期末压轴题专训（30题）原卷版-2025-2026学年九年级数学上学期（人教版）

期末压轴题专训（30题）（上册考点）

一.解答题

1.阅读材料：从教材第24页例题1,我们知道：对于一个分式,当分子的值是0旦分母的值不为。时，分

式的值为0.对于非零实数a，b,若关于x的分式。一°）（'一」的值为零,那么（x-a）（x-b）=0,

x

（x—a）（x—b}x2-（a+b}x+abx2（a+b}xabab

从而求得它的解得xi=mx=b.又因为1~~-~~-=----——=—1~△+—="+—

2XXXXXX

（x-aYx—b）-ab

一（。+匕），所以关于x的分式方程1--^=0就变成了分式方程x+—=Q+b,它的解为勺=。,

人人

X2=b.

12

（）理解应用：方程％+—=的解为：

1X7x]=_______,%2=______:

2、、

（2）知识迁移：若关于x的方程％+—=5的解为x]=a,x=b,求〃2+房的值；

X2

2mx1—m

（3）拓展提升：若关于x的方程X十三^二m+4的解为.盯，X2，（w>2,勺>X2）求心的值，

2.定义：对任意一个三位数比如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字

I

与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“欢乐数”.例如，*=432,因为3二:一，所以432是“欢

乐数”.

(1)直接写出最小的“欢乐数”是:

(2)若一个“欢乐数"上=100“+10什(;(1忘4,b,cW9,a,b,c为自然数)，且x=-1是方程堞+加叶。

=0的一个根，写出所有满足条件的“欢乐数”：

(3)若一个“欢乐数”4=100。+1()计。(IWmb,eW9,a,b,c为自然数)，Il关于x的一元二次方

程ad+2取+c=0有两个相等的实数根，且10<a+b+cW15,求出“欢乐数”〃的值.

3.某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方

2

程根的情况，还可以解决其他问题.下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务:

关于根的判别式的探究

素材对于一个关于X的二次三项式加+品匕"#。），利用根的判别式可以求该多项式

的最值.比如:求/+2r+3最小值,令y=/+2x+3,则扇+2^+3・尸=求则乒・4ac

=4-4<3-y）=-8+4y20,可解得y22,从而确定『+2x+3的最小值为2.这

种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法.

问题解决

任务1感受新知：用判别式法求3了+以-2的最小值.

任务2探索新知：若关于X的二次三项式『・改+3（4为常数）的最小值为-1,求4的

值；

任务3应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为。的矩形中，正方形的面积最大.

4.综合与实践

问题情境：“道路千万条，安全第一条”，如图1,汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，

这段距离称为刹车距离，某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发

3

中心考察.

数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶,

对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象.

发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：与刹车后行驶的时间，（单位：s）之间成二次函数关系.

问题解决：

（1）求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？

（3）若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相

£目1m.

开始踩刹车完全停止盒

......

刹车距离L

图1

5.如图，在平面直角坐标系宣射中，抛物线｝=.3+以+c与x轴交于4B两点,与），轴交于点C,对称轴

为直线彳=2,点力的坐标为（1,0）.

（1）该抛物线的表达式为:

4

(2)点P为抛物线上一点(不与点4重合)，连接尸C.当/PC8=NZC8时，求点尸的坐标:

备用图1备用图2

(3)点0为直线8c下方抛物线上一动点，当点。的坐标为多少时，△。8。的面积最大？

6.如图I至图2,是经过某款蒸锅中心。和锅盖中心。所作纵械面的示意图，它由两段抛物线构成.蒸锅

截线心与锅盖截线“交于点小B,测得锅口直径力8=1()疝7,锅深。。=5小大锅盖高OC=2.5飙?.以

直线48为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系.

尝试：(1)求蒸锅微线Li表达式和锅盖截线L2表达式；

5

（2）若锅中心。到水面MN距离为2m〃，求水面直径MN的长度；

探索：如图2,矩形ER7H为笼屉纵截面图（相邻笼屉用不同颜色区分），F,G在蒸锅截线匕上，笼

屉直径歹G〃工轴，且“G=M每层笼屉高为0.&加.在使用过程中，要求锅盖与锅能正常合上.

（3）若〃=6,则锅与锅盖之间最多能放置几层笼屉？说明理由；

（4）若E,〃恰好在锅盖截线“上，设所有放置的笼屉，下底面面积之和为S,直接写出：当〃=

时S最大，S的最大值是_______________________.

