辽宁省县级重点高中协作体2025-2026学年高一年级上册期末考试数学试题

辽宁省县级重点高中协作体2025-2026学年高一上学期期末考

试数学试题

学校:姓名:班级:考号:

一、单选题

1.样本数据210,224,201,244的笫5()百分位数为()

A.210B.217C.222D.224

2.已知平面向量1=(1,2),b=(x,x2),设甲：x=2；乙：a//b^则()

A.甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

4

3.已知集合力>1■,B={x\y=43-x},则/A8=()

x-1

A.{2}B.{4}C.[2,3}D.{3,4}

31

4.设正数O'b满足3"5=3'贝匕+了的最小值为，)

AS16

A，3B-7cID.T

5.已知函数/(工)=皿(1+0¥+2/+4)的定义域为口，则〃的取值范围为()

A.F，T[U(0M)B.(0,+8)

4}D.卜8,一1]由(1,y)

C.-oo—5j

定义在R上的函数满足"*)一>5,若/(())>(),则()

6.

A./(10)<10B./(10)>100C./(20)<50D.”20)>100

7.某地开展志愿服务，小蓝，小黄等9人充当志愿者，现将他们均分成三组，则小蓝和小

黄不在同一组的概率为()

3

BD.-

-I4

8.已知函数/(》)，当x40时，/(x)=eW,当x20时，V7>0,/(x+7)=/(.r),则不等

试卷第1页，共4页

式/(x+l)</(2x)的解集为()

A.(-oo,-l]B.[-1,0]C.(0,c]D.(—,0)

二、多选题

9.设4可是平面内的一封基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是()

A.et+e2Uet-3e2B.q+2g和;q+e?

C.3q-4《2和6G-配D.4+6%和0+%

10.设函数/(x)=」7-ln(|x|+l),则()

x+1

A.函数P=/(x)-l为奇函数

B.Vx>l,f(x)<0

C.3w<0,TxwO,f(x)>m

D.区间忤1)上存在/(%)的零点

11.已知样本数据为，W，巧的方差为6,则()

A.该组样本数据的平均数无最值

B.数据玉-X2，x2-x3,巧一玉的方差为9

C.该组样本数据极差的最大值为6

D.该组样本数据极差的最小值为3百

三、填空题

12.设力，4为平面直角坐标系xOy内两点，若刀=(1,3),而=(2,2),则|丽|=

13.已知函数〃刈=32-幻，则/(/(x))的定义域为.

14.梯形48CQ的两顶点4。是直线歹=履与曲线>=1。4工的交点，顶点民。在曲线

y=log4x±,48是一条垂直于X轴的梯形底边，轴，则梯形力8co的面积

为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了

交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学

生，记录他们的分数，将数据分成4组：[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],并整理得

(1)从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；

(2)若样本中有一半男生的分数小小于60,且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估

计总体中男生和女生人数的比例.

16.已知事函数/(')="+8川-8)姆2的定义域为R.

⑴求〃？；

⑵解不等式

17.设函数/(X)=G+2()-1)：

(1)证明：曲线歹二/(用为中心对称图形；

⑵若/(外>0当且仅当X>1,求4的值.

18.如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按值二(2,1)或B=3)这两个方向进行,

且每次只能走一步，若某点尸(xj)可以表示为〃必+〃E(〃?、〃为自然数)，则称。为鸿蒙

(1)通过鸿蒙点口，川中共、尸满足的关系，判断47,10)是否为鸿蒙点，并说明埋由:

试卷第3页，共4页

(2)证明:若3，)是鸿蒙点，则(x+5j)也是鸿蒙点；

(3)若某些鸿蒙点满足工+丁=200,求在所有满足条件的鸿蒙点中，〃?+〃最小的点及此时

〃的值.

19.已知函数/(x)=lg2、］，。>0.

(1)当6=3。时；

(i)求/(M的单调区间；

(ii)正数小，〃满足4+2"=4,证明：/|log2^^|<lg(3a).

Imn+1)

⑵若/(x)有2个零点，证明：-+-^->4.

ah-\

试卷第4页，共4页

《辽宁省县级重点高中林作体2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BACDADDDBCBD

题号11

答案ACD

1.B

【分析】由百分位数的计算可得.

【详解】由题意可知第50百分位数即中位数，将样本数据从小到大排序为201,210,224,

244,

则样本数据的中位数为210与+二22」4=217.

