伯努利分解，可加性，数学期望和方差;

应用背景：伯努利试验“成功”的概率每次都为P,这样独立进行〃次，那么“成功”的

总次数才服从参数为（〃，P）二项分布，记为父以〃,2）。

P{X=i}=。"（1一〃尸「）=0.1

单调性：小六?）当/<（〃+1）夕递增，当》（加1）夕递减。

二项分布的伯努利分解：设才〜以〃，夕），那么X=£；LX〃其中％相互独立，且为相同

的伯努利分布.

可加性：如果>与F独立，且X〜8（〃，p）,V〜4（m,夕），那么户V〜8（〃p）。

E\X]=〃〃，Var（X）=np（1—p）.

3.泊松分布：应用背景，概率质量函数，单调性，数学期望和方差，可加性，二项分布的

泊松近似；

应用背景：根据二项分布的泊松近似，一段时间内某种随机事件发生的次数。

P{X=z}=e-^7r.«=0.1.2,••■

单调性：/</时递增，>>/时递减-

E\X]=Var(X)=A

泊松分布的可加性：设方和尤为相互独立的泊松随机变量，它们的均值分别为人和4那

么％+%为均值是九+4的泊松随机变量。

二项分布的泊松近似：设厂夙〃，夕)。当〃很大夕很小时，其分布近似于参数为1=.切的

泊松分布

4.均匀分布：应用背景，概率密度函数，数学期望和方差，二维均匀分布，有关概率的计

算；

应用背景：随机变量/在区间3上等可能取值

概率密度函数：f(x)=(六.C»

[0.otherwise

E\X]=Var(X)=

二维均匀分布：/(“)=卜①

0.otherwise

5.正态分布：应用背景，概率密度函数及其对称性，数学期望和方差，标准正态分布N(0,l)，

正态分布的标准化和概率计算，线性性质，独立和的性质，分位数及其对称性；

应用背景：根据中心极限定理，大量独立随机变量的和近似服从正态分布。

2

密度函数：Fs2)./(.r)=另7c2/，—知<rr<

E[X]=m,Var(J)=52

标准正态分布MO,1)：fz(x)=4L6一亍,一00<z<oc

V2TT

线性性质：正态随机变量的线性函数仍是正态分布。设厂趴仅S)那么对任意乱分0,

}-a-f-bX"N(a+bni,1)s}.

特别地，Z=勺〜N(O.l),P((i<X<b)=力(号)一回号)。

假设X,.”L2,….〃相互独立，且Xi〜Ng.舟,则②二"i，邛=1喈。

»=1

标准正态分布Z的100(1a)%(下)百分位数Za：P{Z>zn}=l-4>(z0)=ao

对称性：Zl-a=-Za

6.指数分布：应用背景，概率密度函数，数学期望和方差，无记忆性，有关概率的计算；

应用背景：如果单位时间内“事件发生”数是参数1泊虫分布(称为泊松过程)，那么两次

“发生”之间的间隔时间长度就是参数1的指数分布。

概率密度函数：/(])=(丁：J!!(A>0]

E[X]=1,Var(X)=9

无记忆性

P{X>3+"X>t]=P{X>s},Vs">0

7.卡方分布：定义，可加性，分位数；

定义:若Z,%,…，Z相互独立,且都服从N(0,1),则称其平方和X=Z；+Z?+…+Z?

服从自由度n的c?(卡方)分布。

可加性：当X1和凡分别为自由度为m和山的C?随机变量且相互独立时，则先+刈服从自由

度为ni+山的c2分布.

100(1-a)%百分位数CJa.n：P{X》Xa.n}=Q

8.t-分布：定义，对称性，与N(0,l)的关系，分位数;

设—N(0,1),he),Z和X独立，则称随机变量7；=服从自由度n的E-分布。

当n®¥,Tn®N(0,1)

图5.16:h_Q,n一^a,n

9.F分布：定义，分位数，倒数性质。

设X和Y分别服从自由度为n和m的c2分布，且相互独立，称尸〃仙=兴^服从自由度为n

和m的F-分布。

P{Fn,m>。fa,n,m

重点例题：例5.1.1,例5.2.4,例5.2.6,例5.5.2,例5.5.4,例5.6.1,例5.8.4.

