二次函数重难点题型汇编（十四大题型）解析版-2025-2026学年九年级数学上学期（人教版）

二次函数重难点（十四大题型）

。考点归纳

【题型01：二次函数的概念】

【题型02：根据二次函数的定义求参数】

【题型03：列出二次函数关系式】

【题型04：特殊二次函数的图像和性质】

【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】

【题型06：二次函数y=ax*2+bx+c的图像和性质】

【题型07：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】

【题型08：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关的信息】

【题型09：二次函数的平移变换】

【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】

【题型11：二次函数的交点个数问题】

【题型11：抛物线与x轴的交点问题】

【题型12：抛物线与x轴的交点问题】

【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】

【题型14：根据交点确定不等式的解集】

点精讲

【题型01：二次函数的概念】

1.（24-25九年级上•广东韶关•阶段练习）下列关于x的函数一定为二次函数的是（）

21

A.y=2x+1B.y=-C.y=RD.y=2x2—7

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如yna^+bx+cgHO）,这样的函数叫做

二次函数，进行判断即可.

【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；

B、是反比例函数，不符合题意；

1

C、y是/的反比例函数，不符合题意；

D、是二次函数，符合题意；

故选D.

2.（24-25九年级上•山东潍坊•阶段练习）下列函数表达式中，一定属于二次函数的是

（）

A.y=5x—1B.y=ax2+hx+cC.y=2x（x+1）D.y=3x2+i

【答案】C

【分析】本题考查二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数，需满足形如y=a/

+bx+c（aH0）且为整式函数的条件.

【详解】解：选项A：y=5x-l此为一次函数（最高次数为1）,不符合二次函数定义，

排除；

选项B：y=。/+法+£：二次函数需满足。工0,但题目未限定a的取值（如Q=0时为「

次函数），因此不一定是二次函数，排除；

选项C：y=2x（%+1）,展开得：y=2x2+2x,

符合y=ax?+双+c（a工0）,且为整式函数，因此一定是二次函数；

选项D：y=3x2+p含分式项：（即%T）,非整式函数，不符合二次函数定义，排除.

故选：C.

3.（24-25九年级上•浙江杭州•期中）函数y=4*2一3%+1的二次项系数是（）

A.4B.-3C.3D.1

【答案】A

【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的标准形式为y=ax2+^+c（其

中a、6、c是常数，且QH0）,其中a为二次项的系数，据此可得答案.

【详解】解：函数y=4*2-3%+1的二次项系数是乙，

故选：A.

【题型02：根据二次函数的定义求参数】

1.（24-25九年级上广东惠州•期中）若函数y=（m-+5是关于x的二次函数，

则m=（）

A.-1B.1C.1或一1D.2

2

【答案】A

【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键.二次

函数的定义：一般地，形如y=a%2+bx+c（人反。是常数，Q：5t0）的函数，叫做二

次函数.

根据“形如y=ax2+bx+c（a丰0）的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解.

【详解】解：•.•、=（加-1）“同+1+5是关于》的二次函数，

||TH|4-1=2H.m—1H0,

解得：m=-1.

故选：A.

2.（24-25九年级上•安徽亳州•期末）已知、=（。+1）非2+】+3%—6是二次函数，则。=

（）

A.0B.1C.-1D.1或一1

【答案】B

【分析】本题考查J'二次函数的定义.根据二次函数的定义可得。2+1=2且。+1。0,

从而可得答案.

【详解】解：vy=（a+1）%。2+〔+3%-6是二次函数，

：.a2+1=2,

解得一—1或生-1

•••a+1*0,

•••aH—1,

：.a=1.

故选：B.

3.（24-25九年级上•广东肇庆•期中）若函数y二m工向-2|一（租+1户+2是二次函数，则加

的值是—.

【答案】4

【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此

此题可根据"形如y=ax2+bx+c（a黄0）的函数称为二次函数”进行求解即可.

