大单元视角下认识一次函数起始课教学设计（初中数学八年级北师大版）

大单元视角下认识一次函数起始课教学设计（初中数学八年级北师大版）

一、教学内容与学科背景定位

本教学设计针对初中数学八年级上册（北师大版）第四章“一次函数”的第二节“认识一次函数”。本节课是在学生学习了变量之间的关系、平面直角坐标系以及函数概念之后，首次系统性地研究一类具体且基础的初等函数。它既是函数概念的深化与应用，也是后续学习一次函数的图像与性质、二元一次方程（组）以及更复杂函数（如反比例函数、二次函数）的基石，在整个初中数学知识体系中起着承上启下的关键作用。本节课的学科定位在于引导学生从现实情境中抽象出一次函数和正比例函数的概念，理解其数学表达形式，体会数学建模思想，并为后续的图像与性质探究埋下伏笔。作为单元起始课，其核心价值在于“认识”与“建构”，即帮助学生建立对一次函数的直观印象和形式化定义，开启对一类特殊变量关系的系统研究。

二、课标要求与核心素养导向

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对函数的学习提出了明确要求：强调在具体情境中理解函数的意义，能对具体问题中的数量关系和变化规律进行分析，并能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。具体到本节课，要求学生会用待定系数法确定一次函数的表达式，但更侧重于“认识”的过程。基于此，本教学设计旨在落实以下数学核心素养：

（一）抽象能力：引导学生从不同现实情境中，舍去问题的具体背景，抽取共同的、本质的数学特征，即两个变量之间的一种特殊对应关系，其表达式均可化为y=kx+b（k≠0）的形式。

（二）模型观念：通过对行程、工程、销售等实际问题的分析，让学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程，初步形成用函数模型刻画现实世界中简单变量关系的意识。

（三）几何直观：虽然本节课不涉及图像绘制，但通过有意识地引导学生联想在平面直角坐标系中这些关系可能的图像特征（如是否为一条直线），为后续学习埋下伏笔，初步建立数与形的联系。

（四）推理能力：在根据定义判断一个函数是否为一次函数或正比例函数的过程中，培养学生依据概念进行逻辑判断和推理的能力。

三、学情分析与教学起点研判

（一）知识储备【基础】：学生已掌握了用字母表示数，理解了变量、常量以及变量之间的关系，能够从表格、图像、关系式中获取信息。特别是在上一节“函数”的学习中，已经建立了“对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应”的概念。同时，学生也已熟悉了列代数式和解简单一元一次方程。

（二）认知特点【重要】：八年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期。他们对于具体、直观的情境有较强的感知力，但对于从多个具体情境中抽象出共同的数学模型，并形成严谨的数学定义，还存在一定困难。他们习惯于处理单一情境下的数量关系，对于形式化定义的理解需要教师的引导和点拨。

（三）潜在困难【难点】：1.从大量信息中识别常量与变量，并准确建立变量之间的函数关系式。2.理解一次函数解析式y=kx+b中，k≠0这一限制条件的必要性。3.厘清一次函数与正比例函数的包含与被包含关系。4.将实际问题中的自变量取值范围与一般形式中的全体实数区分开来，初步建立函数定义域的意识。

四、教学目标设计

（一）知识与技能目标【核心概念】：

1.理解一次函数和正比例函数的概念，掌握其解析式的一般形式y=kx+b（k，b为常数，k≠0）和y=kx（k为常数，k≠0）。

2.能根据问题中的信息，列出简单实际问题中变量之间的一次函数关系式。

3.能根据一次函数和正比例函数的定义，识别并判断一个函数是否为一次函数或正比例函数。

（二）过程与方法目标【能力主线】：

4.经历从“问题情境——建立模型”的过程，体会数学建模思想，发展抽象能力和符号意识。

5.通过对多个实例的分析、比较、归纳，培养观察、分析和概括能力，感受从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法。