故选：B.

2.A

【分析】根据向量平行坐标运算可得x=2或》=0,再由充分条件和必要条件定义判断即可.

【详解】若G/4，则X2=2X,解得X=2或X=0,

因为x=2能推出1//B,但///B不一定能得x=2,

所以甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件.

故选：A.

3.C

【分析一】由分式不等式的运算和二次根式的取值再结合集合的运算可得.

【详解】不等式即匕手==＞0,即（4一1）（工一5）＜0,由》£2知彳={2,3,4},

x-1x-1

而4={x|xW3},故4c8={2,3}.

故选：C.

4.D

【分析】利用1的代换及基本不等式计算即可.

【详解】由题意可得2+?=:（3〃+/＞）但+3=事0+3已4]]乂10+9

ab5\ah）3|_1〃/?力33

当且仅当。：时，等号成立.

4

故选：D.

5.A

答案第1页，共10页

【分析】由/(x)的定义域可知不等式/+at+2/+a>0在R上恒成立，令判别式小于。解

出。的范围即可.

【详解】因为函数/(力=加卜2+以+2，+〃)的定义域为R,

所以不等式F+or+2a2+〃>0在R上恒成立，

所以△=/-4(2。2+〃)=一〃(74+4)<0,解得-8,--U(0,+oo),

故选：A

6.D

【分析】根据题设条件"*)二"，)>5,将选项中涉及的自变量值代入分析即可.

司一超

【详解】对于A,B选项：将10和0分别代入为和/得：(⑼》5,即“10)>50+/(0),

因为/(0)>0,所以/。0)>50,故A,B错误.

对于C,D选项：将20和0分别代入为和勺得：“?一，,5,即〃20)>100+/(0),

因为/(0)>0,所以〃20)>100,故C错误,D正确.

故选：D.

7.D

【分析】利用排列组合的方法求出事件发生的个数，然后根据古典概型概率公式直接求解印

可.

【详解】将他们9人均分成三组的方法种数有学=280,

A3

小蓝和小黄不在同一组的方法种数有C；c；=210,

故小蓝和小黄不在同一组的概率P=|^=^.

故选：D

8.D

【分析】通过对分段函数的讨论，求解不等式即可.

【详解】由题可知：当了40时，/(x)=e-\故/'(X)在x40时单调递减；

当X20时，Vr>0,/(.r+7)=/(x),则函数/(x)在20时只可能为常函数，

答案第2页，共10页

e*r<0

且常数等于/(0)=l，所以分段函数为：/W=,\"，

l,x>0

解不等式/(》+l)</(2x)：

需分类讨论：

(1)x+l<0K2x<0,即<C=>x<-l,

此时：/(x+l)=e-(R)=e-z,/(2x)=e-2\

不等式变为：两边都是指数函数，底数e>l,单调递增，

故可比较指数：-4一1<-2x=>x<1,

所以x4-l；

x<-1

(2)x+l<0H2x>0,即…=无解；

x>0

x>-1

(3)x+l>0K2x<0,即<人=>-1<AT<0,

x<0

2

/(x+l)=l,/(2x)=e-\

不等式：1<e~2x,BP0<-2x=>x<0,

<x<0；

(4)x+l>0K2x>0,H|Jx>0,

此时/(x+1)=1,/(2x)=I,函数值相等不符合题意；

综上可得：解集为(-8,0).

故选：D.

9.BC

【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,假设(4+1)]|年一支)，则使得1+1=义.一月)=/^一3/[,

因为[,不共线得4=1巨1=-33则见无解，

故1+E，4-3瓦不共线可作为一组基底；

答案第3页，共10页

对于B,因为1+21=2(；1+可，所以(1+2可||仁4+1)，不能作为基底；

对于C,因为鼠-4心;(6:8动，所以伍-4力|图-8项，不能作为基底：

对于D,假设(6+6。2)11(备+6)，则m/leR使得q+6c2=4(0+4)=义0+冗内，则因为

不共线得％=1且2=6,则%无解，故［+6［和不共线可作为一组基底.

故选:BC.

1().BD

【分析】选项A判断函数是否为奇函数，只需判断/(-/)-1=-(/5)-1)是否成立；选项B

判断函数的单调性，确定函数〃x)<〃D=；-ln2<0：选项C当xr+oo,/(x)fYO,所

以函数/(X)无下界，故不存在〃?；选项D根据零点存在性定理判断即可.