【详解】解：由题意得：

(m00

l|m-2|=2，

3

解得：m=4；

故答案为4.

4.(24-25九年级上•浙江杭州•期末)若函数y=(m-l)xm2+m—3x+5是二次函数.

(1)求m的值：

(2)当％=1时，求y的值.

【答案】⑴m=—2

(2)-1

【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的

计算方法是解题的关灌.

(1)根据二次函数的定义可得租一1工0初2+m=2,即可求解；

(2)由(1)可得二次函数解析式，把工=1代入计算即可.

【详解】(1)解：函数y=(加一1)%江+小一苴+5是二次函数.

：.m—1H0,m2+m=2,

解得，m*1,7九1=1M2=—2.

..m=—2；

(2)解.：当m=-2时，二次函数解析式为y=-3/—3%+5,

...当X=1时，y=-3xl2-3xl+5=-l.

【题型03：列出二次函数关系式】

1.(24-25九年级上•江苏扬州•阶段练习)某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季

度平均每月的增长率为X,如果第三季度共生产零件y万个，那么y与％满足的函数关系式

是()

A.y=50(14-x)2B.y=50+50(14-x)

C.y=50(1+%)+50(1+x)2D.y=50+50(1+x)+50(1+x)2

【答案】D

【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式.设该厂第三季度平均每月的增长

率为x，则八月份生产零件50(1+%)万个，九月份生产零件50(1+工产万个，根据第三

季度共生产零件y万个，即可列出y与文之间的函数关系式.

【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x,则八月份生产零件50(1+%)万个,

九月份生产零件50(1+x)2万个，根据题意得：

4

y与％满足的函数关系式是

y=504-50(1+%)+50(1+x)2.

故选:D

2.(24-25九年级上•广东江门•期中)两个正方形的周长之和是24cm,其中一个正方形的边

长为xcm.若以两个正方形面积之和y(cm2)为函数，其中一个正方形的边长”(cm)为自变

量，它们的关系式是1)

A.y=x2+(24—x)2B.y=x2+(24—4x)2

C.y=x2+(6—x)2D.y=x2+(6—4x)2

【答案】C

【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另•个正方形的边长为(6-x)cm,再由正

方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为(6—%)cm是解此题的关键.

【详解】解：•.•其中一个F方形的功长为xcm,

,其中一个正方形的周长为4xcm,

・•・另一个正方形的周长为(24—4x)cm,

•t•>)一个正方形的边长为(24—4无)+4=(6-x)cm,

••・第一个正方形的面积为第二个正方形的面积为(6—幻2,

面积之和为y=%2+(6-x)2,

故选：c.

3.(23-24九年级上•河南周口•期中)正方形的边长为3,若边长增加刈则面积增加y,y与

工的关系式为()

A.y=x2+6xB.y=x2+6x4-9

C.y=x2—6xD.y=x2—6x—9

【答案】A

【分析】首先表示出原边长为3的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，

再根据面积随之增加y列出方程即可.

【详解】解：原边长为3的正方形面积为：3x3=9,

边长增加“后边长变为：x+3,

则面积为：(%+3)2,

:.y=(%4-3/-9=x2+6%.

故选:A.

5

【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出正

方形的面积.

4.（24-25九年级上•内蒙占巴彦淖尔•期中）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩

包的成本价为每个30元.经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单

价x（元/个）有如下关系：y=-x4-60（30<x<60,且不为整数）.设这种双肩包

每天的销售利润为w元.则w与％之间的函数关系式为w=.

【答案】一32+90%—1800

【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答.

【详解】解：w=（x-30）y=（x-30）（-x+60）=-x2+90x-1800,

故答案为：一必+90%—1800.

5.（22・23九年级上•全国单元测试）如图,NA=90。，AB=ACtFC=20,四边形EFGH

是△48C的内接矩形，如果E"的长为乂矩形£TGH的面积为y,贝切与“的函数关系式

为一

【答案】y=-^x2+10%

【分析】根据题意可得△8EH,△C/G是等腰直角三角形，得出8H=£H=CG=GF,

进而根据矩形的面积即可求解.