（三）情感态度与价值观目标【育人价值】：

6.通过探究身边的数学问题，感受函数与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣和求知欲。

7.在小组合作与交流中，养成合作探究、敢于质疑、严谨求实的科学态度。

五、教学重难点确立

（一）教学重点【高频考点】【核心】：1.一次函数和正比例函数的概念的理解。2.根据实际问题列出一次函数关系式。

（二）教学难点【难点】【关键】：1.从现实情境中抽象出一次函数模型的数学化过程。2.准确理解一次函数解析式中常数k和b的实际意义以及k≠0的条件。

六、教学准备

（一）教师准备：多媒体课件（PPT），精选涵盖生活、物理、经济等领域的多个实例，设计导学案（包含探究问题与练习）。

（二）学生准备：预习教材，回顾变量与函数的概念，准备练习本。

七、教学实施过程（核心环节，详案）

本教学过程设计为六个主要环节，环环相扣，层层递进，以问题驱动学生思维，以活动促进概念建构。

（一）创设情境，引入新知（约5分钟）

【教学任务】：通过复习回顾和情境创设，唤醒学生已有经验，激发探究兴趣，明确本节课的学习主题——研究一类特殊的变量关系。

【教学活动】：

1.复习引入：教师提问：“同学们，上节课我们学习了‘函数’，谁能用一句话说说什么是函数？我们一般用哪些方法来表示函数？”（预设学生回答：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数。表示方法有列表法、图像法、关系式法。）

2.情境创设：PPT展示两个生活实例。

【基础】实例1：某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5厘米。请写出y与x之间的关系式。

【重要】实例2：一辆汽车油箱内现有汽油60升，行驶中每小时耗油5升。求油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系式，并指出x的取值范围。

3.学生活动：学生独立思考，尝试写出关系式，并与同桌交流。教师巡视，了解学生列式情况。

4.引出课题：教师选取两位学生的答案（y=3+0.5x，y=60-5x）板演。提问：“观察这两个关系式，它们有什么共同特征？”引导学生发现它们都是一种“常数乘以自变量，再加上（或减去）一个常数”的形式。教师顺势引出课题：“在现实生活中，像这样变量之间的关系还有很多，它们都属于一类非常重要的函数——一次函数。今天我们就来‘认识一次函数’。”

【设计意图】：从复习函数概念入手，自然过渡。选取的两个实例贴近学生认知，关系式简单，易于观察。通过寻找共同特征，为学生初步感知一次函数的模型特征奠定基础，激发学生对新知的好奇心和探究欲。

（二）合作探究，形成概念（约15分钟）

【教学任务】：通过更多的实例探究，引导学生从具体的数量关系中进行抽象概括，合作归纳出一

次函数和正比例函数的定义，并辨析其内在联系。

【教学活动】：

1.分组探究，丰富感知：

教师将全班分成若干小组，为每组下发一个探究任务（探究任务单），要求写出问题中变量之间的函数关系式，并观察关系式的形式特点。

【核心概念】【高频考点】探究任务单（每组完成一个，之后交流分享）：

（1）组1（物理与生活）：某市市内电话的月收费额y（元）包括：月租费18元，拨打电话x分钟的计费按每分钟0.2元收取。求y与x的函数关系式。

（2）组2（经济问题）：某书店销售一种图书，每本进价8元，售价15元。请写出销售x本这种图书的利润y（元）与x的函数关系式。

（3）组3（行程问题）：一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，请写出行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系式。

（4）组4（几何图形）：已知等腰三角形的周长为20，底边长为y，腰长为x。请写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围。

2.成果展示，交流分享：

各小组派代表上台，利用实物展台展示本组的关系式，并进行简要说明。

预设成果：

组1：y=18+0.2x

组2：y=(15-8)x即y=7x

组3：s=60t

组4：y=20-2x（教师引导学生关注自变量x的取值范围：5<x<10）

3.观察归纳，初建模型：

教师将所有关系式汇总在黑板上：

y=3+0.5x

y=60-5x

y=18+0.2x

y=7x

s=60t

y=20-2x

教师引导：“现在，请大家以小组为单位，仔细观察这些关系式，它们虽然来自不同的实际问题，但在数学形式上有什么共同点？你能将它们分分类吗？”

小组讨论，教师参与其中，适时点拨。

4.概念生成，精确定义：

【核心概念】请小组代表汇报分类结果及理由。

预设分类1：有的式子后面有一个常数项（如加3，加18等），有的没有。

预设分类2：有的式子可以写成“y等于一个数乘以x”的形式，有的可以写成“y等于一个数乘以x再加上一个数”的形式。

教师根据学生的分类，进行归纳和总结，并用数学语言精准定义：

一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。

特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b就变成了y=kx（k是常数，k≠0）。这时，y叫做x的正比例函数。