图1图2

7.已知抛物线》=4『+〃上+6（”，b,c为常数，々VO,b>0）.

（I）当a=・l,b=2,c=3时，求该抛物线顶点P的坐标；

（H）点4（-1.0）和点6为抛物线与x轴的两个交点，点。为抛物线与y轴的交点.

①当。=-2时，若点。在抛物线上，ZCJD=90°,AC=AD,求点。的坐标；

②当c=26时，以4C为边的匚MCE9的顶点厂在抛物线的对称轴/上，当CE+CE取得最小值为2芯

6

时，求顶点E的坐标.

8.某数学兴趣小组利用公园里一个斜坡做数学探究活动，如图，斜坡04(其中/8=5.6〃?，0B=7m),

他站在O处抛球，球从离地面15〃高的C处扔出，小球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，已知小球

在水平距离。点时达到最高6〃?，小球抛向斜坡04上.设小球的水平距离为x(〃]),竖直高度为y

(小).

(1)求y与x的函数关系式；

(2)若/・UW/时，小球的最大高度为5.5加，求/的值：

7

（3）若小球的落点为并沿着斜坡经历3秒滚回到起点0,求这次滚动的平均速度.

9.2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的

1——

正前方10”?处起脚射门，足球沿抛物线不向球门中心线；当足球飞离地面高度为3”?时达到最高点，此时

足球飞行的水平距离为6m,已知球门的横梁高04为2.446.

（1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式；

（2）梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？

（3）守门员站在距离球门2〃?处，他跳起时手的最大摸高为2.52小，他能阻止梅西的此次射门吗？如果

8

不能，需要至少后退几米？

10.已知二次函数-4a"e（a,c为常数，且。W0）.

（1）如图，若此二次函数的图象经过点X（0,4）和点B（1,7）.

①求二次函数的解析式.

②抛物线对称轴上是否存在一点P，使得P/1+P4有最小值，若存在，请求出P/1+P4的最小值与点尸的

坐标：若不存在，说明理由.

③当OWxWf时，二次函数的最大值与最小值的差为4,求，的取值范围.

9

(2)当c=・5a时，已知点C(0,2),D(6,2),若二次函数的图象与线段CD只有1个交点，求

。的取值范围.

11.如图，抛物线»=加+瓜+3的图象过点力(・1,0)、8(3,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及4

P4?的周长：若不存在，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合)，使得SaHA/nS**。?

若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由.

12.在平面直角坐标系xQy中，已知二次函数y=a(.r-I)2-4(«=#()).

(1)求二次函数与y轴的交点坐标(用含有〃的代数式表示)；

(2)当0WxW1.5时，y的最大值为-3,请求出。的值；

(3)在(2)的条件下，若点P(x,y)是二次函数图象上一点，满足〃〃什/(/>0),若y的最大

值与最小值之差为4,求才的取值范围.

II

13.二次函数y=Q（x+1）（X-3）的图象经过点（0,-3）.

（1）求〃的值.

（2）当-2WxW〃?时，该函数的最大值减去最小值的差为山，当-2WxW〃?+l时，该函数的最大值减去

最小值的差为

①若小=9,求加的取值范围；

②是否存在小＞刈？若存在，请求出机的取值范围：若不存在，请说明理由.

14.如图1,抛物线），=以2+公经过点力（4,0）.

（1）求4的值.

（2）将图1中抛物线在歹轴右侧部分沿x轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图

象记为图象G,如图2,直接写出图象G对应的函数解析式.

（3）点P在图象G上，其横坐标为〃】.

①点。为坐标原点，当图象G在。，P两点之间的部分（含O,P两点）所对应函数最大值与最小值的

差等于4时，直接写出〃?的取值范围.

②点0在图象G上，具横坐标为3-〃?.当图象G在2。两点之间的部分（含2。两点）所对应函

数最大值与最小值均不随〃?的变化而变化时，直接写出〃，的取值范围.

15.【定义初窥】已知y是自变:tx的函数，当力=中|时，称函数及为函数g的“升幕函数”，在平面

直角坐标系中，对于函数为图象上任意一点力（加，〃），称点、B（〃?，〃?〃）为点、A“关于月的升基

点”，点8在函数刃的“升第函数”力的图象上.