重点习题：cx5,ex6,exl1,exl6,exl8,cx22,ex26,ex28,cx36,ex37,ex47

第六章统计抽样的分布

1.总体、样本及其观测值、统计量；

样本：若片，X2,…，X”是独立随机变量，且具有相同的分布F,则称它们构成来自分布F

的一个样本.n称为样本容量。样本的观测数据称为样本观测值为，的…，A

统计量：不含未知参数的样本函数。

2.样本均值：定义，数学期望和方差；

2

设总体X（不一定是正态分布），E[X]=m,Var（X）=s«样本Xi,X2,…，X”。

样本均值X=九,E\X]=//,Var（X）=

3.中心极限定理：基本定理，二项分布的正态近似，样本均值的近似分布；

基本定理：设片，X%…，X”为独立同分布的随机变量序列，并均具有均值m和方差$2（无

论分布类型是什么），则对充分大的n（30以上），Xi+X?+…+X"近似服从正态分布

N（nm,ns2）。

二项分布的正态近似：设厂以〃,〃），对充分大的n（30以上），X近似服从正态分布N（即,

np（]~p））

样本均值的近似分布：设总体X（不一定是正态分布），E[X]=m,VaNXhs?。样本X1,先，…,

Xn.当n充分大（3。以上）,近似有灭〜N（〃.与

4.样本方差：定义，数学期望；

样本方差S2=『尸产，EFT=

样本标准差S=A

5.正态总体：样本均值按N（0,1）（方差已知时）或t-分布（方差未知时），样本方差按卡

方分布，样本均值与样本方差独立.

定理：设总体X~N(m,s2)。样本Xi,X2,…，Xn°则

⑴导〜N(o.l),⑵叫乒~x-i，⑶M与S’独立，⑷舞〜，

重点例题：例6.3.2,例6.3.3,例6.3.5,例6.5.1。

重点习题：P148ex6,exl4,exl8,ex19,ex30

第七章参数估计

1.估计量与估计值

参数估计：设总体分布为其中q为未知参数。样本X.,X2,…，儿，独立且与总体同

分布。需要估计q。

估计量：用来估计未知参数q的统计量，记为.X”)

估计值：估计量的观察值日(11,12,…,tn)

无偏估计量：E例Xi.X2.--，X〃)］=6

2.极大似然估计：定义，似然函数，对数似然方程；

似然函数：若总体的密度函数(或质量函数)为f(x|q),其联合概率函数(称为似然函数)

/的，物…/n|0)=n工

极大似然估计：求。使得…点)=niax/E，%…，圆⑻

对数似然方程第log/(M%/16)=0

3.伯努利分布、泊松分布、正态分布的极大似然估计；

贝努里分布：P的极大似然估计是观测数中成功的比例。

泊松分布极大似然估计5=毕=3

正态分布N(m,s2)的极大似然估计：

1”

“=—Xi=x

n»=1

/=1V(X-A)2=^S2

n一n

f=l

正态分布方差S?的无偏估计沿=

4.置信区间的定义；

参数q的100(1-aK置信区间电.会满足〃间<f)<f)2)=\-a

5.正态总体均值的双侧置信区间(方差已知)；

(亍一%/2%•下+%/2/)

6.正态总体方差的双侧置信区间.

(?一］)§2«一］)32

重点例题：例7.2.3,例7.2.5,例7.例1,例7.3.4,例7.3.8

重点习题：P181exl,ex3,ex10,exl3,ex36

第八章假设检验

1.假设检验的基本概念：原假设与备择假设，拒绝域构造原理，显著性水平，两类错误;

原假设H0,备择假设H1：

显著性检验：H1是否显著，以至于可以拒绝H0；

第一类错误一一拒绝了正确的假设，第二类错误一一接受了错误的假设：

显著性水平=P（样本观测值落入拒绝域IH0真人犯第一类错误的概率。

2.方差已知时正态总体均值的Z检验（双侧，右侧，左侧）;

表8.1:X1,…，Xn是来自阳出。2）的•个样本。总体的已知,x=

i=l

Ho当检验统计量TS显著性水平a检验TS=1时的P—值

〃=〃0〃#Mo/日一赭1。当|TS|>20/2时，拒绝2P{Z>|d}

〃<〃0〃>〃o\/n(X-〃o)/。“ITS〉之时，拒绝P[Z>t}

M<MOy(x-〃o)/。当TSV—Za时，拒绝P{Z<t]

Z是标准正态分布的随机变量

双侧检验（临界值法或p值法）

左侧检验（临界值法或P值法）右侧检验（临界值法或P值法）

3.置信区间与拒绝域的关系；

若原假设落在未知参数的100（1-）%的置信区间内，则在显著性水平下，接受H0,否则

拒绝H0。

4.方差己知时两个正态总体均值相等的Z检验（双侧）；

5.方差未知但相等时两个正态总体均值相等的t检验（双侧）;

表8.4:X],…，/是来自用的样本;匕,…，匕是来自N（〃2,说）的样本。

两独立样木的检脸Ho:〃I=〃2对H]：“中〃2

假设检验统计依rs品著性水平0TS=f时的p—值

彦_p如|TS|>短，拒绝

01g已知