【重要】教师强调关键点：

（1）解析式是整式形式。

（2）自变量的次数是1次。

（3）系数k≠0是必要条件（为什么？如果k=0，函数变成y=b，这不再是变量x的函数，而是一个常数，失去了研究的价值）。

（4）正比例函数是特殊的一次函数（b=0时的特例）。二者是包含与被包含的关系。

【设计意图】：此环节是整节课的核心。通过分组探究，让每个学生都参与到建模过程中。通过展示、比较、分类、归纳，引导学生经历完整的数学概念形成过程。这不仅培养了学生的合作交流能力和抽象概括能力，也让他们深刻体会到数学概念的来源与本质，比教师直接给出定义要深刻得多。

（三）概念辨析，深化理解（约10分钟）

【教学任务】：通过正反例的辨析，巩固对一次函数和正比例函数定义的理解，特别是对k≠0、自变量次数为1等关键条件的把握。

【教学活动】：

1.判断与辨析【高频考点】【重要】：

PPT出示一组函数表达式，要求学生口答并说明理由：

（1）y=-0.5x+2

（2）y=x²+1

（3）y=4x

（4）y=8/x

（5）y=3（即y=0·x+3）

（6）y=2(x-1)+3（可化简为y=2x+1）

（7）s=50-4t

（8）y=kx+b

【难点】针对学生可能出错的题进行重点辨析：

（4）y=8/x：自变量在分母上，不是一次函数。

（5）y=3：虽然可以写成y=0·x+3，但k=0，不符合k≠0的条件，所以它不是一次函数，而是一个常值函数，要特别区分。

（8）y=kx+b：要强调，只有当k和b是常数，且k≠0时，它才表示一次函数，否则只是一个形式。

2.寻找与匹配：

教师列举一些实际情境的描述，让学生判断其能否用一次函数表示，并尝试写出表达式。例如：

【基础】“一根蜡烛原长20cm，每分钟燃烧0.2cm，求剩余长度L与时间t的函数关系。”（L=20-0.2t，一次函数）

【基础】“每度电0.52元，求电费y与用电量x的函数关系。”（y=0.52x，正比例函数）

【难点】“学校到图书馆的路程是5km，小红步行的速度是4km/h，求她离学校的距离s与离开学校的时间t的函数关系。”（分情况讨论：离开学校去图书馆，s=4t；从图书馆回学校，s=5-4t。都是一次函数，但要关注自变量取值范围。）

【设计意图】：通过辨析题组，强化学生对概念核心要素（整式、一次、k≠0）的记忆和理解。特别是对常值函数y=3以及形式上的y=kx+b的辨析，能有效突破难点。结合实际情境的匹配练习，则将抽象概念还原到具体背景中，加深对概念内涵的理解，并为下一步应用打下基础。

（四）范例精讲，应用拓展（约8分钟）

【教学任务】：通过典型例题的分析与解答，规范学生根据实际问题列一次函数关系式的步骤，并能结合实际情况确定自变量的取值范围，提升建模能力。

【教学活动】：

1.典例分析【核心概念】【高频考点】：

出示例题：某移动通讯公司开设了两种通讯业务。“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；“神州行”不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（均指市内通话）。

（1）分别写出一个月内使用“全球通”的费用y1（元）和“神州行”的费用y2（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系式。

（2）这两个函数是一次函数吗？是正比例函数吗？

（3）当通话时间为200分钟时，选择哪种业务更优惠？

2.师生互动，规范解题：

教师引导学生分析：问题中有哪些量？哪些是常量？哪些是变量？哪个是自变量？哪个是因变量？

学生独立列出关系式，教师请一位学生板演，并规范书写过程。

解：（1）y1=50+0.4x（x≥0的整数，在实际问题中通常可取任意实数，视通话计费方式而定，此处可简化为x≥0）

y2=0.6x（x≥0）

（2）y1是x的一次函数，但不是正比例函数；y2是x的一次函数，也是正比例函数。

（3）当x=200时，

y1=50+0.4×200=130（元）

y2=0.6×200=120（元）

∵130>120∴选择“神州行”业务更优惠。

3.深度追问，关注实际：

教师追问：“在（1）中，我们默认x≥0，但在实际问题中，x的取值只能是任意非负数吗？比如x可以取小数吗？这取决于什么？”（引导学生思考通话计费的最小单位，如果是按分钟计费，不足一分钟可能按一分钟算，则x为正整数。这里体现数学建模的严谨性，初步渗透定义域意识。）