例如：函数yi=3x,当丫2=%力=%,3%=3/时，则函数及是函数刈的“升幕函数”，函数y=3x的

图象上任意一点N（〃】,3m），点、B（m,3m2）为点、A“关于月的升幕点”，点8在函数y=3x的“升

哥函数”及=3/的图象上.

（1）乃=卢4的“升鼎函数”及的函数表达式为.

（2）点力在函数力=x+4的图象上，点4”关于月的升哥点”为点6,当48=6时，求点力的坐标.

13

【解构探微】

（3）点力在函数刃=x+〃（〃云0）的图象上，其横坐标为〃?，点4”关于力的升幕点”为点8,点C在

H的“升鼎函数"y2的图象上,其横坐标为m+2.

①当点4,点C所在直线与x轴平行时，求〃?的值（用含有〃的代数式表示）；

②函数为的对称轴为直线x=f，它的图象上有两点（。|，仇；，（。2,b2），若对于OVaiVl且。］+。2=

3,都有加与＞0,直接写出，的取值范围为.

16.掷实心球是中招体育考试的选考项目，某数学兴趣小组发现实心球行进路线是抛物线的一部分.如图

是一名男生掷实心球的情境，实心球行进高度y（〃?）与其在行进过程中与抛出点的水平距离x（〃?）之

5

间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为铲I,当实心球与抛出点的水平距离为4“时，其行进至最

高点3m处.

（1）求实心球行进高度y（机）与其在行进过程中与抛出点的水平距离x（小）之间的函数解析式.

（2）根据某市中招体育考试评分标准（男生），投掷过程中：实心球从抛出点到落地点的水平距离大于

或等于124人此项考试得分为满分10分.问：该男生在此项考试中是否得满分？请说明理由，

（3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点可提高成绩.当掷出点

的高度至少达到多少时，该男生可得满分（结果保留两位小数）？

y/m

012345678910x/m

17.综合与实践

【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室

空间.本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系.

【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线片砧和矩形构成（如图1所示），抛物

线最高点E到地面的距离为5米，。为CD中点，以CD所在直线为x轴，垂直于CD的直线EO为歹轴,

建立平面直先坐标系xQv,已知CO=6米，8。=2米.

15

图1图2图3

（1）求抛物线的表达式；

【应用模型】

（2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形''支撑架"（即三根支架，A/MPQ

垂直地面，N0平行地面，点M。在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位

置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？

（3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线4所内部建两个正方形的窗户，（王方形MNKP

的边NK和止方形0HS7的边RS都在上，点、M,r都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米,

如图3）,求两个窗户的面积的和.（精确到1米2,参考数据：V41«6.4,V51«7.1,质*7.8）

18.在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形48C和三角形OEF其中NB4C=N红木

16

操作发现：

（1）如图1,将三角形力4c沿8c方向移动，得到三角形441G，AB//AXB^如果4c=5,由C=2,

那么Cg=；

（2）将这副三角板如图2摆放，并过点E作直线〃平行于边4c所在的直线上点力与点尸重合，则/

1的度数为度（直接写出结果）；

（3）在（2）的条件下，如图3,固定三角形。石凡将三角形月绕点。旋转一周，当请

判断直线8c和直线b是否垂直，并说明理由.

19.定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形.

17

(1)如图1,△48c是等边三角形，在8c上任取一点。(8、。除外)，连接40,把绕点4逆

时针旋转60°,则与4c直合，点。的对应点为£.请根据给出的定义判断，四边形X。"是否为

等补四边形，并说明理由.

【类比探究】

(2)如图2,在等补四边形为4c。中，AB=BC,N/BC=N4DC=90°,若四边形力BCD的面积为8,

求B。的长.

【拓展应用】

(3)如图3,在四边形48CQ中，AB=BC,ZJ+ZC=180°,BD=a(«>0),求四边形48co面积

的最大值.(用含。的代数式表示)

20.如图，在△49C和中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,将△48C绕着点4旋转.

<1)当△/出。旋转到图1位置时，正好使得。、B、C三点共线时，求此时N/1CE的度数；

(2)当旋转到图2位置时，连接CO、BE,并延长交CQ于点凡若N4BE=5)0,求证：

CF=DF；

(3)当△48C旋转到图3位置时，连接C。、BE,取CO中点R连接F力并延长交8E三点“，求证:

FHLBE.

18

ffll

21.已知。和△力QE都是等边三角形.

