分式函数的最值与计算-2026高考数学一轮常考题

1.一轮备考中的分式函数值域问题

一.基本原理

22

ax+bax+binx-vnx+tnix+nx+tz„

我们把V=------,y=­；--------，y=------------,y=­、--------(此处约定分母均

cx+d"W~+〃K+/ax-\-bpx+qx+r

不为零)，统称为分式函数，其中后面三种由于含有二次项，称为二次分式函数.对于第一

类的值域，通过转化为反比例函数结合单调性确定，而对于二次分式函数，通常有均值不

等式法、判别式法、求导法来求这些函数的最值，下面通过例题详细分析这些方法是如何

使用的.

1.均值不等式与双钩函数方法

1.1：)，=竺*型函数的处理

对于形如/(#二竺上9(分子分母均为一次的分式)的函数，通过换元，=cr+d,可

cx-¥d

转化为/(f)=与詈的形式，再利用双钩函数的性质求解.

1cax1+bx+c

1.2.y=---------型.

dx+e

形如y=+c可通过换元f=公+e将问题转化为>="5+c,然后进行可

ax+ex

通过分离常数转化为)，=如十£十。的形式，进而可依靠y=x±@的图像，再求出值域，

XX

或者均值不等式.

dx4-0\

1.3.)，二,:同时除以分子：y=-------2的模型.

ax+bx+c'ax~+hr+c

dx-ve

nvc1+nx+1(px2+qx+r)+dx-¥e-4一八八乩皿4

1.4.y=--------->)，=?——\~--------,这就转化成了3的类型.

px+qx+rpxr

2.判别式法：请见例题分析

3.导数法

二.典例分析

例1.7(X)=^-^,XG(1,3)

X"i"1

27—55

解：令f=x+l/£(2,4):.x=t-\.•./(/)=二y-=2—j,进而可求出值域：

1

例2.函数y+l（x>1）的最小值为_________.

x-1

解析：解法1（均值不等式法）：令/=x-l,贝h>0,x=/+l,

Hi、1（f+一（/+1）+1r+1+\II~\

所以y=A——L-:——L—=---=r+y+l>2J/-y+l=3,

当且仅当/=；,即，=1时取等号，此时x=2,从而函数），=三子1（X>1）的最小值为3.

解法2（判别式法）：将y=『r+l变形为），"—1）==—x+i,整理得：

V一（y+l）%+y+l=O①，将式①看出关于X的一元二次方程，

其判别式△=（y+l『-4（y+l）之0,解得：），4-1或转3,因为x>l,所以x-l>0,

x2-X+1>0,从而y>0,故)，23,

注意到当工=2时，），=3,所以函数片匚匚！（》>］）的最小值为3.

X-1

Y*—V4-1山-2)

解法3（求导法）：设小）「E（x>i）,则广（*=所以/'(%)>0=x>2,

(if

r(x)<0olvxv2,从而/(x)在(1,2)上、，在(2,M)上/,故、f(xL="2)=3.

例3.(2022全国甲卷)已知“3C中，点。在边8c上，ZADB=\2^,AD=2,CD=2BD.当

AC

去取得最小值时，BD=________.

AB

解析:方法1.余弦定理：设8=28。=2〃00,

则在△AM中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=nr+4+2in,

在“CD中，AC1=CD2+AD--2CD-ADcosZADC=4m2+4-4/w,故可得：

AC?_4〃/十4-4/〃_4"+4+2,〃)-12。+/〃)_彳_12

AB2nr+4+2innr+4+2m(〃?+[)+3

>4——12=4-2>/3

V，加+1

当且仅当〃?+1=[即〃:=6-1时，等号成立.所以当三取最小值时，

，〃+1AB

2

（方法2）判别式法：设BD=K,则CQ=2X

在4ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD•ADcosZADB=9+4+2x,

在AACD中，AC2=CD24-AD2-2CDADcosZADC=4x2+4-4x,

所以£=#+4—41记,=4f+4-4x,则（4T）X~4+2/）X+（4-4'）=0

AB-r+4+2x尸+4+2]

由方程有解得：△=（4+2/『一4（4一/）（4一4，）之0,即/2_&+4工0,解得：4-2>/3<r<4+2>/3

所以总^4-2g,此时工=泮=6-1,所以当值取最小值时，l=退-1,即

4-fAn

BD=>/3-1.