【详解】•••△/1=90。，AB=AC,

.•.乙B=LC=45°.

•••四边形EFGH是AABC的内接矩形，

Z.EHB=Z-FGC=90°,EH=FG,EF=HG,

•••乙BEH=乙CFG=45°,

.•・BH=EH=CG=GF.

vBC-20,EF—%,

：.BC-HG=BC-EF=20-xf

:.BH=EH=CG=GF=—HG)=10—

6

•••y=x（10—=-1x2+10z.

故答案为：y=-/"+10%.

【点睛】本题考查了列二次函数关系式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

【题型04：特殊二次函数的图像和性质】

1.（24-25九年级上•福建泉州•阶段练习）抛物线丫=炉的对称轴是（）

A.直线x=-lB.直线x=lC.X轴D.y轴

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴为：直线》二是解

题的关键.直接根据二次函数对称轴的计算方法求解即可.

【详解】解：vy=x2.

二抛物线的对称轴为：工=一冬=一$=0,即y轴：

/a/Xi

故选：D.

2.（24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习）已知点（一2,月）,（一3/2）均在抛物线'=一/上,

贝物1、及的大小关系为（）

A.n<y2B.yx>y2C.yr<y2D.yr>y2

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数值的比较，属「基础题型.根据二次函数y=Q/（a=0）

的性质解答，即可.

【详解】解：v-l<0,

••・抛物线开口向下，

•••抛物线y=-%2的对称轴为y轴，

.•.当不<0时，y随x的增大而增大，

•••点（一2"），（一3,及）均在抛物线，=-/上，且一2>—3,

••-71>72-

故选：B

3.（24-25九年级上•黑龙江绥化•期末）抛物线y=2/一1的顶点坐标是（）

A.（-1,0）B.（0,-1）C.（2,0）D,（0,2）

7

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如y=g2+k的顶点坐标为（（）*）是

解题的关键.

【详解】解：抛物线丫=2工2-1的顶点坐标是（0,一1）,

故选：B.

4.（24-25九年级上•河北廊坊•阶段练习）如果抛物线y=（。+2）/一3在对称轴的左侧y的

值随x的增大而增大.那么。的取值范围是（）

A.a>-2B.a>2C.a<-2D.a<2

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的增减性与开口方向的

关系是解题的关键；根据在对称轴的左侧y的值随x的增大而增大即可确定开口向下,

可得a+2<0,即可得解.

【详解】解：•.・抛物线、=（。+2）/-3在对称轴的左侧7的值随工的增大而增大，

•••Q+2V0,

：•CLV—29

故选：C.

5.（23-24九年级上•广西梧州•期末）关于函数y="（戈-1尸+2的图象与性质说法正确的

是（）

A.顶点坐标在第二象限B.图象关于丁轴对称

C.当％<1时，y随％的增大而增大D.函数值的最小值为2

【答案】C

【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关

键.利用抛物线的顶点式的性质直接判断每个选项即可.

t详解】解：h=-（4-1）2+2,

抛物线的顶点坐标为（1,2），在第一象限，对称轴直线为％=1，故选项A、B错误；

,­a=—1<0.

二抛物线的开口向下，有最大值为2,且当％VI时，y随x增大而增大，故选项C正确,

选项D错误.

故选：C.

6.（24-25九年级上•北京海淀•期中）抛物线y=3（x-l）2+4的开U方向和顶点坐标是

8

()

A.开口向匕(一1,4)B.开口向下，(一1,一4)

C.开口向上，(1,4)D.开口向下，(1,一4)

【答案】C

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点坐标公式，以及。的符号,

进行判断即可.

【详解】解：•”=3.-1)2+4,3>0,

••・抛物线的开口方向向上，顶点坐标为(1,4)；

故选C.