【模型感知】（1）如图1,求证：BE=CD；

【模型应用】（2）如图2,当点。在的延长线上时，求证：AB+BD=BE；

【类比探究】（3）如图3,当点。在射线上时，过点上作ERL/fB于点尺猜想线段BF与BD

之间存在的数量关系，并证明你的猜想.

19

E

EA

BD1)

图2图3

22.已知：如图△XBC和△OEC都是等边三角形.。是8c延长线上一点，力。与8£相交于点P,4。与

BE相交于点M.

(1)说明：△4C。是△4CE经过怎样的旋转得到的？(请从旋转“三要素”加以说明)

(2)在图①中，①求证：AD=BE；②N/1PB=。.

(3)当△(?£)£绕点。沿逆时针方向旋转到图②时，

20

①N408的度数会发生变化吗？请说明理由？

②求证：点C落在N8P。的角平分线上.

图①图②

23.有一副直角三角板如图①放置（其中NO=45°,ZC=30°）边PA、PB在直线MNI：.

21

（I）NCPD的度数为:

（2）如图②，三角板保持不动，三角板21c绕点P逆时针旋转，转速为每秒10°,当转动到一

周时三角板H。停止转动，在旋转的过程中，当尸C〃O4时，求旋转的时间；

（3）如图③，在图①的基础上，三角板21C绕点尸逆时针旋转，转速为每秒3。；同时三角板

也绕点尸逆时针旋转，转速为每秒2。，当PC与PM重合时，两个三角板都停止转动.设三角板

旋转的时间为/（秒），则NCP力的度数为（用含/的代数式表示）.

24.【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容：

如图1,△4C。、都是等腰直角三角形，^CAD=ZEAB=90°,作出△/（7£以点1为旋转中心,

逆时针旋转90°后的三角形.

【操作发现】

住图1中出△力CE以点力为旋转中心，逆时针旋转90°后的二角形，写出旋转前后与其对应线段的

22

数量关系和位置关系：;

【探究理由】

如图2,将绕点力逆时针旋转90°得到△力。4,设。£、4C分别与4。交于点RG,试判断CE

与的数量关系和位置关系，并说明理由：

【问题解决】

如图3,将△力绕点力逆时针旋转40°得到△4/)£,点。恰好落在AC上，DE与C4交千点、F.若^

,48。与△/人。关于直线/。对称，且8c=9,BD=3,则

①ND4E=°；

②线段的长是.

25.如图，•条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽6c=10米，矩形部分高48=3

米，抛物线的最高点上离地面。回=6米，按如图建立以4c所在直线为x轴，OE所在直线为y轴的直

角坐标系.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高4.5米、宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说

23

明理由.

(3)在(2)的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，£为弧力。的中点，其余条

件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由.

26.如图，是。。的直径，D、E为。。上位于48异侧的两点，连接80并延长至点C使得8=

BD,连接力。交。。于点F,连接4E、DE、DF.

(1)证明：AB=ACx

(2)若/£=50°,求N4QF的度数；

(3)设E是半圆4E4的中点，DE交AB于点、G,若DF=6,AB=\(),求力G

E

的长.

27.如图.力〃是0O的百杼.点。、D是OO卜的点，口OD〃BC,力。分别与8。、OO相交千点E、F.

(1)求证：点。为屈:的中点；

(2)若CB=6,48=10,求。尸的长；

(3)若。。的半径为5,N。。力=80°,点尸是线段48上任意一点，试求出

A

PC+PD的最小值.

28.小南对发声物体的振动实验做了进一步的探窕，请认真阅读，并完成后面的任务.

课题发声物体的振动实验的探究

工具测量角度的仪器(仪器的高度忽略不计)、直角三角板、刻度尺等

测量方案如图1,在支架横杆上的点。处用一根细绳悬挂一个小球从小球力可以自由摆动，

25

0/表示小球静止时的位置.当小南用发声物体靠近小球/时，如图2,小球从（川摆

动到04位置，此时过点B作8。_L04于点。；当小球摆动到。。位置时，。5与OC

恰好垂直（图中的点4B,O,C在同一平面上），过点C作CELOD于点E.

测量示意图:

图1图2

任务一求证：/COE=/B；

任务二经测量，得知点8到点。的距离是7"?,细绳。彳的长是15。〃，求4E的长.

拓展应用如图3,在△44。中，。是4C的中点，过点。作。£_L川?，垂足为E8。的垂直平

分线分别交BC、DE于点F、G,且BC=2FG.若AE=4,BE=6,则DG的长为_______.

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