3（x+l）3（X2+2X-2）

方法3（导数法）因为/⑴二1一，2"所以广（幻='---------甘・由

。+1）~+3（X2+2X+4）

广。）<0得Ovx<Ji—1;由r。）〉。得—所以/（x）在区间（0,石一1）上

单调递减，在区间+8）上单调递增.故当天=石-1时，/（x）取得最小值1-立.

2

sr

所以，当三■取得最小值时，石-1.

AB

例4.函数尸宏的最大值为——.

解析：设/=内,则且妨*二力二+“’

/+72b

当且仅当，=±,即/=2时取等号，此时x=±G，所以函数>=士上的最大值为L

t丁+54

例4.已知抛物线C的顶点为坐标原点。，焦点厂在八轴上，过点（2,0）的直线交C于P.Q两

点，且。〃_LOQ,线段〃。的中点为则直线M尸的斜率的最大值为（）

A.亚B.1C.—D.1

622

2

解析：依题意，抛物线。的焦点在x轴的正半轴上，设C的方程为：y=2px,P>Of

显然直线出?不垂直于），轴，设直线尸。的方程为：x=）+2,点尸（兽,））°（卓,力）,

2P2〃

由消去不得：>2-2p/y-4p=0,则有了跖二-4〃，

\y=-px

3

由8_LOQ得：丽.苑=在手+力必=4-4〃=0,解得〃=1,

2P2〃

于是抛物线C：尸=21的焦点尸(20),弦也的中点”的纵坐标为%=1,则点/(/+2,/),

22

显然直线Mb的斜率最大，必有，＞0,则直线的斜率

--t--=---2--<,--,2=-瓜-

23。3一36

广+一22f+—/2r2r--r

当且仅当2f=3,即，=如时取等号，所以直线M厂的斜率的最大值为故选：A

t26

例5.已知点A(4,0),点P在抛物线「：)，2=8%上运动，尸是抛物线「的焦点，连接尸尸并

延长与圆C：(%-2尸+./=1交于点瓜则黑的最小值是,

解析：由题意可知，抛物线丁=8X的焦点为尸(2,0).设点以工,)，)，则由抛物线的定义得

|PF|=x+2,|%「=*-4)2+)，2=工2_"+16+8X=戈2+16.要使些最小，则应有

\PB\

|期二|尸石+l=x+3,此时有需_=彳誉.令*+3=/,则x=r—3,

\PAf(r-3)2+16Z2-6/+25.,25/田〈IPA『

--负+:一6,因为两>0,显然有，＞(),

~\PB\=~

则由基本不等式知/+当且仅当，=m，即，=5时等号成立.

小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法：

①),="心：换元一分离常数一反比例函数模型

cx+a

②尸5nx~+bUKx+\c换元一分离常数f》=工±a^(双勾函数、伪勾函数)模型

dx+ex

4

dx+PI

③），二,:同时除以分子：y=----------的模型

ax"+bx+cax~+bx+c

dx-\-e

④■=：=+'”+：：分离常数一③的模型

dx-+ex+f

最后看一道与不等式综合的新定义压轴.

例6.（四川省成都市2025届高三二诊）对于给定集合4口｛（«〃）1。20220｝,若存在非负

实数右勺，对任意的满足：叫（1+*（1+6）4〃+〃）（1+曲）V&（1+/）（1+/）成

立，则称集合A具有性质（叫,a）.