7.(24-25九年级上•安徽淮南•阶段练习)二次函数y=(x-2/+3的图象的顶点坐标是

()

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,2)

【答案】D

【分析】本题考查求勉物线的顶点坐标，根据y=a-/i)2+々的顶点坐标为g,k),进

行求解即可.

【详解】解：二次函数y=2)2+3的图象的顶点坐标是(2,3).

故选：D.

8.(24-2S九年级上•山东枣庄,阶段练习)若4(3,月)，9(2,yz),C(2,y3)为二次函数

y=一(%+2)2+k的图象上的三点，则yi，y2,'3的大小关系是()

A.yi<y2<丫3B.yi<y3<yz

c.乃<yi<yzD.y2<yi<y3

【答案】c

【分析】本题考查了二次函数的图象性质,分别把火一2,及)，4(一3)1),。(2,乃)代入

y=一。+2)2十k计算，再比较九，及，心的大小，即可作答.

【详解】解：•.乂(一3,月)，8(—2,及)，C(2)3)为二次函数3=—(％+2)2+2的图象上

的三点，

.•.点8(-2,及)在顶点处，丫2=—(-2+2)2+k=k：

把4(-3,yD代入y=-(%+2/+k,得=-(-3+2)2+/c=-1+/c=k-1；

把点。(2,、3)代入y=-(x+2>+k,得为=—(2+2)2+k=-16+k=k-16,

-k>k-1>k-16

9

3<yi<yz»

故选c

9.（24-25九年级上•北京•期中）已知函数y=4/-2,当函数值y随X的增大而减小时，x

的取值范围为（）

A.x<2B.x>0C.x>—2D.x<0

【答案】D

【分析】本题考杳二次函数的性质.熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键.根据

二次函数的性质，进行求解即可.

（详解】解：=4r2-2,a=4>0,对称轴为j轴，

二在对称轴的左侧，y随着工的增大而减小：

・•.当函数y=4d一2的函数值尸随着力的增大而减小时，、的取值范围是：x<0：

故选：D.

10.（24-25九年级上•江西赣州•阶段练习）下列关于二次函数y=3X2—l的图象说法中，错

误的是（）

A.它的对称轴是直线3=0

B.它的图象有最低点

C.它的顶点坐标是（0,—1）

D.在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大

【答案】D

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可知，函数开口向上，对称轴为

直线％=0,顶点坐标为则函数有最小值，在对称轴左侧歹随着x的增大而减

小，据此可得答案.

【详解】解：A、它的对称轴是直线％=0,原说法正确，不符合题意；

B、由二次项系数大丁0可知，函数开口向上，则它的图象有最低点，原说法正确，不

符合题意；

C^它的顶点坐标是（0,—1）,原说法正确，不符合题意；

D、函数开口向上，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，原说法错误，符合题意；

故选：D.

11.（23-24九年级上•河北唐山•阶段练习）函数y=Q（K+a）与y=ax2（a00）在同一坐标

上的图象大致是（）

10

【答案】A

【分析】本题考杳了一次函数与二次函数的图象与性质，先由•次函数'=。。+。)图

象得到字母系数的正负，再与二次函数y=。炉的图象相比较看是否一致即可，掌握知

识点的应用是解题的关键.

【详解】解：A、由一次函数y=a(%+a)=ax+小的图象，可知a>0,a2>0,由二

次函数y=ax2的图象可知Q>O,两者相吻合；故此选项符合题意；

B、由一次函数y=Q(X+a)=Q%+a?的图象可知Q>o,a2>0,由二次函数y=a/

的图象可知aV0,两者不吻合；故此选项不符合题意；

C、由•次函数、=a.+Q)=QX+a?的图象可知avo,a2>0,由二次函数、=QX?

的图象可知a>0,两者不吻合；故此选项不符合题意；

D、由一次函数y=a(x+a)=ax+a?的图象可知Qvo,a2<0,此时a无实数根，故

此选项不符合题意；

故选：A.