【详解】已知/(')二」一—ln(|x|+1),则y=/(x)—1=*—ln(N+l)—1,

所以/(-X)-1=£-ln(|x|+l)-l=/(x)-1为偶函数，故A错误；

当。>1时,/(x)=^!—-ln(|x|+l),尸一二在(1,+8)单调递减，

X*+1X+1

y=ln(k|+l)=ln(x+l)在(1,+8)单调递增，所以/(x)单调递减，

故/(x)</(l)=g-ln2<Q,故B正确；

可得/(幻二ln(|x|+l)在(0,位)上单调递减，

当X-E，£一°，ln(|x|+l)f+8,故则函数/*)无下界，

故不存在〃?，使得对任意的.丫。0,都满足/(')>机，故C错误；

门、4311

因为/-=--ln->0,/(l)=--ln2<0,所以/(弓八八。v0,

由零点存在定理可知.区间(；』)上存在/(X)的零点，故D正确.

故选：BD.

11.ACD

【分析】由方差的性质可得A；举反例可得B；由基本不等式可得CD.

【详解】设样本再/2，七的平均数为大，方差为〃，

选项A：由方差的性质可得数据为，与，工3的方差和内-%，々+%，均+%，的方差相同，由〃具

答案第4页，共10页

有任意性可知该组样本数据的平均数无最值，故A正确；

选项B：特值验证：取玉=3,々=0,/=-3（方差为6）,

新数据为3—0=3,0—（—3）=3,—3—3=—6,

新数据方差为立立包=18/9.所以B错误：

3

选项C：不妨设。>G>/，所以极差为巧-％,

由不等式2⑷”（a+b7可得2[&-当f+（马“七一、3『，

2

_X,+Xj+X；-2_（再-々）~+卜2-尸,）4-（X,-X3f

D、=X।=，

39

则屋#一4）2（3J,即王一看工频^=6,

19-6

当且仅当芭+演=2占时取等号，故C正确；

选项D:又。之0力之0时，有+

由占一W20/2—X3之0可得（$一々）2+（彳2-）2W（X]一七『，

所以：七）一,即为_》3之楞=3百,当$=&或x2=.q时取等号，故D正确.

故选：ACD.

12.5/34

【分析】本题首先运用向量的加法求出向量的坐标，根据向量模的公式求解.

【详解】由题意可得方=而+而=（3,5）,故，历卜疔备=后.

故答案为：V34.

13.（2-e2,2）

【分析】先确定“X）自身的定义域，再确定外层函数/（力对x的要求，联立两个条件，解

出x的最终取值范围.

【详解】/（x）=ln（2-x）的定义域为（-叼2）,对于函数/（/（X））,其外层，内层函数均需

符合定义域，故x<2,H/（^）=ln（2-x）<2,

答案第5页，共10页

解得/（/（X））的定义域为（2-e2,2）.

故答案为：（2-e2,2）.

14.2

2

【分析】通过对数性质建立等式求出交点坐标，再确定各点坐标，最后利用梯形面积公式求

解.

【详解】因为log4X=glog2X,力〃〃。。〃歹轴，设*（%,噢2%）,,

c（x2，；iog2%2'Z）（x2,log2x2）,

因为4,。在直线y=依上，所以土二警2,

.logjXj

因为％C_Ly轴，所以log/i=glog2》2，

解得X[=2，x2=4f

故力（2,1）,5^2lj,C（4,l）,0（4,2）,

所以梯形436的面积为Q（；+Dx23.

22

故答案为：

2

15.（1）0.4

（2）3:2

【分析】（1）根据频率分布直方图确定样本中分数小于6（）的频率，从而得分数小于60的概

率；

（2）根据频率分布直方图确定样本中分数不小于60的学生人数，结合分层抽样与样本估计

总体，从而可得总体中男生和女生人数的比例.

【详解】（1）根据频率分布直方图可知，

样本中分数小于60的频率为（0.005+0.015）x20=0.4,

所以从总体的600名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.4.

（2）由题意可知，样本中分数不小于60的学生人数为（0.020+0.010）X20X200=120,

所以样本中分数不小于6。的男生人数为120x；=60,

答案第6页，共10页

因为样本中有一半男生的分数不小于60,

所以样本中男生为12()人，女生为200-120=80,

所以样本中男生和女生人数的比例为120:80=3:2,

所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3:2.