（1）证明:集合｛（凡6）1〃之0,6=1｝具有性质（；,1）；

（2）若集合｛（"）1。之0,心0,。十八1｝具有性质（用,勺），求的最小值；

⑶若集合。之0,20,/+/=2｝具有性质（（，4,求段的最大值.

解析：（1）要证明集合｛（",力）1。20,〃=1｝具有性质（：1｝即证明V心。，都有

I+4Z2<（t74-l）2<2（1+«2）,因为（a+l1一（|+/）=2〃20,所以（4+1）2N1+R

因为2（1+/）一（〃+1『=42-2〃+1=（〃-1）220,所以2（1+/）2（〃+11，所以VaNO,都有

1+/工（〃+1）飞2（1+/）,即集合｛（4"）|〃？0/=1｝具有性质（31.

（2）因为aNO,bNO,a+b=l,

++//）=1+/+b~+a2b2=1+（6/+/?）2-2ab+（cib）"=2-2ab+（ab^=（1-«Z?）2+1,

令“=i+M，则（1+片）（1+//）=（2—〃y+i,因为疝当且仅当时等

号成立，所以〃W1,1,又集合｛（。,〃）|。之01注0,。+〃=1｝具有性质（片,（）,

于是,有1卜〃工&[（2-〃『+1],即（A"—

即D〃K'-成立，令/（〃）=〃+3一4,we

4ju+——4''u|_4

u

因为函数/®在.上单调递减，且/⑴=2,/图号

5

所以35〃+三5-442,则-2<一--J-----J<5_,所以4当且仅当〃二八：1时等号成立；

4u〃+—452

u

］当且仅当。=0或〃=0时等号成立，则勺-4之4三-：1=力3，即勺-叫的最小值为

3

To,

⑶因为集合｛（。力）1〃？0，〃之。，/+/=2｝具有性质（&,6）,由题意，得

Vd>O,/?>O,fl3+/?3=2,都有用（1+*（1+从）<（〃+〃）（1+刈4（（1+/）（1+从），

(a+〃)(l+ah)

即-&,注意至++々〃)=4+/。+。+(力2=a(1+/?2)+A(l+c/)

aW(|+*(|+从)

所以Q卷十备,又"3—,所以K制+卜，当且仅当—时

等号成立，即K?的最小值为1.又2=/+〃3225A两，当且仅当。=8=1时等号成立，则

1,又2=。'+/=(〃+与(/-必+/)=(4+力)(〃+b)2-3M，令s=a+b,l=ab,

则S(『-3，)=2,BP/=—,则即啦WS42,

'73s3s

(a+b)(\+ab)(a+b)(\+ab)5(1+/),、1+-——-

所以(j1+40)(1+力尸二)•/+〃一)+(「")八$+(IT)2〉#VT+?')一——l?Ti3s-J-_53^(3v5+-i2),

令g（s）=s：3：；2,啦w2,则go［；：/〉。，即函数g（$）在［次，2］上单调递

(a+”)(l+")>g(s)>g(正)

增，又g（」）7%；」所以------------2----乙------=

网+,(1+42)(1+02)33网-+]

当且仅当〃=0力=次或4=蚯力=0时等号成立，所以周的最大值为百又&的最

（及）+1

K,正

小值为1，所以记的最大值为阿：

三.习题演练

L函数/“崇1的值域（）

6

2"，2(3N)」

2x-333_33_29_H1

【详解】依题意,/(x)=,其中

3x4-13x4-13A+1333x+l

广下1有1的1值域为5,。)5。收)，故函数/⑺的值域(为口2力ibf2*

故选D.