12.(24-25九年级上•广东阳江•阶段练习)二次函数y=(x—+7,当一2VXV2时，)，

的取值范围为.

【答案】7<y<16

【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出对称轴，然后确定一2和2哪个离对称轴

较远，从而代入确定y的范围.

【详解】解：；二次函数y=(%—+7,

・•・对称轴是直线4=1，抛物线开口向上，

.•.当％=1时有最小值是7,

­.1-(-2)=3,2-1=1,

当％=-2时有最大值是y=(-2-I)2+7=16.

.•.当一2vx<2时，j的取值范围是7<y<16,

故答案为：7<y<16.

13.(24-25九年级上•河南三门峡•阶段练习)当一34寸，二次函数y=-27+1中》

11

的取值范围是.

【答案】一17三7工1

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质是

解决本题的关键.

【详解】解：<0,

•••该二次函数图象的开口向下，当％=0时，函数有最大值为y=l,

当第=-3时，y=-17,

当％=1时，y=-1,

故当一3工tW1时，y的取值范围是一17WyW1,

故答案为：-17WyWl.

【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】

1.（2024・湖北武汉•模拟预测）已知田表示不超过实数x的最大整数，函数y=田的部分图

象如图所示，若方程,］=QN+g在0Wxv3有2个解，则a的取值范围是（）

%

2--------------：-------?

II

II

II

II

I--------------?;

II

II

II

―I------------------i----------1---------

-1O123X

1一3cl3入5一353

A-6<a-iB-9<tt<8C-Ti<a-8D-7i<a<8

【答案】A

【分析】本题考查J'函数图象，弄清函数图象与方程的关系是解题的关键.分别作出当

y=a/+g经过（1,1）、（2,2）、（2,1）、（3,2）时的图象，再由图象判断出函数y=+g

与函数y=［对的图象在0<x<3有两个交点时国=ax2+"E0<x<3有两个解，即

可解答此题.

【详解】解：当函数y=ad+：ij函数y=团的图象在0<x<3有两个交点时［幻=ax2

12

+拉0<x<3有两个解，

令、=QX2+：经过(11)，得。=看

令y=ax2+1经过(2,2),得Q=

/O

32.1

••y=/+于

令y=ax2+T经过(2,1),得a=

••・y=1+g,

令,=a/+：经过(3,2),得a=*,

•••丫=统+：,

0Wxv3有两个交点，

二

O<aO<

故选：A.

2.(2024,河北邢台・模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y=4,与

二次函数y=/和y=Q%2分别交于48和C、D四个点，此时，CO=2AB,把直线y=4

向上平移b(b>0)个单位，则CD与之间的关系是()

13

A.CD=2ABB.随着直线y=4向上平移，CD>2AB

C.随着直线y=4向上平移，CD<2ABD.无法判断

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出力、4、

C、。的横坐标是解题的关键.

将y=4分别代入¥=/和、=。/，即可得出求出4?,长度,根据0=248程出

平二2x4,从而得出。的值，然后得到y=a%2表达式为y=%2,然后求出CD与AB

的值进而求解即可.

【详解】解：把y=4代入丫=炉中得，x2=4,

：.x=+2

•・・/的横坐标为一2,3横坐标为2

：.AB=2—(—2)=4

把y=4代入y=ad得，ax2=4,

--.X=±口=±亚

\Jaa

・•.c的横坐标为一地，。横坐标为亚

aa

:.CD=—

a

-CD=24B,

.•.迪=2x4

a

=((负值舍去)

•1•y=ax2表达式为y=

,•,把直线y=4向上平移b(b>0)个单位，得到直线y=4+b

14

二把y=4+b代入y=工2中得，x2=4+b,

••%=±，4+b

'-AB=y/4+b—(—、/4+b)=2V4+b

把y=4+b代入y=得，I%2=4+b,

:x=±2V44-b

:CD=2V4+b-(-2V4+b)=4\/4+b

••.CD=2AB.

故选：A.