16.())/«=1

(2)^F(-OO,-2]U^-1,1

【分析】(1)利用哥函数的定义求解即可；

(2)利用函数的单调性解不等式即可.

【详解】(1)因为函数/*)=(〃'+8〃-8卜2是恭函数，

所以刀/+8"—8=1，解得机=一9或m=1,

当〃?=1时定义域为R,符合题意，

当〃?=-9时/(工)=/，定义域为(—8,O)u(O,+8),不符合题意，

故〃?=1.

(2)由⑴得f(x)=x)所以/'(X)在R上单调递增，

所以由罟R/(x)可得

、2x+3J2x+3

UG、Ix+42X2+3X-X-42X2+2X-42(X+2)(X-1),、

所以x------=------------=---------=---------冬U,

2x+32.v+32x+32x+3

所以g+?(丁)伽+3)吗解得沁“

2x+3w0V2

17.(1)证明见解析

(2)〃=0

【分析】(1)设g(x)=/(x+l)-a,先证明g(x)为奇函数，再由/(x+l)+/(-x+l)=2a得

证：

(2)根据函数的连续性可得/。)=(),求解后检验即可.

【详解】(1)令g(x)=/(x+l)-a,则g(x)=4x+2x\g(-x)=«(-x)+2(-x)\

则8(%)+8(一力=0¥+。(一工)+2戈3+2(-打'=(),g(x)为奇函数.

即〃x+l)+/(—x+l)—2%

答案第7页，共10页

故曲线y=/(x)为关于点(1,。)对称的中心对称图形.

(2)由题意及函数/(1)的连续性可知，

/(1)=0,即/⑴=Q+2(1_1)3=Q=0,

检验，当白=0时，/(x)=2(x-l)\

满足当且仅当x>l,

故4=0.

18.(1)不是，理由见解析

⑵证明见解析

(3)(50,150),〃?+〃的最小值为50.

【分析】(1)用向曷的加法和向量的数乘运算可.求得鸿蒙点满足3x-y可以被5整除，代入

点计算即可判断；

(2)构造(x+5,y)=〃疝+〃£+(5,0),计算可得(%+54)=(加+3)己+(〃-1)瓦即可证明结

论；

200—4〃

(3)利用向量的坐标运算可得加=—--,设〃=3%+2,可得〃?+〃=66-左，计算即可

求解.

【详解】(1)力不是鸿蒙点，理由如下：

由(工,歹)=〃?(2,1)+〃(1,3)=(2〃]+〃,〃?+3〃)，

Wx=2m+n,BPn=x-2m,y=ni+=m+3(x-2/??)=3x-5m.

即3x-y=5m,所有鸿蒙点满足3x-.y可以被5整除，

代入点4,有3x7-10=11不能被5整除，故4不是鸿蒙点；

(2)由(x,y)为鸿蒙点可知，(、/)=〃必+而，

构造:(x+5,y)=ma+nb4-(5,0),

/、-⑵，+4=5fp=3

将(5,0)表达为次+做的形式，有。；3；=0,解得

故(x+5,y)=(〃?+3)己即仍为鸿蒙点；

答案第8页，共10页

(3)由(1)可知(x,y)=(2m+〃,m+3〃)，

故x+y=3m+4〃=200,令3m=200一4〃，即掰=2。;,

由机是整数可知，200-4〃可以被3整除，即〃被3整除余2,

r…/zrmi右200-4(3^+2)192-12^人/

不妨设"=3%+2,ZreN,则有机=-------------=--------=64-,

33

HR〃？+〃=(64—4Zr)+(3Zr+2)=66—k,

为使以+〃尽可能小,即要求后尽可能大,且加之0,

解不等式有左416,左=16时，

加=0,“=50.此时点坐标为(50,150),加+〃的最小值为小+“=50.

19.(1)(i)/(x)的单调递增区间为(0,+/),/(》)的单调递减区间为(-8,0)；(ii)证明见

解析

(2)证明见解析

【分析】(1)(i)根据对数运算化简，再由函数单调的定义求函数单调区间(ii)利用基本

不等式及函数单调性证明即可；

(2)/(外有2个零点转化为竺*=1有两正解，即“T+8-1=0有两正解，可得

/+1

再由基本不等式证明即可.

【详解】(1)(i)此时/(》)=