【设计意图】：选取典型的通讯计费问题，具有现实意义。通过此例，不仅巩固了根据定义识别函数类型的能力，还规范了从实际问题中建立函数模型的步骤，并自然地引出了自变量取值范围的问题，为后续学习函数的定义域埋下伏笔，提升学生数学应用的精细化水平。

（五）变式训练，巩固提升（约5分钟）

【教学任务】：通过不同形式的练习，检验学生对一次函数概念的掌握程度，特别是对系数意义的理解和在新情境下的迁移应用能力。

【教学活动】：

1.基础巩固【基础】：

（1）已知函数y=(m-2)x+m²-4，当m为何值时，它是一次函数？当m为何值时，它是正比例函数？

【重要】【高频考点】分析：是一次函数，则要求x的系数不为0，即m-2≠0，解得m≠2。是正比例函数，则要求在满足一次函数的前提下，常数项为0，即m²-4=0且m-2≠0，由m²-4=0得m=±2，结合m≠2，得出m=-2。

2.综合提升【难点】：

（2）已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米。某人骑自行车以12千米/时的速度从A地出发，经过B地到达C地。设此人骑行的时间为t（时），求他与B地的距离s（千米）与t的函数关系式。

【思路点拨】这是一个分段函数问题，需要分两段考虑：从A到B（0≤t≤2.5）和从B到C（2.5<t≤6.5）。分别写出关系式：s=30-12t（0≤t≤2.5）和s=12(t-2.5)（2.5<t≤6.5）。这两个关系式都是一次函数的形式，但合起来表示的是一个分段函数。此题旨在拓展学生思维，认识到一次函数是描述变化规律的基本构件。

【设计意图】：练习题的设计遵循了由易到难、由单一到综合的原则。第（1）题是对概念中字母系数的逆向考查，是考试中的常见题型，能有效检验学生对定义中限制条件（k≠0）和特殊情况（b=0）的深刻理解。第（2）题引入分段函数的思想，虽然不要求掌握分段函数的完整概念，但能让学生体会到一次函数模型的局限性，以及在实际问题中自变量取值范围的重要性，为后续更深层次的学习打开一扇窗。

（六）课堂小结，布置作业（约2分钟）

【教学任务】：梳理本节课知识体系，构建认知结构，并通过作业巩固所学，延伸学习。

【教学活动】：

1.课堂小结：

教师引导学生从以下三个方面进行总结：

（1）知识层面：我们学习了什么是一次函数？什么是正比例函数？它们之间有什么关系？

（2）方法层面：我们是如何得到这两个概念的？（从实际问题出发，经过分析、比较、归纳、抽象，最后得到定义——数学建模的一般方法）。

（3）思想层面：我们体会到了哪些数学思想？（抽象思想、模型思想、特殊与一般、分类讨论）。

2.布置作业：

（1）【基础】必做题：教材课后习题。

（2）【拓展】选做题：搜集生活中蕴含一次函数关系的实例两个，并写出它们的关系式，说明自变量和因变量分别是什么。

（3）【预习】思考题：一次函数的图像是什么形状？它有什么性质？我们可以从哪些角度去研究它？

【设计意图】：小结不仅回顾知识，更提炼方法和思想，使学生的学习具有可迁移性。作业分层设计，满足不同层次学生的需求。选做题鼓励学生用数学的眼光观察世界。预习思考题为下一节课的学习做好铺垫，保持学习的连贯性。

八、板书设计（提纲挈领，逻辑清晰）

第四章一次函数

2认识一次函数

一、实例探究

1.弹簧：y=3+0.5x

2.油箱：y=60-5x

3.话费1：y=18+0.2x

4.利润：y=7x

5.行程：s=60t

6.三角形：y=20-2x

二、一次函数的概念

1.定义：形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。

2.特征：①整式②自变量次数为1③k≠0

三、正比例函数的概念

1.定义：当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx（k是常数，k≠0）。此时y叫做x的正比例函数。

2.关系：正比例函数是特殊的一次函数。

四、例题讲解（通讯计费问题）

（板演规范解题过程）

五、注意事项

1.k≠0是核心条件。

2.实际问题中，要关注自变量的取值范围。

九、