3.(24-25九年级上•广西南宁•开学考试)如图，在平面直角坐标系中、抛物线y=/上已

知力的坐标为(1,1).过点力作力为IIx轴交抛物线于点力I，过点4作4遇2II04交抛物线

于点42,过点力2作42力3口轴交抛物线于点公.过忌43作小人II。4交抛物线于点

A4,......依此规律进行卜去,

【答案】(-1001,10012)

【分析】待定系数法求直线。A的解析式为y=K如图,记441，22,A2A3fI/4与

y轴的交点分别为B,C,D,E,由y=%2,可得物线关于y轴对称，则41(—1,1),

AB=AXB=1,A2D=A3D,/L4iJ.y轴，A2A3ly^,证明△4。8三△4iC8(AAS),

则CB=OB=1,即40,2),直线4遇2的解析式为y=%+2,联立｛>；：］2,可求

力2(2,4),小(一2,4),同理，直线人3力4的解析式为V=X+6,A<3,9),4

(-3,9),可推导一般性规律为，当九为奇数时，4=(一等，(等),)，然后”算求

解即可.

【详解】解：设直线04的解析式为y=k%.

15

将4（1,1）代入得，A=l,

直线。4的解析式为y=x；

如图，记4A1，4142,42%3,力344与y轴的交点分别为B,C,D,E,

vy=x2,

•••抛物线关于y轴对称，

“1（—1,1）,AB=AiB=1,A2D=A3D,AAi_Ly轴，A2A31y$|li,

•M"2IIOA,

:.Z.AOB=4力1。8,

又；乙ABO=Z-A^BC,AB=AyB,

△408三△AiCB（AAS）,

：.CB=0B=l,即40.2）,

直线4遇2的解析式为y=x+2,

联立｛二衰2,

解得,｛.7或U或,

•,4（2,4）,人3（-2,4）,D（o,4）,

同理，直线力34的解析式为y=八十6,

联立｛二第6,

解得,摩丁或专：；，

14（3,9）,4（—3,9）,

.•.可推导一般性规律为，当,为奇数时，An=（—等，（亨）），

16

.•.当九=时，2

2001/12001=(-1001,1001),

故答案为：(一1001,10012).

【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点

坐标的规律探究等知识.熟练掌握二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判

定与性质，点坐标的规律探究是解题的关键.

4.(24-25九年级上•吉林四平•期中)如图，将二次函数y=/一4位于x轴的下方的图象沿

工轴翻折，得到一个新函数的图象(实线部分).当新函数中函数随x的增大而增大

时，自变量x的最值范围是.

【答案】一24不工0或%22

【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征；先求得

y=|%2—4|与％轴的交点坐标，根据图象求得答案即可.

【详解】解：由题意，将二次函数、=必一4位于%轴的下方的图象沿%轴翻折，得到一

个新函数，

••・新函数的解析式为y=|/—4|.

•••当y=0时，|%2-4|=。，

解得x=2或一2,

如图，

17

当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是一2WxW0或x22.

故答案为：一24%彳0或%22.

5.(24-25九年级上•贵开黔南•阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，正方形/BCD的顶

点A、B、C的坐标分别为(2,2),(2,5),(5,5).若抛物线、=a/的图象与正方形力BCD

有公共点，贝心的取值范围为.

【答案】堂4。今

【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系,二次函数图象上的点的坐标特征等知识,

求出抛物线经过两个特殊点时的。的值即可解决问题，解题的关键是熟练掌握基本知识.

【详解】解：•••正方形力BCD的顶点力、B、C的坐标分别为(2,2),(2,5),(5,5),

二。(5,2),

当抛物线经过点8(2,5)时，则。二多，

当抛物线经过D(5,2)时，。二套

观察图象可知於4Q4，

故答案为：a

【题型06：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质】

18

1.（24-25九年级上•湖南常德•阶段练习）关于抛物线y=x2-2x+l,下列说法错误的是

（）

A.开口向上B.与x轴有一个交点

C.对称轴是直线x=lD.当％>1时，y随x的增大而减小

【答案】D

【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解题的关键.