2.函数y=，"|一>。)的值域是()

X-+x+\

A.(0,+a))B.(0.1C.-1

D.-,+oo

【详解】由),二=三一(x>0)可得)，=一\一,(x>0),当x>0时，故

i+1*+1

x

x+->2Jx--=2,当且仅当x=l时等号成立，而f+x+i>0恒成立，故

X\X

0<y=—\—<-,故y=——(x>0)的值域为(0二，故选:c

工+113厂+x+l13」

x

3.已知函数/•(》)=*+2\-2,定义域为(_4,1),则函数/0)()

2x-2

A.有最小值1B.有最大值1

C.有最小值3D.有最大值3

r2+2%-9l「I1「1一

【详解】/(x)=*；二~=：(公1)+—+4=4(X-D+-L-+2,

2x-22|_X-1J2|_X-1

•.•Tvxvl,.\0<-(x-l)<5,

彳看卜2,当且仅当1=^时,即

由基本不等式，一“—1)+—--->2

一(“一1)V

x=0时等号成立,

I+2=6卜I+占卜2Tx2+2"即”册,/⑺最大值

~*-1)+x^i

为1.故选：B.

4.若函数”X)=3「：：；3的最大值为加,最小值为用，则()

A.3B.2C.1D.0.5

7

【详解】由题意，/（加噌产=3+3,当E）时」⑴=3；

当x>0时，/(x)=3+—!y,因为x+gz2，rj=2,当且仅当x=g时，即x=l时,

XH--

X

117

不等式取等号，所以3V/(x)=3+--<3+-=^,则/a)在(0,+8)的值域为

x+-22

X

3三，

由基本不等式可知，一+（一」之2

当xvO时，/(犬)=3+—j-即

x+-IX）

X

x+-<-2,当且仅当一人二一4时，即x=—1时，不等式取等号，故*W/（x）v3,则

xx2

在（一8,（））的值域为：,3综上所述,/*）=3产:+x+3在R上的值域为匕5;7

x+122

从而M—机二工一2=1.故选：C.

22

5.函数的值域是,

【详解】由题知函数的定义域为R,所以，将y=f1+l整理得（1+力2一中+1=0,

X4-I

所以，当y一时，…；当"T时，W）*），解得"卜汨"-；

所以，.昨，即函数的值域是一:，-1,故答案为：-去-1

L22」f+1122」]22

9r2-1?r4.7「I"

6.已知函数/(幻=「二，--,2,则/(幻的值域为

3xT|_2_

■、出朝，/、9r—12x+79r一3x—9x+3+43x(3x—1)—3(3x—1)+4

LWrJJ(-V)=--------------------=--------------------------------=--------------------------------------.

3x-l3x—l31

即/(x)=3^-34-—^—=3x-l+——-2；v3x-i>0,/(x)=3x-l+——―2>2>/4-2=2;

3x-l3x-l3A-1

当且仅当（3X-1）2=4,3X-1=2,即x=l时，/*）取最小值2；又最大值应在两个区间端点

八9x4-12x2+719

的某一处取到,/(2)=-=T；

8

所以=/出号,所以/(X)值域为:4.故答案为：吟

7.函数/(”=2"+1।的值域是.

X+x+\

【详解】由函数可知xeR。所以/(x)(x2+x+l)=x+l,整理得：

/(x)x2+(/(x)-l).v+/(x)-l=O,当/(x)=。时，尸符合；当“X)工。时，则关于x

的一元二次方程在xeR有根所以△=(/Ct)-l)2-4./*)•(/*)-l)>0

整理得：3/2(x)-2/(x)-120且〃力。0解得:/(x)€一扣)U(05，

综上得：/(%)£.

8.函数)，=3/:2.・1的值域是

x-1

【详解】函数)，=3"、；2x-1的定义域为"|x，±1},

X-1

22

3r3(x-l)-2(x-l)2+T.E、I2八02f

v=—__三」=」----1__1——1=3__—,由于xw±l,所以一；WO,且一7二1,

X2-lX2-l'A+lX+lX+l

所以3-9工3且3-9/2,所以函数),=存芸1!的值域为(-8,2)=(2,3)=(3,田).

故答案为：(—,2)52,3)D(3,Y)

9求函数f(x)二厂+3戈+4/£(3,5)的值域

x-\