Iha=1>0得到抛物线开口向上，配方成y=x2-2.r+1=（%—1）2,得到对称轴x=1.

顶点坐标为（1,0）,进而逐项判断即可.

【详解】解：•.・Q=l>0,

・••抛物线开口向上，故A正确；

•：y=x2—2x+1=Q—1产，

.•.对称轴％=L顶点坐标为（1,0）,故C正确：

••.抛物线的顶点在x轴上，

••・抛物线与x轴有一个交点，故B正确；

当％>1时，y随x的增大而增大，故D错误.

故选：D.

2.（24-25九年级上•全国•期末）二次函数旷=X2+4%-3图象的对称轴方程为（）

A.2B.-2C.X=2D.X--2

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的图象和性质.掌握二次函数的对称轴公式是解题关键.根

据二次函数y=ax2+bx+c（a工0）的对称轴为直线x=-义求解即可.

【详解】解：对称轴为直线％=一言=-2,

故答案为：D.

3.（24-25九年级上•福建泉州•阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c（a<0）如图所示，则关于

X的不等式+以+c>0的解集是（）

19

A.-l<x<3B.-3<x<lC.-3<x<-lD.1<x<3

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象，写出x轴上方部分的x的取值

范围即可.

【详解】解：•.•抛物线、=a/+bx+c与x轴的交点坐标为(一3,0),(1,0),

.,・关于x的不等式a/+版+c>0的解集是一3<xV1.

故选：B.

4.(24-25九年级上•天滓蓟州•阶段练习)抛物线y=x2-4x-1的顶点坐标为()

A.(2,3)B.(-2,3)C,(2,-5)D.(-2,-5)

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的性质；将解析式化为顶点式即可求解.

(详解]解：y=x2-4x—1=x2—4x+4—5=(x—2)2—5,

抛物线的顶点坐标为(2,—5),

故选：C.

5.(24-25九年级上•安徽宣城•阶段练习)已知点4(4,yD，8(3,及)，。(一3,乃)均在抛物线

y=-x2+2x-1上，贝I]

A.yi>y2>y3B.y2>yi>yac.y3>71>yzD.y3>y2>y\

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的性质.结合题意，得抛物线的开口向下，且抛物线的对

称轴为％=1,根据二次函数的性质分析，即可得到答案.

【详解】解：•.・a=-1V0,

抛物线的开U向下，抛物线的对称轴为工=一弓二1，

.・•当”>1时，y随着x的增大而减少，且当％=—3和％=5时，函数值均为为，

-.1<3<4<5,

二为>%>，

20

故选：B.

6.(24-25九年级上•内蒙古乌兰察布•阶段练习)已知二次函数y=/一26无，当时,

y随工的增大而减小，则实数m的取值范围是(•

A.m>1B.m>1C.m<1D.m<1

【答案】A

【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方

向，再由当％VI时，函数值7随x的增大而减小可知二次函数的对称轴％=mN1解答

即可.

【详解】解：二次函数的对称轴为直线％=一资=m,开口向上，

,••Xvl时，y随比的增大而减小，

：.rrt>1,

故选：A.

7.(24-25九年级上•山东聊城•阶段练习)二次函数丫=Q/+bx+1(QH0)与一次函数

y=ax+l(a^0)在同一直角坐标系中的图像大致是()

【答案】A

【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数和一次

函数的图象与性质是解题关键.

根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项判断分析即可.

【详解】解：A、图象中，二次函数开II向下，故QV0,与y轴交点为(0,1),一次函数

的y随工的增大而减小，故av0,与y轴交点为(0,1),此两个函数图象可在同一直用坐

21

标系中，故此选项符合题意；

B、图象中，二次函数开口向上，故a>0，与无轴交点为(一1,0),这与二次函数y=

+bx+l(aH0)与y轴交点(0,1)相矛盾，故此选项不符合题意；

C、图象中，二次函数开口向下，故QV0,一次函数的y随汇的增大而增大，故a〉0,

且两图象的交点为(1,0),与二次函数y=ax2+bx+l(aH0)与一次函数y=ax+l

(a*0)在同一直角坐标系中的交点为(0,1)相矛盾，故此选项不符合题意；

D、图象中，二次函数开口向上，故a>0,一次函数的y随％的增大而增大，故Q<0,

此相矛盾，故此选项不符合题意.

故选：A.

8.(23-24九年级上•山东口照•期中)二次函数丁=Q/+以+C,自变量x与函数y的对应

值如下表：

X•・・-5-4-3-2-10・・・

y・・・40-2-204・・・

下列说法正确的是()

A.抛物线的开口向下B.当%>-3时，卜随x的增大而增大

C.当一4VXV-1时，y<0D.二次函数的最小值是一2

【答案】C

【分析】本题考杳了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，利

用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结

论.

【详解】解：将点(-4,0),(-1,0),(0,4)代入到二次函数旷=a/+b%+c中，得：

16a—4b+c=0

a—b+c=Q,

、c=4

・••二次函数的解析式为y=%2+5x4-4.

A、a=l>0,抛物线开口向上，A不正确；

2

B、y=x2+5x4-4=(x+1)-

.••抛物线的对称轴为直线尤=-1,

22

当%时，y随工的增大而增大，B不正确；

C、•••抛物线线与入轴交于点（一4,0）,（-1,0）,且抛物线开口向上，

...当一4时，y<0,故C正确；

D、y=x2+5x+4=（x4-1）-p二次函数的最小值是一/D不正确；

故选：C.

9.（24-25九年级上•广匪南宁•期中）已知二次函数的图象（04万33）如图所示，关于该函

数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）

A.有最小值0,有最大值2B.有最小值0,有最大值3

C.有最小值一1,有最大值2D.有最小值一1,有最大值3

【答案】D

【分析】本题主要考查二次函数的最值，正确识别函数图象，理解最值的意义是解题的

关键.

依据题意，由函数图象可看出其最大值和最小值，逐个判断可以得解.

【详解】解：由图象可知当％=1时，y有最小值-1,当％=3时，y有最大值3,

.•・函数有最小值一1，有最大值3,

故选：D.

【题型07：二次函数y-ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】

1.（24-25九年级上•山东烟台•期中）已知二次函数y=x2-bx+1在一1W%W2时最小值

为一3,则b的值为：）

A.4B.4或一5C.-5D.±4或-5

【答案】B

【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题

的关键.根据题意易得二次函数开门向上，具最小但可能在顶点或区间端力'处，需分顶

23

点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解.

［详解］解：由二次函数y=x2-bx+1=（x-+与纥

••・二次函数图象的对称轴为直线”=今开口向上，且顶点坐标为空），

当一1工?42即一2W8W4时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得：

则罕=_3,

解得b2=16,即b=±4；

:.b=4；

当?<-1即匕<一2时，最小值在x=-l处，

则y=l+b+l=b+2=—3

解得b=-5,满足b<-2-

当g>2即b>4时，最小值在％=2处，

则y=22-2b+1=5—2匕=-3,

解得b=4,但b>4不成立，舍去，

综上，b=4或一5.

故选：B.

2.（2024.山东济南.模拟预测）己知二次函数y=?n%2-27nx+3（切为常数，且加70）,

当一14%42时，该二次函数有最小值2,则/〃的值是（）

A.1B.1C.1或一!D.1或g

【答案】C

【分析】本题考杳了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线3=1,再

分两种情况：当m>0时，当mVO时，分别利用二次函数的性质求解即可，熟练掌握

二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键.

（详解】解：•••二次函数y=mx2-2mx+3,

・••二次函数的对称轴为直线工=一黑=1,

•••当―14工工2时，该二次函数有最小值2,